专题03 平面直角坐标系
一、单选题
1．（2025春·湖北武汉·七年级校考期中）已知点A的坐标是（3，-1），则把点A在直角坐标系中先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A’的坐标是( )
A．(6，1) B．(0，1) C．(0，-3) D．(6，-3)
【答案】B
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：原来A点的横坐标是3，纵坐标是-1，向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
得到新点A’的横坐标是3-3=0，纵坐标为-1+2=1，即为A’（0，1）．
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
2．（2025春·广东梅州·八年级五华县水寨中学校考期中）在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是（ ）
A．（0，3） B．（－2，1）
C．（1，－2） D．（－1，－2）
【答案】B
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征逐项分析即可．
【详解】解：A、(0，3)在y轴上，故不符合题意；
B、(－2，1)在第二象限，故符合题意；
C、(1，－2) 在第四象限，故不符合题意；
D、(－1，－2) 在第三象限，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（－，+），第三象限内点的坐标特征为（－，－），第四象限内点的坐标特征为（+，－），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
3．（2025秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【详解】解：因为点P（-1，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第二象限．
故选：B．
【点睛】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
4．（2025春·湖北宜昌·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点A在（ ）
A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限
C．第三象限或第四象限 D．第二象限或第四象限
【答案】D
【分析】根据题意可得或，即可求解．
【详解】解：∵点的坐标满足，
∴异号，即或，
∴点A在第二象限或第四象限．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
5．（2013春·北京·七年级北京市第六十六中学统考期中）若点P在第四象限，且距离每个坐标轴都是3个单位长度，则点P的坐标为（ ）．
A．（3，3） B．（-3，3） C．（3，-3） D．（-3，-3）
【答案】C
【详解】试题分析：依题意知，第四象限的点坐标特点是x＞0，y＜0.当点P距离每个坐标轴都是3个单位长度时，则其坐标为（3，-3）
考点：直角坐标系
点评：本题难度较低，主要考查学生对直角坐标系点的的坐标特点的掌握．要求学生牢固掌握解题技巧．
6．（2025·广东·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标，它到x轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，计算即可
【详解】∵点A的坐标，
∴它到x轴的距离为|3|=3,
故选D
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，根据到ｘ轴的距离等于纵坐标的绝对值，到ｙ轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
7．（2025秋·山东菏泽·八年级统考期中）若点P（a，b）在第四象限，则点Q（b，-a）在第几象限 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据点P（a，b）在第四象限，判断a，b的范围即可求出Q点所在象限．
【详解】∵点P（a，b）在第四象限，
∴，
∴，
∴点Q（b，-a）在第三象限，
故选C．
【点睛】本题是对坐标系知识的考查，熟练掌握坐标系中各象限x，y的范围是解决本题的关键．
8．（2025春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，再由2022÷4=505……2，可得点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，再由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，可得A4n（2n，0），从而得到A2020的坐标是（1010，0），从而可得出点A2022的坐标．
【详解】解：根据题意得：点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），……
∴每移动4次图象完成一个循环，
∵2022÷4=505……2，
∴点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，
∵A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，
∴A4n（2n，0），
∴A2020的坐标是（1010，0），
∴A2022的坐标是（1010+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化一平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．
9．（2025秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考期中）若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
【答案】C
【分析】根据P到x轴的距离可得P的纵坐标的绝对值，根据P到y轴的距离可得P的横坐标的绝对值，根据第二象限的点的符号特点可得点P的坐标．
【详解】∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，
∴P的纵坐标的绝对值为4，横坐标的绝对值为5，
∵点P在第二象限内，
∴横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正，
∴P的坐标为（-5，4）．
故选C．
【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离点的横坐标的绝对值．
10．（2025春·湖北恩施·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点个数，请你猜想由里向外的第2022个正方形（实线）四条边上的整点共有（ ）个
A．8088 B．8092 C．6066 D．6070
【答案】A
【分析】依次求出每个正方形四条边上的整点个数，得到个数的变化规律，即可得到第2022个正方形四条边上的整点个数.
【详解】解:第1个正方形的整点个数为4=，
第2个正方形的整点个数为8=42，
第3个正方形的整点个数为12=43，
，
∴第2022个正方形的整点个数为.
故选：A.
【点睛】本题考查图形类规律的探究，根据图形求出前几个正方形四条边上整点的个数得到个数的变化规律是解题的关键.
11．（2025秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向左跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，”，依此规律即可得出点的坐标．
【详解】解：设第n次跳动至点，
观察发现：，…，
∴，，，（n为自然数）．
∵，
∴，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”是解题的关键．
12．（2025·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）平面直角坐标系中第四象限有一点P，点P到y轴的距离为2，到x轴的距离为3，则点P的坐标是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】∵第四象限的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是2，纵坐标是-3，
∴点P的坐标为（2，-3）．
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13．（2025春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）已知0＜a＜3，则点P（a﹣3，a）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】由已知a-3<0，a>0，所以点P（a-3，a）在第二象限；故选B.
14．（2025·山东青岛·统考中考真题）如图，将线段 AB 先向右平移 5 个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 90°，得到线段 A′B′，则点 B 的对应点 B′的坐标是（ ）
A．（-4 , 1） B．（ －1, 2） C．（4 ,- 1） D．（1 ,- 2）
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【详解】将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，-2），
故选D．
【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．
15．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
【答案】A
【分析】由OA4n=2n知OA2017=+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】解：由题意知OA4n=2n，
∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，
则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2)．
故选：A．
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
二、填空题
16．（2025春·黑龙江大庆·七年级统考期末）已知点P（3，﹣1），则点P关于x轴对称的点Q_____．
【答案】（3，1）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【详解】解：∵点P(3，﹣1）
∴点P关于x轴对称的点Q(3，1）
故答案为(3，1）．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系点关于坐标轴的对称关系，熟记对称的特点是解题的关键．
17．（2025春·七年级课时练习）已知点P(a+2，b﹣3)，若点P在x轴上，则b=_____；若点P在y轴上，则a=_____．
【答案】 3 -2
【分析】根据坐标轴的特性解出答案即可．
【详解】解：∵点P(a+2，b﹣3)在x轴上，
∴b-3=0，解得：b=3；
∵点P(a+2，b﹣3)在y轴上，
∴a+2=0，解得：a=-2；
故答案为：3；-2．
【点睛】本题考查了点在坐标轴上的特点，解决本题的关键是点在x轴上时，纵轴的值为0；点在y轴上时，横轴的值为0．
18．（2025春·辽宁抚顺·七年级校考期中）若点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是7，则点P的坐标是__________．
【答案】（7，5）或（7，-5）或（-7，5）或（-7，-5）
【分析】根据点到坐标轴的距离与横纵坐标的关系可得到结果．
【详解】解：由点P到x轴的距离是5，可得点P的纵坐标为5或-5，
由点P到y轴的距离是7，可得点P的横坐标为7或-7，
因此点P的坐标是（7，5）或（7，-5）或（-7，5）或（-7，-5），
故答案为：（7，5）或（7，-5）或（-7，5）或（-7，-5）．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握点到x轴距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴距离为点的横坐标的绝对值．
19．（2025春·辽宁大连·七年级统考期末）将点P(，0)向左平移个单位，所得点的坐标是______．
【答案】（0，0）
【分析】向左平移个长度单位长度，即点P的横坐标减，纵坐标不变，得到移动后点的坐标．
【详解】解：将点P（，0）向左平移个单位后，坐标为（，0），即（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【点睛】本题考查了坐标系中点的平移的性质，在平面直角坐标系中，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
20．（2025春·云南西双版纳·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P位于第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，则点P的坐标为 _________．
【答案】（﹣3，2）．
【分析】根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第二象限点的坐标符号特点可得答案．
【详解】解∵点P位于第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，
∴P点坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点睛】此题考查点的坐标，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
21．（2025秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知点O（0，0），点A（3，4），点B坐标平面内一点，且ΔABO是以∠A为直角的等腰直角三角形，则点B的坐标为_________
【答案】（7，1）或（-1，7）.
【分析】先根据题意画出图形，分两种情况当点B在第一象限时和点B在第二象限时进行讨论，每种情况都是通过证明三角形全等，求出BE和BF的长，即可得出点B的坐标．
【详解】如图：
过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，
∵点A（3，4），
∴AC=4，OC=3，
①当点B在第一象限时，过B作BE⊥AC于点E
若△AOB是等腰直角三角形，
则AO=AB，∠OAC+∠BAE=90°，
∵∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠AOC=∠BAE，
在△AOC和△BAE中，
，
∴△AOC≌△BAE，
∴BE=AC=4，AE=OC=3，
∴CE=1
∴点B的坐标是（7，1）；
②当点B在第二象限时，作AF⊥BF于点F
若△AOB是等腰直角三角形，
则AB=AO，∠BAF+∠OAF=90°，
∵∠CAO+∠OAF=90°，
∴∠BAF=∠CAO，
在△ABF和△AOC中，
∴△ABF≌△AOC，
∴AF=AC=4，BF=OC=3，
∴点B的坐标是（-1，7）.
故答案为：（7，1）或（-1，7）.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，用到的知识点是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，根据题意画出图形，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，要注意分情况讨论求解．
22．（2025春·八年级单元测试）如果点P(x2－4，y＋1)是坐标原点，那么2x＋y＝______
【答案】3或－5．
【详解】分析：由点P（x2-4，y+1）是坐标原点，可得x2-4=0，y+1=0，继而求得答案．
详解：∵点P（x2-4，y+1）是坐标原点，
∴x2-4=0，y+1=0，
解得：x=±2，y=-1，
∴2x+y=3或－5．
故答案为3或－5．
点睛：此题考查了点的坐标特征．注意坐标原点是（0，0）．
23．（2025春·八年级课时练习）若，则点先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的对应点，则点坐标为______．
【答案】
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得，的值，再根据坐标平移的变化规律即可求解．
【详解】解：，
，，
解得，，
，
点先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的对应点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标点的平移，偶次方的性质，算术平方根的性质，准确利用非负性求得点的坐标是解题的关键．
24．（2025春·湖南湘西·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知线段且轴，且点的坐标是则点的坐标是____．
【答案】或
【分析】设点B的坐标为，然后根据轴得出B点的纵坐标，再根据即可得出B点的横坐标．
【详解】设点B的坐标为，
∵轴，点A（1，2）
∴B点的纵坐标也是2，即 ．
∵，
或 ，
解得或 ，
∴点B的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查平行于x轴的线段上的点的特点，掌握平行于x轴的线段上的点的特点是解题的关键．
25．（2025秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________
【答案】 (8,3)
【详解】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
解： 如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),
∵2013÷6=335…3，
∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，
点P的坐标为(8,3).
故答案为 (8,3).
三、解答题
26．（2025秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）（1）如图，已知点 A（﹣4，4），一个以 A 为顶点的 45°角绕点 A 旋转，角 的两边分别交 x 轴正半轴，y 轴负半轴于 E、F，连接 EF．当△AEF 是直角三角形 时，点 E 的坐标是_________
（2）已知实数 x+y=12，则的最小值是_____
【答案】（1）（8，0）或（4，0）.
（2）13
【详解】（1）
作AD垂直于y轴于点D，如图所示：
当∠AFE=90°
∴∠AFD+∠OFE=90°
∵∠OEF+∠OFE=90°
∴∠AFD=∠OEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°
∴∠AEF=45°=∠EAF
∴AF=EF
在三角形ADF与三角形FOE中
∴△ADF≌△FOE (AAS)
∴FO=AD=4,OE=DF=OD+FO=8
∴E（8，0）
当∠AEF=90°时，同理可得：OF=8，OE=4，∴E（4，0）
综上：E点的坐标为（8，0）或（4，0）.
（2）∵
∴
把代入得：
即
由两点距离公式可知，上式表示点M（x，0）到点A（0，3）与B（12，2）距离和.如图所示，找到A的对称点,即最小值为的距离，则=
【点睛】本题（1）解题关键在于，构造全等三角形，通过全等的性质得到边的长度，从而解得坐标值.（2）解题关键在于，把数化为形，通过两点之间的距离解得最小值问题.
27．（2025春·贵州遵义·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系网格中，三角形的顶点坐标分别是 .将三角形平移，使顶点平移到坐标原点 处，得到三角形 .
（1）的坐标是________，的坐标是________.
（2）画出平移后的 .
（3）求的面积．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8.
【分析】（1）顶点平移到坐标原点处是先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，点A、C的平移规律和点B一样，由此可得，的坐标；（2）根据，的坐标可画出平移后的；（3）设线段 与 轴的交点为，将分成2个三角形
分别求面积取和即可.
【详解】解：（1）顶点平移到坐标原点处是先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，即横坐标减2，纵坐标减1，点A、C的平移规律和点B一样，所以
（2）平移后的三角形 如图所示
（3）如图，设线段 与 轴的交点为
由（1）、（2）知 的坐标是 ，
坐标是， 的坐标为 ，
【点睛】本题考查了图形的平移及三角形的面积，由已知条件确定点的平移规律是解题的关键.一般在求方格中的三角形面积时，可将三角形分割成几个易求面积的三角形进行求解.
28．（2025·八年级课时练习）如图，正方形ABCD的边长为4，请你建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标．
【答案】见解析，点A，B，C，D的坐标分别是，，，．
【分析】可以以正方形中互相垂直的边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，再根据点的位置和线段长表示坐标．
【详解】解：以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则点A，B，C，D的坐标分别是，，，．（答案不唯一）
【点睛】本题是开放型题型，答案不唯一．建立坐标系时，要考虑能方便表示点的坐标．
29．（2025春·福建福州·七年级统考期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在格点上.
（1）请你以为原点，建立平面直角坐标系，并写出、两点的坐标.
（2）若三角形内部有一点，经过平移后的对应点的坐标为，且、、的对应点分别为、、，请说明三角形是如何由三角形平移得到（沿网格线平移），并画出三角形.
【答案】（1）图见解析；点B的坐标为（1,3），点C的坐标为（﹣3,1）；（2）先向右平移1个单位，然后再向下平移2个单位；图见解析.
【分析】（1）根据题意，建立平面直角坐标系，然后写出B、C的坐标即可；
（2）根据P、Q两点坐标即可判断出点P到点Q的平移规律，从而得出：三角形ABC到三角形DEF的平移规律，根据平移规律画图即可.
【详解】解：(1)根据题意以为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示，由图可知：点B的坐标为（1,3），点C的坐标为（﹣3,1）；
（2）∵点，经过平移后的对应点的坐标为
∴点P到点Q的平移规律是：先向右平移1个单位，然后再向下平移2个单位
∴三角形ABC到三角形DEF的平移规律是：先向右平移1个单位，然后再向下平移2个单位
如下图所示：三角形DEF即为所求.
【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化，通过点的平移规律判断图形的变化规律是解决此题的关键.
30．（2025春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小明家可用坐标表示，汽车站可用坐标表示．
（1）根据题意，建立适当的平面直角坐标系；
（2）星期日早晨，小明同学从家出发，沿 的路线转了一圈，又回到家里，写出他沿途经过的地方．
【答案】（1）见解析；（2）学校，奶奶家，宠物店，医院，公园，邮局，游乐场，消防站
【分析】（1）根据小明家坐标，汽车站坐标及平面直角坐标系的定义建立即可；
（2）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后连接即可，再写出各地方的名称；
【详解】（1）如图
（2）学校，奶奶家，宠物店，医院，公园，邮局，游乐场，消防站
【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要是平面直角坐标系的建立与点的坐标位置的确定方法，确定原点是解题的关键．
31．（2025春·湖北武汉·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点．
（1）若，则 ？
（2）若满足
①若点到轴的距离是它到轴距离的倍，求点的坐标；
②点的横坐标为，且的面积等于，求的值．
【答案】（1）±2；（2）①A(1，4)或(－3，12)；②a=1或a=7
【分析】（1）根据AB的长和A、B两点坐标可得，从而求出结论；
（2）①解方程可得，从而用a表示出点A的坐标，然后根据题意列出方程即可求解；
②分别求出，C到AB的距离为，，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴
∴±2
故答案为：±2
（2）①
解得：
∴A(a，－2a+6)
∵点A到x轴的距离是它到y轴距离的4倍
∴
∴或
∴a=1或a=－3
∴A(1，4)或(－3，12)
②∵A（a，b），B（a，c），
∴AB∥y轴，
∴
∵点C的横坐标为m，
∴C到AB的距离为
∵，
∴
∴
∴
将代入得：
∴，
∴a=1或a=7
【点睛】此题考查的是点的坐标与线段长度的关系，掌握点的坐标与线段长度的关系和方程组的解法是解决此题的关键．
32．（2025春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）、B（﹣2，﹣2）．
（1）描出A、B两点的位置，并连接AB、AO、BO．
（2）△AOB的面积是 ．
（3）把△AOB向右平移4个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的△A1O1B1，并写出各点的坐标．
【答案】（1）图见解析；（2）7；（3）图见解析，．
【分析】（1）先描出点，再连接即可得；
（2）利用长方形的面积减去、、的面积即可得；
（3）先根据平移的性质分别画出点，再顺次连接即可得，然后根据点坐标平移变换规律即可得点的坐标．
【详解】解：（1）先描出点，再连接，画图如下：
（2）如图，，
，
则的面积是，
，
，
，
故答案为：7；
（3）先根据平移的性质分别画出点，再顺次连接即可得，如图所示：
，
，
即．
【点睛】本题考查了坐标与图形、图形的平移等知识点，较难的是题（3），熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
33．（2025春·湖北孝感·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为(1，0)、(-2，0)，现同时将点分别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接、、.
(1)若在轴上存在点,连接，使S△ABM =S□ABDC，求出点的坐标；
(2)若点在线段上运动，连接，求S=S△PCD+S△POB的取值范围；
(3)若在直线上运动，请直接写出的数量关系.
【答案】(1)(0，4)或(0，-4)；
(2)；
(3)答案见解析
【分析】（1）先根据S△ABM =S□ABDC，得出△ABM的高为4，再根据三角形面积公式得到M点的坐标；
（2）先计算出S梯形OBDC=5，再讨论：当点P运动到点B时，S△POC的最小值=2，当点P运动到点D时，S△POC的最大值=3，即可判断S=S△PCD+S△POB的取值范围的取值范围；
（3）分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP，于是∠BOP-∠DCP=∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP-∠BOP=∠CPO．
（1）
由题意，得C（0，2）
∴平行四边形ABDC的高为2
若S△ABM =S□ABDC，则△ABM的高为4
又∵点M是y轴上一点
∴点M的坐标为(0，4)或(0，-4)
（2）
∵B（-2，0），O（0，0）
∴OB=2
由题意，得C（0，2），D（-3，2）
∴OC=2，CD=3
∴S梯形OBDC=
点在线段上运动，
当点运动到端点B时，△PCO的面积最小，为
当点运动到端点D时，△PCO的面积最大，为
∴S=S△PCD+S△POB= S梯形OBDC－S△PCO=5－S△PCO
∴S的最大值为5－2=3，最小值为5－3=2
故S的取值范围是：
（3）
当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP，
∴∠BOP-∠DCP=∠CPO；
同理，如图3，可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP-∠BOP=∠CPO．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质及三角形的面积．利用分类讨论思想，并构造辅助线利用平行线的性质推理是解题的关键．
34．（2025春·河南周口·七年级统考期中）如图所示，已知点A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．
(1)直接写出点D、E的坐标．
(2)在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿B→C→D移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t＝ 秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数．
②求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示，写出过程）．
③t为何值时，点P运动到线段CD的中点．
【答案】(1)
(2)①2；②当点在上时，；当点在上时，点；③当为4秒时，点运动到线段的中点
【分析】（1）根据点的横坐标可得平移方式为沿轴负方向平移3个单位长度，再根据点的坐标的平移变换规律即可得；
（2）①分点在上，即和点在上，即两种情况，分别根据点的横坐标与纵坐标互为相反数建立方程，解方程即可得；
②分点在上，即和点在上，即两种情况，根据运动速度和时间、以及点的位置进行求解即可得；
③先根据点运动到线段的中点可得，再结合②的结论，建立方程，解方程即可得．
（1）
解：点的横坐标为0，点的横坐标为，
平移方式为沿轴负方向平移3个单位长度，
，
，
即．
（2）
解：①轴，
，
点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒，
当点在上，即时，设，
点的横坐标与纵坐标互为相反数，
，解得，符合题设；
当点在上，即时，设，即，
点的横坐标与纵坐标互为相反数，
，解得，不符合题设，舍去；
综上，当秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数，
故答案为：2；
②当点在上时，点的横坐标为，纵坐标为2，即，
当点在上时，点的横坐标为，纵坐标为，即；
③当点运动到线段的中点时，则，即，
由（2）②可知，当点在上时，点，
所以，
解得，
答：当为4秒时，点运动到线段的中点．
【点睛】本题考查了点的坐标的平移变换、点坐标与图形等知识点，熟练掌握点的坐标的平移变换规律是解题关键．
35．（2025春·七年级课时练习）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：
【问题情境】
在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段MN的长度为若，则轴，且线段MN的长度为；
【实践操作】
(1)若点、，则轴，的长度为 ﹔若点，且轴，且，则点N的坐标为 ．
【拓展应用】
(2)如图，在平面直角坐标系中，，，．
①如图1，求的面积；
②如图2，点D在线段上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若的面积等于14，求点D坐标．
【答案】(1)3；或
(2)①10，②
【分析】（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可；
（2）①先计算，再利用面积公式计算即可；
②设，由等积法，得到，再结合图形，利用得到点的坐标
【详解】（1）解： ，，
，，
，
或，
或；
故答案为：3；或
（2）①，，，
,
②连接，
设，
，
，
，
∵点D向右平移4个单位长度得到E点，
，
【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．