08年北京市中考模拟分类汇编⑷
函数
一、函数基本知识
（海淀一模）函数中，自变量的取值范围是 .
（朝阳一模）函数中，自变量的取值范围是（ ）
且 且
（朝阳一模）如图，抛物线，，下列关系中正确的是（ ）
A
（大兴一模）函数自变量 的取值范围是（ ）
B
（大兴一模）若反比例函数的图象上有两点，，则_____（填“”或“”或“”）．
.
(丰台一模)写出一个图像在第二、第四象限的反比例函数的解析式 ．
【答案】(答案不惟一)
（宣武一模）已知一次函数（，是常数，且），与的部分对应值如表所示，那么的值等于（ ）.
（A） （B） （C） （D）
（宣武一模）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和，且与轴相交于负半轴，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确的序号是 .
①④
（石景山二模）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形.设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为 （ ）
A.
（昌平二模）如果反比例函数的图象经过点，那么的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
二、函数综合
（大兴一模）如图2，是一次函数与反比例函数的图象，则关于的方程的解为( )
A． B．
C． D．
（海淀一模）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，直线经过上的三分之一点，且交轴的负半轴于点，如果，求直线的解析式.
∵直线与轴，轴交点为,
∴两点坐标分别为,
∴，
∴
∵为上的三分之一点，
∴点的坐标为或，
∵
∴当是，；当时，,
∵点在轴的负半轴上，
∴点的坐标为或
∴直线的解析式为或
（宣武一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于(1，3)、（，）两点.
⑴ 求反比例函数与一次函数的解析式；
⑵ 根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？
【答案】⑴ 点(1，3)在反比例函数图象上，
，即.
反比例函数解析式为. ………………………………………………… 1分
又点（，）在反比例函数图象上，
，即.
（，）. ………………………………………………………………………… 2分
又点(1，3)和（，）在一次函数图象上，
，解得
一次函数解析式为.…………………………………………………… 3分
⑵ 由交点(1，3)和（，）可知：
当或时，反比例函数的值大于一次函数的值. ……………………… 5分
（朝阳一模）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，其中为非负整数，点，是一次函数与反比例函数图象的交点，且、为常数．
⑴ 求的值；
⑵ 求一次函数与反比例函数的解析式．
⑴ 依题意,得……………………………………1分
解得 且．
∵为非负整数，∴. …………………………………………………2分
⑵ 当时，原方程化为．
解得．∴，． ……………………………………………3分
把，和代入，得．
∴一次函数的解析式是．…………………………………………4分
把，代入，得．
∴反比例函数的解析式是．………………………………………5分
(丰台一模)一次函数的图象经过点，且分别与轴、轴交于点、．
点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，且．
⑴ 求的值，并在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；
⑵ 求与满足的等量关系式．
【答案】⑴ 一次函数的图象经过点 (1,4)，
则 ，，…………………………………………分
∴ ．
该函数的图象见右图： …………………………………………分
⑵ 函数的图象与轴、轴的交点分别为
、, ………………………分
∵，设交点为,
则 ,
∴△△,……………………分
∴ ,即
∴． ………………………………分
（朝阳一模）如图，在矩形中，，，点处有一动点以的速度由向运动，同时点处也有一动点以的速度由向运动，设运动的时间为，四边形的面积为，求与的函数关系式及自变量的取值范围.
依题意，得，． …………1分
在矩形中，，，，
∴，． …………………………………………………2分
∴四边形的面积=
即．…………………………………………………………………4分
自变量的取值范围是． ……………………………………………5分
（朝阳一模）已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.
⑴ 求此抛物线的解析式；
⑵ 连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.
⑴ ∵轴且点，，
∴设点的坐标为，．
∵直线经过点，
∴．∴．
即点，．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为，，
又∵直线经过点，
∴，．即，．
∴设抛物线的解析式为．
∵点，在抛物线上，∴．
即抛物线的解析式为．……………………………………3分
⑵ 作于点，于点．
由⑴中抛物线可得
点，，，，
∴，，．
∴．
∵，∴．
∴．
在中，．
在中，∵，，∴．∴．
．
∴．
即．…………………………………………………………8分
（昌平二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x = -1，B(1,0)，C(0,-3).
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴ 二次函数的解析式是：……2分
⑵ ∵ A、B两点关于对称轴对称
∴ 点A（-3，0）
作直线AC交对称轴于点P ，点P即为所求
设直线AC的解析式是：
∴
∴
∴设直线AC的解析式是：
当时，
∴点P的坐标是（-1，-2）……………………6分
（大兴一模）已知二次函数的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且．
⑴ 求该二次函数的解析表达式；
⑵ 将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物线的另一个交点为C，求△ABC的面积．
【答案】⑴ 由B（0，4）得，c=4．
抛物线与x轴的交点A（，0），
∵，
∴，
∴=，即A（－2，0）．……1分
∴解得
所求二次函数的解析式为．……………………………………………3分
⑵ 设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点A（，0），
所以，即平移后所得一次函数的解析式为
y=．………………………………………4分
令=，
解得，．
将它们分别代入y=，
得，．
所以图象L与抛物线的
另一个交点为C（，9）．…………………………………………6分
如图，过C作CD⊥x轴于D，则
S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD -S△ABO
=…………………………………………7分
（宣武一模）已知：直线交轴、轴于两点，经过两点的抛物线的顶点在直线AC上．
⑴ 求两点坐标；
⑵ 求出该抛物线的函数关系式；
⑶ 以点为圆心，以为半径作，将沿轴翻折得到，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
⑷ 若为优弧上一动点，联结，问在抛物线上是否存在一点，使，若存在，试求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】⑴ 当时，，点坐标为
当时，， , 点坐标为………………………… 1分
⑵ 抛物线经过，,
对称轴， ∴.①
当时，代入得，∴点坐标为.
点在抛物线上，
.②
联立①、②解得.
该抛物线的函数关系式为.……………………………………………3分
⑶ 与相切，理由如下：
联结， ， .
.
.
又
与相切。 ……………………4分
⑷ 存在这样的点，使得 .
设点坐标为.
,
而， …………………………………5分
当点在轴上方时，， ∴.
∵点在抛物线上，
∴. 解得：，（不合题意，舍去）.
.………………………………………………………………6分
当点在轴下方时，， ∴.
∵点在抛物线上，
∴. 解得：，（不合题意，舍去）.
.
∴点坐标为或.…………………………7分
三、函数与应用
（大兴一模）某肉食加工厂在烤制风味肠时主要依据的是下面表格中的数据：
根据以上表格所提供的信息回答：
⑴ 当烤制的风味肠的质量为2.5千克时，需要烤制时间是多少？
⑵ 当烤制的风味肠的质量为千克时，需要烤制时间是多少分钟？
【答案】
⑴ 由表中提供的数据可知，当烤制的风味肠的质量为2.5千克时，
需要烤制时间是24分钟. ………………………………………………1分
⑵ 从表中可以看出，风味肠的质量每增加0.5千克，烤制风味肠的时间增加4分钟，由此可知烤制时间是风味肠的质量的一次函数.
设烤制时间为分钟，风味肠的质量为千克，
与的一次函数关系式为：……………………………………2分
由题意可得：，解得 ……………………………………3分
所以………………………………………………………………4分
当千克时，.
所以当烤制的风味肠的质量为a千克时，需要烤制风味肠的时间是分钟……5分
(丰台一模)某公司专销产品，第一批产品上市天内全部售完．该公司对第一批产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图（1）和图（2）所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量(万件)与上市时间(天)的关系，图（2）中的折线表示的是每件产品的日销售利润(元)与上市时间(天)的关系．
⑴ 试写出第一批产品的市场日销售量(万件)与上市时间(天)的关系式；
⑵ 第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】⑴ ①当时，设，
∵图象过点，
∴，解得，,
∴． ……………………………………………………………………分
② 当时，设，
∵图象过点，
∴ 解得，
∴．………………………………………………………………分
综上所述， …………………………………分
⑵ 解法一：
由图⑴知，当t＝30天时，日销售量最大为60万件； …………………分
由图⑵知，当t＝30天时，产品的日销售利润最大为60元/件；………分
故当t＝30天时，市场的日销售利润最大为万元．…………分
解法二：
由图⑵,得每件产品的日销售利润为，
当时，产品的日销售利润为，此时利润最大为2400万元；
当时，产品的日销售利润为，此时利润最大为3600万元；
当时，产品的日销售利润为，此时利润最大为3600万元．
(丰台一模)有一座抛物线型拱桥，其水面宽为，拱顶离水面的距离为，货船在水面上的部分的横断面是矩形，如图建立平面直角坐标系．
⑴ 求此抛物线的解析式，并写出自变量的取值范围；
⑵ 如果限定的长为，不能超过多少米，才能使船通过拱桥？
⑶ 若设，请将矩形的面积用含的代数式表示，并指出的取值范围．
【答案】⑴ 依题意可知，点，………………………………………………分
设抛物线的解析式为，∴． ……………………………分
，
自变量x的取值范围是． …………………………………………分
⑵ ，
∴点的横坐标为，则点的纵坐标为，
∴点的坐标为，……………………………………………………分
因此要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过（米）．…………分
⑶ 由，则点坐标为，…………………………分
此时 ， ………………………………………分
∴， ． …………………分
（昌平二模）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数. 已知在正常情况下，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和114次/分.
⑴ 根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数关系式；
⑵ 若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
【答案】⑴ 设.
由题设得
所以，S关于n的函数关系式为……………………3分
⑵ 当时， ，
因为这位63岁的人10秒心跳为26次，所以，每分钟心跳为156次，
因此，他不适合从事如此剧烈的运动，他有危险. ……………………5分
（昌平二模）五一期间，某区一中、二中组织100名优秀教师去某景区旅游，（其中一中教师多于二中教师），景区门票价格规定如下表：
若两校都以校为单位一次性够票，则两校一共需付4725元，求两校各有多少名优秀教师参加这次旅游？若两校联合起来，作为一个团体够票，能节约多少钱？
【答案】设一中优秀教师人，则二中优秀教师人，……………………1分
由题意得：……………………3分
解之，得，……………………4分
（元）……………………5分
∴一中、二中分别55名、45名优秀教师参加这次旅游，若两校联合起来够票，可节约725元.