仁和中学2014年上学期九年级数学期末试题
（时间：120分钟；满分：100分）
选择题（每小题3分，共24分）
1. 若方程的两根为、，则的值为( )
A．3 B．－ C． D．
2．二次函数的最小值是 （ ）
A、2 B、、-1 D、1
3. 关于x的一元二次方程（m－1）x2－2mx+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是
（ ）
A. m>0 B. m≥ C. m>0且m≠1 D. m≥0，且m≠1
4. 下图中不是中心对称图形的是（ ）
A B C D
5．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB =∠ACB =α．则α的值为( )
A．135° B．120° C．110° D．100°
6．如图,⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( )
A．2 B． C．4 D．5
7. 如图，若<0，b>0，c<0，则抛物线的图象大致为( )
8. 已知两圆半径为和，圆心距为，则两圆的位置关系是( )
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 点（2，）关于原点对称点的坐标为 .
10. 如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，，
，那么弦的长是 。
11. 在半径为的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于 .
12. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=___________。
13. 关于x的方程,当= 时为一元二次方程。
14．将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是 。
三、解答题（共58分）
15、解方程：（4分）
16、计算：（4分）是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．
17、（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过点D。
（1）求证： BC是⊙O切线；
（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长。
18、（5分）某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件.
⑴若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？
⑵若要使商场平均每天的盈利最多，请你为商场设计降价方案.
19、（6分）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB = ，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时的速度上升，则经过
多长时间桥洞会刚刚被灌满？
20、（6分）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为
（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
21、（6分）在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，如图所示，O、A、B三点均为格点．
（1）直接写出线段OB的长；
（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′。请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B所经过的路径弧BB′的长度．
22、（6分）在一个不透明的口袋中有四个手感完全一致的小球，四个小球上分别标有数字－4，－1, 2, 5；
（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明的数是奇数的概率是多少？
（2）从口袋中随机摸出一个小球不放回，再从中摸出第二个小球：
①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果？
②求依次摸出的两个小球所标数字为横坐标，纵坐标的点位于第四象限的概率．
23、（7分）某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长）另外
三边用木栏围成，木栏长。
（1）若养鸡场面积为，求鸡场的一边AB的长。
（2）请问应怎样围才能使养鸡场面积最大？最大的面积是多少？
（3）养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设
计方案，如果不能，请说明理由。
24、(本题9分)如图，对称轴为的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
仁和中学2014九年级数学上学期期末参考答案
一、选择题：BADD BABA
二、填空题：9. 10.8 11.2 12.3 13.-1 14. y＝2x2-1
三、解答题：
15.
16. ，
，
17. （1）证明:连接OD. ∵ OA=OD, AD平分∠BAC,∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD。∴ ∠ODA=∠CAD。 ∴ OD//AC。∴ ∠ODB=∠C=90。∴ BC是⊙O的切线。（还有其他方法）（2）过D点作AB的垂线段DE，DE=DC=3，BD=5，则BE=4，又∵AE=AC,在直角△ABC中运用勾股定理,设AC=x,则 ，x=6， ∴ AC=6
18. 解：⑴设每件衬衣应降价元:（40-x）(20+2x)=1200,解得（依题意，舍去）
⑵W=(40-x)(20+2x)=-2(x-15)2+1250 ∵ ∴当时商场平均每天的盈利最多，最多为1250元。
19.解：(1)∵直径AB = ∴OD= ∵OE⊥CD
∴ ∵OE∶CD=5∶24 ∴OE∶ED=5∶12 ∴设OE=5x,ED= 12x
∴在Rt△ODE中 解得x=1 ∴CD=2DE=2×12×1=
(2)由（1）的OE=1×5=, 延长OE交圆O于点F
∴EF=OF-OE=13-5= ∴ 所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满
20.（1）由二次函数的图象经过（－1，0）和（0，－3）两点，
得 解方程组，得 ∴抛物线的解析式为
（2）令，得. 解方程，得，．
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）.
（3）当时，y＜0.
21.（1）OB=3 （2） 22.（1）P==0.5； （2）①略；②P==
23.解：（1）设鸡场的一边AB的长为米，则
整理得： 解得：
∵墙长 ∴ 即，解得： ∴
（2）围成养鸡场面积为S，则S==，∴当时，S有最大值200. 即鸡场垂直于墙的一边AB的长为时，围成养鸡场面积最大，最大值2.
（3）不能，由（2）可知养鸡场面积最大值2，故养鸡场面积不能达到2。
或者可由=205，得=205 ，由△<0可得方程无解，故不能。
24、（本题9分）（1）方法一：由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
————————2分
把A、B两点坐标代入上式，得……..................................3分
解得． ………………………….4分
所以抛物线的解析式为，顶点为．……………………5分
方法二：设抛物线的解析式为，由抛物线的对称轴是可得
，再把（6，0）、（0，4）代入中可得到：
（2）因为点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合抛物线的解析式，
所以y<0，即-y>0，-y表示点E到OA的距离．
因为OA是□OEAF的对角线，所以S=2S△OAE=2OA·=-6y=．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以，自变量x的取值范围是．
①依题意，当S=24时，即，解得x1=3，x2=4．
所以点E的坐标为（3，-4）或（4，-4）．
E（3，-4）满足OE=AE，所以□OEAF是菱形；
E（4，-4）不满足OE=AE，所以□OEAF不是菱形．…………………………..7分
②当OA⊥EF，且OA=EF时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，-3），而点（3，-3）不在抛物线上，故不存在这样的点E，使□OEAF是正方形．…………………………9分