2016-2017学年第一学期初三数学期中压轴题训练（2）
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．
3．如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．
4．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是 ；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
9．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．
12．如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．
（1）求抛物线m的解析式；
（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
14．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
15．抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
16．如图，二次函数y=﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．
17．如图1，二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48．
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；
（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．
18．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
21．如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O，求此时Rt△A1O与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2，Rt△A2O2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
23．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．
（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？
24．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．
（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；
（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；
（4）若将抛物线平移m（m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
28．如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
（1）当m=2时，a= ，当m=3时，a= ；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 ；
（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
29．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．
30．如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
参考答案与解析
1．（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；
（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A（1，3），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，
∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴==3，
∴MF=3PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF==，
∴FN=PF，
∴MN=MF+FN=4PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴a2=2××4PF2，
∴a=2PF，
∴NC=a=2PF，
∴==，
∴MN=NC=×a=a，
∴MC=MN+NC=（+）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（ +）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，
解得a=3﹣或a=0（舍去），
OC=4﹣a=+1，MC=2+，
∴点M的坐标为（+1，2+）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等．在（2）中注意分点D在x轴和y轴上两种情况，在（3）中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键，注意构造三角形相似．本题涉及知识点较多，计算量较大，综合性较强，特别是第（3）问，难度很大．
2．（2016•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标
（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；
②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．
【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；
当y=0时，﹣x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，
所以C点坐标为（8，0）；
（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），
∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，
∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=•4•t+•8•（﹣t2+t+8）﹣•4•8
=﹣t2+6t+16
=﹣（t﹣3）2+25，
当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴S的最大值为50；
②∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD=EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），
∵E（t﹣8，﹣t2+t+12）在抛物线上，
∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7，
当t=7时，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，
∴此时S=2S△CDF=18．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．
3．（2016•钦州）如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．
【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中x=0求出点C的坐标，根据点A、B的坐标即可求出其中点M的坐标，由此即可得出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得出，代入数据即可求出DC的长度；
（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标，由此即可得出点P横坐标的范围，再过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE面积的最大值．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为y=x2+x﹣2．
（2）令y=x2+x﹣2中x=0，则y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC=2，CE=4．
∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，
∴M（﹣1，0），
∴CM==．
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CDE=90°，
∴△COM∽△CDE，
∴，
∴DC=．
（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为y=x2+x﹣2+=x2+x﹣，
令y=x2+x﹣中y=0，即x2+x﹣=0，
解得：x1=，x2=．
∵点P在第三象限，
∴＜x＜0．
过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．
在Rt△CDE中，CD=，CE=4，
∴DE==，sin∠DCE==，
在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，
∴DD′=CD•sin∠DCE=，CD′==，
OD′=CD′﹣OC=，
∴D（﹣，），D′（0，），
∵P（x， x2+x﹣），
∴P′（0， x2+x﹣）．
∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′•ED′+（DD′+PP′）•D′P′﹣PP′•EP′=﹣﹣x+2（＜x＜0），
∵S△PDE=﹣﹣x+2=﹣+，＜﹣＜0，
∴当x=﹣时，S△PDE取最大值，最大值为．
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=﹣﹣x+2（＜x＜0），且△PDE面积的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系；（3）利用分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，但数据稍显繁琐，本题巧妙的利用了分割图形法求不规则的图形面积，给解题带来了极大的方便．
4．（2016•新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
【分析】（1）根据对称轴、A、B点的坐标，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；
（3）根据函数值，可得E点坐标，根据菱形的判定，可得答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A、B点的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣4，
配方，得
y=﹣（x﹣）2+，
顶点坐标为（，）；
（2）E点坐标为（x，﹣x2+x﹣4），
S=2×OA•yE=6（﹣x2+x﹣4）
即S=﹣4x2+28x﹣24；
（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：
当平行四边形OEAF的面积为24时，即
﹣4x2+28x﹣24=24，
化简，得
x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，
当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形．
当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．
∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，配方法求函数的顶点坐标；利用平行四边形性质是解题关键；利用方程的判别式是解题关键．
5．（2016•六盘水）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得，，
即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），
当PA=PD时，
=，
解得，y=﹣，
即点P的坐标为（1，﹣）；
当DA=DP时，
=，
解得，y=﹣4±，
即点P的坐标为（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）；
当AD=AP时，
=，
解得，y=±4，
即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．
【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
6．（2016•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是 （0，） ；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
【分析】（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；
（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；
（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A，
∴A（0，），
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA=OA=，
∴OB=，即B点坐标为（0，），
故答案为：（0，）；
（2）∵B点坐标为（0，），
∴直线解析式为y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，
∴OC=﹣，
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方，
如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，
则BD=OC=﹣，CD=OB=，
∴PD=PC﹣CD=m﹣，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，
即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，
∴PB+，
∴P点坐标为（﹣， +），
当x=﹣时，代入抛物线解析式可得y=+，
∴点P在抛物线上；
（3）如图2，连接CC′，
∵l∥y轴，
∴∠OBC=∠PCB，
又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∴∠PBC=∠OBC，
又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC′，
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，
在Rt△OBC中，OB=，则BC=1
∴OC=，即P点的横坐标为，代入抛物线解析式可得y=（）2+=1，
∴P点坐标为（，1）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
7．（2016•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；
（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，
解得：x1=﹣3，x2=1，
∵A在B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3，
∴C（0，3）．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．
∵C（0，3），
∴C′（0，﹣3）．
设直线C′D的解析式为y=kx+b，
则有，解得：，
∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，
当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，
∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．
（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，
则有，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
假设存在，设点F（m，m+3），
△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣m﹣3=﹣m2﹣+3，
解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，
此时点P的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，P（+3，0）
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴0=﹣（+3）2﹣2×（+3）+3，
解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，
此时点P的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P（m，0），
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴0=﹣m2﹣+3，
解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，
此时点P的坐标为（1，0）．
综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．
【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．
8．（2016•南充）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【分析】（1）设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF==，列出方程即可解决问题．
（3））①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），代入抛物线解析式，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），
则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM==，
∵sin∠AMF=，
∴=，
∴=，整理得到++44=0，
∴（m+4）（+11）=0，
∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），
∴点Q坐标（﹣4，）．
（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）．
∵直线AC解析式为y=x+5，
∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），
∵QN=PM，
∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，
解得m=﹣3±，
∴点M坐标（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．
②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），
∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，
解得m=﹣3．
∴点M坐标（﹣2，3），
综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．
【点评】本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
9．（2016•甘孜州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，
∴x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3，CM=，
∴S△BCM=BC×CM=×3×=3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，
∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，
∴n=，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，
∴m2+﹣3=，
∴m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，
∴N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）．
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
联立①②得（舍），，
∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）或N（﹣2，﹣3）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N分在x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决（3）的关键，也是初中阶段常用的方法．
10．（2016•临夏州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；
（2）分两种情况进行计算即可；
（3）确定出面积达到最大时，直线PC和抛物线相交于唯一点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+，根据锐角三角函数求出BD，计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，
∴，
∴，
∴y=﹣x2+2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n，
∴，
∴，
∴y=﹣x+3；
（2）由运动得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，
∵△AEF为直角三角形，
∴①△AOB∽△AEF，
∴，
∴，
∴t=，
②△AOB∽△AFE，
∴，
∴，
∴t=1；
（3）如图，存在，
过点P作PC∥AB交y轴于C，
∵直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，
联立，
∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，
∴x2﹣3x+b﹣3=0
∴△=9﹣4（b﹣3）=0
∴b=，
∴BC=﹣3=，x=，
∴P（，）．
过点B作BD⊥PC，
∴直线BD解析式为y=x+3，
∴BD=，
∴BD=，
∵AB=3
S最大=AB×BD=×3×=．
即：存在面积最大，最大是，此时点P（，）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，平行线的解析式的确定方法，互相垂直的直线解析式的确定方法，解本题的关键是确定出△PAB面积最大时点P的特点．
11．（2016•上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．
【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；
（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；
（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，
∴C（0，﹣5），
∴OC=5．
∵OC=5OB，
∴OB=1，
又点B在x轴的负半轴上，
∴B（﹣1，0）．
∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），
∴，解得，
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．
连接AC，
∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），
又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，
∴CH=2，
在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，
∴tan∠CBH==．
∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，
∵∠BEO=∠ABC，
∴，得EO=，
∴点E的坐标为（0，）．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．
12．（2016•济宁）如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．
（1）求抛物线m的解析式；
（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0，将解析式进行配方就可以求出a的值，继而得出函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的方法，首先通过B点关于l的对称点B′来确定P点位置，再求出直线B′E的解析式，进而得出P点坐标；
（3）可以先求出直线FD的解析式，结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个条件，明确∠FDG=90°，得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘积为﹣1，利用D点坐标求出直线DG解析式，将点Q坐标用抛物线解析式表示后代入DG直线解析式可求出点Q坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上
∴配方得y=a（x﹣3）2﹣+1，则有﹣+1=0，解得a=
∴A点坐标为（3，0），抛物线m的解析式为y=x2﹣x+1；
（2）∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为（6，1）
∴连接EB′交l于点P，如图所示
设直线EB′的解析式为y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得
解得，
则函数解析式为y=﹣x+
把x=3代入解得y=，
∴点P坐标为（3，）；
（3）∵y=﹣x+与x轴交于点D，
∴点D坐标为（7，0），
∵y=﹣x+与抛物线m的对称轴l交于点F，
∴点F坐标为（3，2），
求得FD的直线解析式为y=﹣x+，若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，
设DQ的直线解析式为y=2x+b，把（7，0）代入解得b=﹣14，则DQ的直线解析式为y=2x﹣14，
设点Q的坐标为（a，），把点Q代入y=2x﹣14得
=﹣14
解得a1=9，a2=15．
∴点Q坐标为（9，4）或（15，16）．
【点评】本题考查的知识点是二次函数性质、一次函数性质、轴对称性质，解题的关键是明确找线段和最小的点要通过轴对称性质找对称点，以线段FQ为直径的圆恰好经过点D则要转化为∠FDG=90°的条件来考虑．
13．（2016•温州）如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
【分析】（1）根据A、C两点纵坐标相同，求出点A横坐标即可解决问题．
（2）求出点D坐标，然后判断即可．
（3）①首先根据EO=2FG，证明BG=2DE，列出方程即可解决问题．
②求出直线AE、BO的解析式，求出交点M的横坐标，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，
∴点A纵坐标为﹣3，
y=﹣3时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，
∴点A坐标（m，﹣3），
∴AC=m，
∴BE==．
（2）∵m=，
∴点A坐标（，﹣3），
∴直线OA为y=﹣x，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3，
∴点B坐标（2，3），
∴点D纵坐标为3，
对于函数y=﹣x，当y=3时，x=﹣，
∴点D坐标（﹣，3）．
∵对于函数y=x2﹣x﹣3，x=﹣时，y=3，
∴点D在落在抛物线上．
（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四边形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵•DE•EO=•GB•GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴==，
∵点B坐标（，﹣3），
∴OC=2OE，
∴3=2（﹣3），
∵m＞0，
∴m=．
②∵A（m，﹣3），B（，﹣3），E（0，﹣3），
∴直线AE解析式为y=﹣2mx+﹣3，直线OB解析式为y=x，
由消去y得到﹣2mx+﹣3=x，解得x=，
∴点M横坐标为，
∵△AMF的面积=△BFG的面积，
∴•（+3）•（m﹣）=•m••（﹣3），
整理得到：4﹣=0，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
【点评】本题考查二次函数综合题、三角形面积问题、一次函数等知识，解题的关键是学会构建一次函数，通过方程组解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
14．（2016•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）当S△ABE=S△ABC时，可知E点和C点的纵坐标相同，可求得E点坐标；
（3）在△CAE中，过E作ED⊥AC于点D，可求得ED和AD的长度，设出点P坐标，过P作PQ⊥x轴于点Q，由条件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；
（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，
∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，
当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），
∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；
（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m， m2+m﹣5），
如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，
则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，
∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，
当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴=，即=，
∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），
当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得﹣﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得+﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．
【点评】本题主要考查二次函数的综合运用．涉及到的知识点有待定系数法、三角形的面积、相似三角形的判定和性质及分类讨论等．在（3）中利用∠BAP=∠CAE构造三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．
15．（2016•武汉）抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得
，解得，
抛物线的解析式为y=x2﹣；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3．
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
设OG=x，则PG=x，HG=x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y=x﹣
解方程组得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，﹣）．
∴点D的坐标为（1，﹣3）或（，﹣）．
（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c=0，c=﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OF==﹣==amt+at2．
同理OE=﹣amt+at2．
∴OE+OF=2at2=﹣=2OC．
∴=2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键；（2）利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键．
16．（2016•黔西南州）如图，二次函数y=﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出面积最大时，平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点，从而求出点M坐标；
（3）①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；
②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值．
【解答】解：（1）将B（4，0）代入y=﹣x2+3x+m，
解得，m=4，
∴二次函数解析式为y=﹣x2+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
（2）存在，
理由：∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=﹣x+4，
当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，
∴，
∴x2﹣4x+b=0，
∴△=14﹣4b=0，
∴b=4，
∴，
∴M（2，6），
（3）①如图，
∵点P在抛物线上，
∴设P（m，﹣m2++4），
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∴m=﹣m2++4，
∴m=1±，
∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），
②如图，
设点P（t，﹣t2+3t+4），
过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，
∵点D在直线BC上，
∴D（t，﹣t+4），
∵PD=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，
BE+CF=4，
∴S四边形PBQC=2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（PD×CF+PD×BE）=4PD=﹣4t2+16t，
∵0＜t＜4，
∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，对称性，面积的确定，解本题的关键是确定出△MBC面积最大时，点P的坐标．
17．（2016•重庆）如图1，二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48．
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；
（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．
【分析】（1）根据S△AMO：S四边形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比为1：7，从而求出BN，继而求出点B的坐标，用待定系数法求出直线解析式．
（2）先判断出PE×PF最大时，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大时G（5，），再简单的计算即可；
（3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得A′C′2=8，A′K2=﹣+18，C′K2=﹣+26，最后分三种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵点C是二次函数y=x2﹣2x+1图象的顶点，
∴C（2，﹣1），
∵PE⊥x轴，BN⊥x轴，
∴△MAO∽△MBN，
∵S△AMO：S四边形AONB=1：48，
∴S△AMO：S△BMN=1：49，
∴OA：BN=1：7，
∵OA=1
∴BN=7，
把y=7代入二次函数解析式y=x2﹣2x+1中，可得7=x2﹣2x+1，
∴x1=﹣2（舍），x2=6
∴B（6，7），
∵A的坐标为（0，1），
∴直线AB解析式为y=x+1，
∵C（2，﹣1），B（6，7），
∴直线BC解析式为y=2x﹣5．
（2）如图1，
设点P（x0，x0+1），
∴D（，x0+1），
∴PE=x0+1，PD=3﹣x0，
∵∠DPF固定不变，
∴PF：PD的值固定，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3，
∴当x0=时，PE×PD最大，
即：PE×PF最大．此时G（5，）
∵△MNB是等腰直角三角形，
过B作x轴的平行线，
∴BH=B1H，
GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，
∴当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，
此时H（5，6），最小值为7﹣=
（3）令直线BC与x轴交于点I，
∴I（，0）
∴IN=，IN：BN=1：2，
∴沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移，平移后A′（m，1+），C′（2+m，﹣1+），
∴A′C′2=8，A′K2=﹣+18，C′K2=﹣+26，
当∠A′KC′=90°时，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此时t=m=2±；
当∠KC′A′=90°时，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此时t=m=4；
当∠KA′C′=90°时，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此时t=0．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的结论公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．
18．（2016•新疆）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC=3，BE=2，CE=，OD=1，OB=3，BD=，求出比值，得到得出结论；
（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，
∴c=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴E（1，﹣4），
∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，BE=2，CE=，
∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∵B（3，0），
∴OD=1，OB=3，BD=，
∴，，，
∴，
∴△BCE∽△BDO，
（3）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，PB=，PC=，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴=，
∴m=﹣1，
∴P（1，﹣1），
②当PB=BC时，
∴3=，
∴m=±，
∴P（1，）或P（1，﹣），
③当PC=BC时，
∴3=，
∴m=﹣3±，
∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），
∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是分类．
19．（2016•临沂）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10﹣t，判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可，
【解答】解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
∴A（5，0），B（0，10），
∵抛物线过原点，
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，
∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如图1，
当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，
由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP=CQ，
∴2t=10﹣t，
∴t=，
∴当运动时间为时，PA=QA；
（3）存在，
∵y=x2﹣x，
∴抛物线的对称轴为x=，
∵A（5，0），B（0，10），
∴AB=5
设点M（，m），
①若BM=BA时，
∴（）2+（m﹣10）2=125，
∴m1=，m2=，
∴M1（，），M2（，），
②若AM=AB时，
∴（）2+m2=125，
∴m3=，m4=﹣，
∴M3（，），M4（，﹣），
③若MA=MB时，
∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，
∴m=5，
∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
∴点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣），
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点．
20．（2016•眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；
（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），
∴，
解得：a=﹣，b=﹣，c=3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；
（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（1，0），P（5，3），
∴，
解得：k=，b=﹣，
∴直线PA的解析式为y=x﹣，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．
21．（2016•铜仁市）如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可？
（3）作出辅助线，利用tan∠MDN=2或，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1=（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（，﹣），
（2）如图1，
连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P，连接AC，AP，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴PA=PB，
∵B（2，0），C（0，﹣1），
∴直线BC解析式为y=x﹣1，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴点P的横坐标为，
∴点P的纵坐标为﹣，
∴P（，﹣），
（3）如图2，
过点作NF⊥DM，
∵B（2，0），C（0，﹣1），
∴OB=2，OC=1，
∴tan∠OBC==，tan∠OCB==2，
设点N（m， m2﹣m﹣1），
∴FN=|m﹣|，FD=|m2﹣m﹣1+|=|m2﹣m+|，
∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，
∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB，
①当∠MDN=∠OBC时，
∴tan∠MDN==，
∴=
∴m=（舍）或m=或m=﹣，
∴N（，）或（﹣，），
②当∠MDN=∠OCB时，
∴tan∠MDN==2，
∴=2，
∴m=（舍）或m=或m=﹣，
∴N（，﹣）或（﹣，﹣）；
∴符合条件的点N的坐标（，）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，三角函数，三角形周长的计算，绝对值方程，过点N作抛物线对称轴的垂线是解本题的关键也是难点．
22．（2016•聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O，求此时Rt△A1O与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2，Rt△A2O2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式；
（2）由GH∥A1O1，求出GH=1，再求出FH，S重叠部分=S△A1O﹣S△FGH计算即可；
（3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），
∵C（0，4）在抛物线上，
∴4=﹣，
∴a=﹣，
∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4）
∴﹣x2+x+4=4，
∴x=6，
∴D（6，4），
（2）如图1，
∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，
∴F（3，），
∴FH=，
∵GH∥A1O1，
∴，
∴，
∴GH=1，
∵Rt△A1O与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分=S△A1O﹣S△FGH=A1O1×O﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．
（3）①当0＜t≤3时，如图2，
∵C2O2∥DE，
∴，
∴，
∴O=t，
∴S=S△OO=OO2×O=t×t=t2，
②当3＜t≤6时，如图3，
∵C2H∥OC，
∴，
∴，
∴C2H=（6﹣t），
∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2﹣S△C2GH
=OA×OC﹣C2H×（6﹣t）
=×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t）
=﹣t2+4t﹣6
∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=﹣t2+4t﹣6．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，解本题的关键是画出图形．
23．（2016•湖北襄阳）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．
（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？
【分析】（1）分别令y=0和x=0代入y=﹣x+3即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的交点式为y=a（x+2）（x﹣4），最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值和顶点D的坐标；
（2）若四边形DEFP为平行四边形时，则DP∥BC，设直线DP的解析式为y=mx+n，则m=﹣，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标；
（3）由题意可知，0≤t≤6，若△QMN为等腰直角三角形，则共有三种情况，①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．
【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣x+3
∴y=3，
∴C（0，3），
令y=0代入y=﹣x+3
∴x=4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），
∴a=﹣，
∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，
∴顶点D的坐标为（1，）；
（2）当DP∥BC时，
此时四边形DEFP是平行四边形，
设直线DP的解析式为y=mx+n，
∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
∴m=﹣，
∴y=﹣x+n，
把D（1，）代入y=﹣x+n，
∴n=，
∴直线DP的解析式为y=﹣x+，
∴联立，
解得：x=3或x=1（舍去），
∴把x=3代入y=﹣x+，
y=，
∴P的坐标为（3，）；
（3）由题意可知：0≤t≤6，
设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，
把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，
得：，
∴解得，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，
由题意知：QB=t，
如图1，当∠NMQ=90°，
∴OQ=4﹣t，
令x=4﹣t代入y=﹣x+3，
∴y=t，
∴M（4﹣t， t），
∵MN∥x轴，
∴N的纵坐标为t，
把y=t代入y=x+3，
∴x=t﹣2，
∴N（t﹣2， t），
∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，
∵MQ∥OC，
∴△BQM∽△BOC，
∴，
∴MQ=t，
当MN=MQ时，
∴6﹣t=t，
∴t=，
此时QB=，符合题意，
如图2，当∠QNM=90°时，
∵QB=t，
∴点Q的坐标为（4﹣t，0）
∴令x=4﹣t代入y=x+3，
∴y=9﹣t，
∴N（4﹣t，9﹣t），
∵MN∥x轴，
∴点M的纵坐标为9﹣t，
∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，
∴x=2t﹣8，
∴M（2t﹣8，9﹣t），
∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，
∵NQ∥OC，
∴△AQN∽△AOC，
∴=，
∴NQ=9﹣t，
当NQ=MN时，
∴9﹣t=3t﹣12，
∴t=，
∴此时QB=，符合题意
如图3，当∠NQM=90°，
过点Q作QE⊥MN于点E，
过点M作MF⊥x轴于点F，
设QE=a，
令y=a代入y=﹣x+3，
∴x=4﹣，
∴M（4﹣a，a），
令y=a代入y=x+3，
∴x=﹣2，
∴N（﹣2，a），
∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣，
当MN=2QE时，
∴6﹣=，
∴a=，
∴MF=QE=，
∵MF∥OC，
∴△BMF∽△BCO，
∴=，
∴BF=2，
∴QB=QF+BF=+2=，
∴t=，此情况符合题意，
综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．（2016•本溪）如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点P的坐标，①用△POA的面积是△POB面积的倍，建立方程求解即可；②利用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可；
（3）分OB为边和为对角线两种情况进行求解，①当OB为平行四边形的边时，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，设出M，N坐标用OH=BH，MH=NH，建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，1），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，∴
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
∵点P是第一象限抛物线上的一点，
∴设P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），
∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1
S△POB=OB×Px=×1×a=a
∵△POA的面积是△POB面积的倍．
∴﹣a2+a+1=×a，
∴a=或a=﹣（舍）
∴P（，1）；
②如图1，
由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
∴抛物线的对称轴为x=，抛物线与x轴的另一交点为C（﹣，0），
∵点A与点C关于对称轴对称，
∴QP+QA的最小值就是PC=；
（3）①当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，MN∥OB，
∵点N在直线AB上，
∴设M（m，﹣m+1），
∴N（m，﹣m2+m+1），
∴MN=|﹣m2+m+1﹣（﹣m+1）|=|m2﹣|=1，
Ⅰ、m2﹣=1，
解得，m=1±，
∴M（1+，（1﹣））或M（1﹣，（1+））
Ⅱ、m2﹣=﹣1，
解得，m=1，
∴M（1，）；
②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，
∴OH=BH，MH=NH，
∵B（0，1），O（0，0），
∴H（0，），
设M（n，﹣n+1），N（d，﹣d2+d+1）
∴，
∴或，
∴M（﹣（1+），（3+））或M（﹣（1﹣），（3﹣））；
即：满足条件的点M的坐标（1+，（1﹣））或（1﹣，﹣（1+））或（1，）或M（﹣（1+），（3+））或M（﹣（1﹣），（3﹣））；
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性质，对称性，解本题的关键是求抛物线解析式，确定最小值和点M坐标时，分类讨论是解本题的难点．
25．（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 5 个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．
②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，
∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标（，﹣）．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PB+PD最小．
理由：∵OA=1，OB=，
∴tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+OD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为．
故答案为．
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
故答案为5．
②如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．
则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵EB==，
∴OE=OB﹣EB=，
∵F（，t），EF2=EB2，
∴（）2+（t+）2=（）2，
解得t=或，
故F（，），G（，），
∴t的取值范围≤t≤
【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．
26．（2016•曲靖）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点C的坐标以及tan∠OAC=可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=，
∴OA=4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x， x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），
∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x+2）2+，
∵﹣＜0，
∴PH有最大值，
当x=﹣2时，PH取最大值，最大值为．
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中，，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣x2﹣x+3），则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，
∴|x+1|=|x2+x|，
∴x2+x=±（x+1），
解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，
代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，
∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据正方形的性质得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程求出点的横坐标是关键．
27．（2016•张家界）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．
（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；
（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；
（4）若将抛物线平移m（m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）把A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3即可得到结论；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b将A、B两点的坐标代入解析式解方程组即可得到结论；
（3）连接EB交x轴于点P，则P点即为所求，求出过E、B点的一次函数解析式为y=﹣5x+2，即可得到结论；
（4）如图2，设抛物线向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）个单位，得到新的抛物线的顶点C（1+m，﹣3），解方程组得到两抛物线的交点D（），解一元二次方程得到m=2或m=﹣3，即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3得﹣2=a（0﹣1）2﹣3，解得：a=1，
∵顶点为B，
∴B（1，﹣3）；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b
将A、B两点的坐标代入解析式求得：，
∴k=﹣1，b=﹣2，
∴写出一次函数的解析式为y=﹣x﹣2，；
（3）A点关于x轴的对称点记作E，则E（0，2），
如图1，连接EB交x轴于点P，则P点即为所求，
理由：在△PAB中，AB为定值，
只需PA+PB取最小值即可，
而PA=PE，从而只需PE+PB取最小值即可，
∵两点之间线段最短，
∴PE+PB≤EB，
∴E、P、B三点在同一条直线上时，取得最小值．
由于过E、B点的一次函数解析式为y=﹣5x+2，
当y=0时，x=，
∴P（，0）；
（4）如图2，设抛物线向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）个单位，
则所得新的抛物线的顶点C（1+m，﹣3），
∴新抛物线解析式为 y=（x﹣1﹣m）2﹣3
解得，
∴两抛物线的交点D（），
∴经过O、C的一次函数解析式是y=﹣x，若 O、C、D在同一直线上，
则 有，
化简整理得m3+m2﹣=0，
∵m≠0，
∴m2+m﹣6=0，解得：m=2或m=﹣3，
∴O、C、D三点能够在同一直线上，
此时m=2或m=﹣3．
即抛物线向右平移2个单位，或者向左平移3个单位，均满足题目要求．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平移的性质，解一元二次方程，轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．（2016•吉林）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
（1）当m=2时，a= ﹣ ，当m=3时，a= ﹣ ；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=﹣ ；
（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
【分析】（1）由△AOB为等边三角形，AB=，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可；
（2）同（1）的方法得出结论
（3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；
（4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为，
∴B（，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m， m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
当m=2时，a=﹣，
当m=3时，a=﹣，
故答案为：﹣，﹣；
（2）a=﹣
理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为，
∴B（，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m， m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
∴a=﹣，
（3）如图2，
∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，
设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），
∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，
∴，
∴，
①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④，
①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，
④+⑤化简得，an=﹣1，
∴a=﹣
故答案为a=﹣，
（4）∵OB的长度为，AM=m，
∴S△AOB=OB×AM=××m=m2，
由（3）有，AN=n
∵PQ的长度为2n，
∴S△APQ=PQ×AN=××n=n2，
由（2）（3）有，a=﹣，a=﹣，
∴﹣=﹣，
∴m=n，
∴===，
∴△AOB与△APQ的面积比为3：1．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，三角形面积的计算，解本题的关键是根据方程组找a与m，及a与n的关系．也是解本题的难点．
29．（2016•营口）如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；
（2）先求出∠DOE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；
（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从而求出时间t，
②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．
【解答】解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
∵点C（0，3）在抛物线上，
∴3=﹣，
∴a=﹣1
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），
（2）∵tan （α﹣β）=1，
∴α﹣β=45°，
∵∠DBO=α，∠EBO=β，
∴∠DOE=45°，
如图1，
过点E作EF⊥BD于F，
∴EF=BF，
∵B（3，0），D（1，4），
∴直线BD解析式为y=﹣2x+6①，
设点E（0，b），
∵EF⊥BD，
∴直线EF解析式为y=x+b②，
联立①②解方程组得，x=，y=（2b+3），
∴F（，（2b+3）），
∴EF2=[（6﹣B）]2+[（2b+3）﹣b]2=（6﹣b）2，FB2=[﹣3]2+[（2b+3）]2=[（2b+3）]2，
∵EF=FB，
∴EF2=FB2，
∴（6﹣b）2=[（2b+3）]2，
∴b=﹣9（舍）或b=1，
∴E（0，1），
（3）能，
理由：∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
设点M（m，﹣m+3），
∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形，
∴分CE为边和CE为对角线进行计算，
①如图2，
当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE，
过M作MN∥CE交抛物线于N，
∵点N在抛物线上，
∴N（m，﹣m2++3），
∴MN=|﹣m2++3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣|，
∵C（0，3），E（0，1），
∴CE=2，
∵MN=CE，
∴|m2﹣|=2，
∴m=或m=1或m=2，
∴M（，）或（，）或（1，2）或（2，1）；
∵C（0，3）
当M（，）时，CM=，
∴t==，
当M（，）时，
同理：t=，
当M（1，2）时，CM=，
∴t=，
当M（2，1）时，CM=2，
∴t=2=2，
②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分，
∵C（0，3），E（0，1），
∴线段CE的中点坐标为（0，2），
∵M（m，﹣m+3），
∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
设点N（n，﹣n2+2n+3），
利用中点坐标得，， =2，
∴或，
∴M（﹣，）或（﹣，），
当M（﹣，）时，CM=×，
∴t=
当M（﹣，）时，CM=×，
∴t=；
即：满足条件的t的值为或或1或2．点M共有6个．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，构造直角三角形，两点间的距离公式，平行四边形的性质，中点坐标，绝对值方程，构造直角三角形是解本题的关键，是一道中上难度的中考常考题，计算量较大．
30．（2016•扬州）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．
（3）设T（m，m2﹣），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣=﹣m+b，b=m2﹣+，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，
则有解得
∴二次函数y=x2﹣2x，
（2）由（1）得，B（1，﹣1），
∵A（﹣1，3），
∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，
设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或
∴P（1+，2）和（1﹣，2）
②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或
不用注册，免费下载！