怀柔区2018—2019学年度第一学期初三期末质量检测
数 学 试 卷 2019.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =，则∠BOC的大小为
A．40° B．30° C．80° D．100°
3．已知△∽△，如果它们的相似比为2∶3，那么它们的面积比是
A．3:2 B． 2:3 C．4:9 D．9:4
4．下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是
A． B． C． D．
5．正方形ABCD内接于，若的半径是，则正方形的边长是
A． B． C． D．
6．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC3，DE1.5，AD2，
则AB的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
8. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（-2，-3），（1，-3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．二次函数图象的开口方向是__________.
10．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为 .
11. 如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为2的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距6，与树相距15，那么这棵树的高度为 .
12.已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 .
13.如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是 .
14.写出抛物线y=2(x-1)2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标
可以是 和 .
15.如图，为测量河内小岛B到河边公路的距离，在上顺次取A，C，D三点，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路的距离为 米．
16.在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，-2），（1，-1），（2.17，0.37）.则过这三个点 （填“能”或“不能”）画一个圆，理由是 .
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．已知：. 求：.
18．计算：.
19．已知二次函数 y = x2-2x-3.
（1）将y = x2-2x-3化成y = a (x－h)2 + k的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标.
20．如图，在△ABC中，∠B为锐角， AB，BC7，，求AC的长．
21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5.
求证：∠DEC=90°．
22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程.
已知: △ABC.
求作: 在BC边上求作一点P, 使得△PAC∽△ABC.
作法:如图，
①作线段AC的垂直平分线GH；
②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点O；
③以点O为圆心，以OA为半径作圆；
④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D(与点A不重合)；
⑤连接线段AD交BC于点P.
所以点P就是所求作的点.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明.
证明: ∵CD=AC，
∴ = .
∴∠ =∠ .
又∵∠ =∠ ，
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依据).
23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2
与双曲线相交于点A(m，3).
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出直线和双曲线的示意图；
（3）若P是坐标轴上一点，当OA=PA时.
直接写出点P的坐标．
24. 如图，AB是的直径，过点B作的切线BM，点A，C，D分别为的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E， CD交AB于点F.
（1）求证：；
（2） 连接OE，若DE=m，求△OBE的周长.
25. 在如图所示的半圆中， P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.
小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小聪的探究过程，请补充完整:
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，
(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;
（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为 cm.
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线（其中、为常数，且＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的正切值；
（3）如果点是x轴上的一点，且，直接写出点P的坐标．
27. 在菱形ABCD中，∠ADC=60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移，使点D移动到点C，得到，在BD上取一点H，使HQ=HD，连接HQ，AH，PH.
（1） 依题意补全图1；
（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；
（3）若，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路. （可以不写出计算结果）
28. 在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q 是线段AB 的“倍分点”．
（1）若点A（1，0），AB=3，点Q 是线段AB 的“倍分点”．
①求点Q的坐标；
②若点A关于直线y= x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；
（2）⊙T的圆心T（0， t），半径为2，点Q在直线上，⊙T上存在点B，使点Q 是线段AB 的“倍分点”，直接写出t的取值范围．
2018-2019学年度第一学期期末初三质量检测
数学试卷评分标准
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.下10. 11. 12.13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15.16.能，因为这三点不在一条直线上.
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)
17．解：∵，∴=+1=.………………………5分
………………………3分
………………………4分
………………………5分
19．解：（1）y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3……………………………2分
=(x-1)2-4．……………………3分
（2）∵y=(x-1)2-4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，-4）．………………………5分
20.解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵，
∴∠B=∠BAD=45°.………………2分
∵AB，
∴AD=BD=3.…………………………3分
∵BC7，∴DC=4.
∴在Rt△ACD中，
.…………………………5分
21.（1）证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．
∵AD∥BC，∴∠A=90°．∴∠A=∠B．………………2分
∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，
∴.∴
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2．………………3分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°．
∴∠DEC=90°．………………5分
22.（1）补全图形如图所示:………………2分
（2）,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，
有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5分
23.解：(1)∵直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3）.
∴3=m+2，解得m=1.
∴A（1，3）……………………………………1分
把A（1，3）代入解得k=3，
……………………………………2分
(2)如图……………………………………4分
(3)P(0，6)或P(2，0) ……………………………………6分
24.证明：(1)∵点A、C、D为的三等分点，
∴ , ∴AD=DC=AC.
∵AB是的直径，
∴AB⊥CD.
∵过点B作的切线BM，
∴BE⊥AB.
∴.…………………………3分
连接DB.
由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt△DBE中，由DE=m，解得BE=2m，DB=m.
在Rt△ADB中利用30°角，解得AB=2m，OB=m.…………………4分
在Rt△OBE中，由勾股定理得出OE=m.………………………………5分
④计算出△OBE周长为2m+m+m.………………………………6分
25.（1）3.00…………………………………1分
（2）…………………………………………4分
（3）1.50或4.50……………………………2分
26．解：（1）由题意得，抛物线的对称轴是直线.………1分
∵a＜0，抛物线开口向下，又与轴有交点，∴抛物线的顶点C在x轴的上方.
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是.
可设此抛物线的表达式是，
由于此抛物线与轴的交点的坐标是，可得.
因此，抛物线的表达式是.………………………2分
（2）点B的坐标是.
联结.∵，，，得.
∴△为直角三角形，.
所以.
即的正切值等于.………………4分
（3）点p的坐标是（1，0）.………………6分
27.（1）补全图形，如图所示.………………2分
（2）AH与PH的数量关系：AH=PH，∠AHP=120°.
证明：如图，由平移可知，PQ=DC.
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.
∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°.
∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.
∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5分
（3）求解思路如下：
由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.
a.在△ABH中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°.
b.在△AHP中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°.
c.在△ADB中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°.
由a、b、c可得∠DAP=21°.
在△DAP中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，
从而求得DP长.…………………………………7分
28.解：（1）∵A（1，0），AB=3
∴B（1，3）或B（1，-3）
∵
∴Q（1，1）或Q（1，-1）………………3分
（2）点A（1，0）关于直线y= x的对称点为A′（0，1）
∴QA =QA′
∴………………5分
（3）-4≤t≤4………………7分