24.2 全等三角形的识别(B卷)
(综合应用创新训练题)
一、学科内综合题:(每题5分,共20分)
1.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在叙边AB上,且与AE重合,求CD的长.
2.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.
3.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,E为AB上的一点, DE=DC,以D为圆心,DB的长为行径作⊙D.求证:(1)AC为⊙D的切线;(2)AB+EB=AC.
二、学科间综合题:(7分)
5.如图所示,已知在斜面AC上有一重物G重10N,用力F去拉到A, 机械效率为80%,BD垂直平分AC,CD=2cm,求力F的大小(精确到0.1)
三、实践应用题:(每小题5分,共25分)
6.如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块,现要到玻璃店去配一块大小,形状完全相同的玻璃,那么他可以带哪块去?
7.如图所示,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC= 400 米,BD=300米,CD的距离为800米.牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走的路程最短?最短路程是多少?(精确到1米)
8.如图所示,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度为DF相等,求∠ABC+∠DFE的度数.
9.如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,这时测得的DE 的长就是AB的长,写出已知和求证,并且进行证明.
10.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图所示,∠AOB 是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合. 过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明.
四、创新题:(15分)
(一)教材中的变型题(5分)
11.教材P91页习题24.2第6题为:如图所示,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,你能找出图中的全等三角形吗?如果再加上AB=AC呢?
(1)一变:AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC,连接EF交AD于M,你能找出图中的全等三角形吗?
(2)二变:在变形(1)的基础上,当∠BAC=90°时,你能找出图中的全等三角形吗?
(二)多解题(5分)
12.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,求证:四边形ABCD是平行四边形.
(三)多变题(5分)
13.如图所示,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△BCN是等边三角形.
(1)求证:AN=BM;
(2)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图所示),AN与BM的关系如何?请说明理由.
五、中考题:(14、15、16、18、20、22每题3分,17、19、21题每题5分,共33分)
14.(2003,北京海淀区)如图1所示,点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O, 且AD=AE,AB=AC,若∠B=20°,则∠C=________.
15.(2003,天津)如图2所示,O为ABCD对角线AC、BD的交点,EF经过点O, 且与边AD、BC分别交于点E、F,若BF=DE,则图中的全等三角形最多有( )
A.2对 B.3对 C.5对 D.6对
16.(2003,黑龙江)如图3所示,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、 CE交于点H,请你添加一个适当的条件________,使△AEH≌△CEB.
17.(2003,哈尔滨)如图所示,已知点A、E、F、C在同一条直线上,AD∥BC,AD= CB,AE=CF,求证:BE=DF.
18.(2003,济南)如图4所示,△ABC中,已知AB=AC,要使AD=AE, 需要添加的一个条件是____________.
19.(2003,青岛)如图所示,在矩形ABCD中,F是BC边上一点,AF的延长线交DC的延长线于G,DE⊥AG于E,且DE=DC.
根据上述条件,请在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论.
20.(2003,呼和浩特)如图5所示,在△ABC与△DEF中,如果AB=DE,BC=EF,只要再找出∠________=∠________或_________=_________,就可证明这两个三角形全等.
21.(2003,福州)如图所示,已知点A、B、C、D在同一条直线上,AB=CD,∠D= ∠ECA,EC=FD,求证:AE=BF.
22.(2003,长沙)如图所示,若AC、BD、EF两两互相平分于点O, 请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.
Ｂ卷答案
一、
1.解:∵△ADE是由△ADC折叠而得到的,∴△ADE≌△ADC,
∴∠DEA=∠DCA=90°,DE=DC,AE=AC,
设CD=xcm,则DE=x,DB=BC-CD=8-x,
∵AC=6,BC=8, ∴AB=,
∴BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4(cm),
在Rt△DBE中,由勾股定理得BD2=BE2+DE2,
∴(8-x)2=42+x2,解得x=3(cm),即CD=3cm.
2.CM=DE+DF,
证明:作DN⊥MC,垂足为N,
∵CM⊥AB,DE⊥AB,∴四边形EDNM是矩形,∴DE=MN,
∵BA⊥MC,DN⊥MC,∴DN∥BA,∴∠NDC=∠ABC,
∵AB= AC, ∴∠ABC=∠ACB,∴∠NDC=∠FCD,
∵DN⊥MC,DF⊥AC,∴∠DNC=∠CFD=90°.
在△DNC 和△CFD中,∠DNC=∠CFD,∠NDC=∠FCD,CD=DC,
∴△DNC≌△CFD,∴CN=DF,
∵CM=MN+NC, ∴CM=DE+DF.
3.证明:(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,
∵CF⊥AE,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,
∵BD⊥BC,∴∠DBC=90°,∠DBC=∠ECA=90°,
在△ACE和△CBD 中,∠1=∠2,AC=CB,
∴∠ECA=∠DBC,∴△ACE≌△CBD,∴AE=CD.
(2)∵△CAE≌△BCD,∴CE=BD,
∵CE=BC,BC=AC,∴BD=AC,
∵AC=12,∴BD=6(cm)
4.证明:(1)作DF⊥AC,垂足为F,则∠DFA=90°,
∵∠B=90°, ∴∠B=∠DFA=90°.
在△ABD和△AFD中,∠1=∠2,∠B=∠DFA,AD=AD,
∴△ABD≌△AFD, ∴DB=DF,
又∵DF⊥AC,∴AC为⊙D的切线.
(2)∵∠B=∠DFC=90°,
∴在Rt△BED和Rt△FCD中,DE=DC,DB=DF,
∴Rt△BED ≌Rt△FCD,∴BE=FC,
∵△ABD≌△AFD,∴AB=AF,
∵AC=AF+FC,∴AC=AB+BE.
二、
5.解:∵在△ABC中,BD垂直平分AC,∴AD=DC,
又∵在△ADB和△CDB中,AD= CD,∠ADB=∠CDB,BD=BD,
∴△ADB≌△CDB,∴BA=BC.
∵CD=2cm,∴AD=2cm,∵∠DBC=45°,∴∠C=45°,
∴BD=2cm,在Rt△BCD中,有BD2+DC2=BC2,
∴BC=, ∴AB=,
∵,∴
三、
6.带③去.
解:③中已知两角及其夹边作三角形是成立的,即已知:∠A、∠B及AB,求作的△ABC是惟一的,因此,应带③去.
7.解:作A点关于直线CD的对称点A′,连结A′B,交CD于P,
则P 点为饮水处,线段AP+PB即为最短路程,
理由:
在△PAC和△PA′C中,CA=CA′,∠ACP=∠A′CP,PC=PC,
∴△PAC≌PA′C,∴AP=A′P,AC=A′C,
∵∠A′CP=∠BDP=90°,∠A′PC= ∠BPD,
∴△A′PC∽△BPD,∴,
∵CD=PC+PD=800(米),A′C=AC=400,BD=300,
∴,
∴PC≈457(米),∴PD=CD-PC=800-457=343(米).
在Rt△APC中,PA= ( 米),
在Rt△BDP中,PB=,
∴PA+PB=607+455.6≈1063(米).
8.解:∵AC⊥AB,ED⊥DF,∴∠CAB=∠FDE=90°.
在Rt△ABC和Rt △DEF中,BC=EF,AC=DF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF,∴∠BCA=∠EFD,
∵AC⊥AB,∴∠ABC+ ∠BCA=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.
9.已知:AB⊥BF,ED⊥BF,垂足分别为B,D,AE交BF于C,BC=DC.
求证:DE=AB.
证明:∵AB⊥BF,ED⊥BF,∴∠ABC=∠EDC=90°.
又∵∠BCA=∠DCE,BC=DE,
∴△BCA≌△DCE,∴AB=DE.
10.已知:OM=ON,PM=PN.
求证:OP平分∠AOB.
证明:在△OPM和△OPN中,OM=ON,PM=PN,OP=OP,
∴△OPM≌△OPN,
∴∠POM=∠PON,故OP平分∠AOB.
四、(一)
11.解:原题答案:△AED≌△AFD;△AED≌△AFD,△BED ≌△CFD,△ABD≌△ACD.
(1)答案:△ABD≌ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM,△DEM ≌△DFM.
(2)答案:△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF≌△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM ≌△DEM≌DFM.
(二)
12.证法一:连结AC,由AB∥CD,有∠BAC=∠DCA,
又AB=CD,AC= CA得△ABC≌△CDA,
∴BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形.
证法二:由法一知△ABC≌CDA,∴∠ACB=∠CAD,
∴BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形.
证法三:由法一知△ABC≌△CDA,∴∠B=∠D.
又∵∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,
∴∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA,即∠BAD= ∠BCD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
证法四:连结AC、BD,相交于点O,
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
∴∠ABO=∠CDO,又∵AB=CD,∴△ABO≌△CDO,∴AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
证法五:分别由A、D作BC的垂线,E、F为垂足,
∵AB∥CD,∴∠ABE= ∠DCF,
又∵AB=CD,∴Rt△ABE≌Rt△DCF,
∴AE=DF,∴四边形AEFD为矩形,
∴AD=EF= EF+BE-CF=BC,即AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(三)
13.(1)证明:∵△ACM、△BCN是等边三角形,
∴∠1=∠2=60°,BC=CN,AC=CM,
∴∠1+∠3=∠2+∠3,即∠ACN=∠BCM,
在△ACN和△MCB中,AC=MC, ∠ACN=∠MCB,CN=CB,
∴△ACN≌△MCB,∴AN=MB.
(2)AN=BM.理由如下,
∵四边形ACMF、BCNE为正方形,∴AC=MC,CN= CB,∠2=∠1.
在△ACN和△MCB中,AC=MC,∠2=∠1,CN=CB,
∴△ACN≌△MCB,∴AN=BM.
五、
14.20° 15.D 16.AH=CB(只要符合要求即求)
17.证明:如答图所示,
∵AD∥BC,∴∠A=∠C,
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.
在△ADF和△CBE中, AD=CB,∠A=∠C,AF=CE,
∴△ADF≌△CBE,∴DF=BE.
18.BD=CE.(只要能满足△ABD与△ACE全等的条件即可).
19.△ABF≌△DEA.
证明:∵矩形ABCD,
∴AB=CD,∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AFB=∠DAE,
又∵DE=CD,∴AB=DE,
∵DE⊥AF,∴∠DAE=90°,
∴∠B=∠DEA.
在△AFB和△DAE中,∠AFB= ∠DAE,∠B=∠DEA,AB=DE,
∴△AFB≌△DAE.
20.∠B=∠DEF或AC=DF
21.证明:∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,∴AC=BD.
在△EAC和△FBD中,AC=BD,∠ECA= ∠D,EC=FD,
∴△EAC≌△FBD,∴AE=BF.
22.△DOF≌△BOE.