北九上第一章 证明（二）水平测试（B）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1.两个直角三角形全等的条件是（ ）
（A）一锐角对应相等； （B）两锐角对应相等；
（C）一条边对应相等； （D）两条边对应相等.
2.到的三个顶点距离相等的点是的（ ）.
（A）三边垂直平分线的交点； （B）三条角平分线的交点；
（C）三条高的交点； （D）三边中线的交点.
3.如图，由，，，得≌的根据是（ ）
（A）SAS （B）ASA （C）AAS （D）SSS
4.中，，平分交边于点，，则的度数为（ ）
（A）35° （B）40° （C）70° （D）110°
5.下列两个三角形中，一定全等的是（ ）
（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；
（B）两个等边三角形；
（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；
（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形.
6.适合条件= =的三角形一定是（ ）
（A）锐角三角形； （B）钝角三角形； （C）直角三角形； （D）任意三角形.
7.有一块边长为的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小明想在处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
8. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）.
（A）等腰三角形; （B）等边三角形; （C）直角三角形; （D）等腰直角三角形.
9.如图，已知平分，点、分别在边、上，如果添加一个条件，即可推出=，那么该条件不可以是（ ）
(A) (B)
(C)= (D) =
10.如图，于，于，下列条件：①是的平分线；②；③；④=.其中能够证明≌的条件的个数有（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二、填空题(本大题有10小题，每小题3分，共30分．将答案填在题中横线上)
11.在中，边、、的垂直平分线相交于，则、、的大小关系是 .
12.如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是 度.
13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 .
14. 中，，平分，交于点,若，则到的距离是 .
15.如图，＝，需要补充一个直接条件才能使≌．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“”；乙“”；丙“”；丁“＝”．那么这四位同学填写错误的是 .
16. 用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．
17.补全“求作的平分线”的作法：①在和上分别截取、，使=.②分别以、为圆心，以 为半径画弧，两弧在内交于点.③作射线即为的平分线.
18.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在处测得某灯塔位于它的北偏东30°的处(如图)，上午9时行到处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里(结果保留根号).
19.在中，＝90°，，平分交于，于，若，则的周长是 .
20.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的和是 .
三、解答题(本大题有6小题，共60分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
21.（8分）已知：如图，=，.求证：.
22.（8分）如图，，，请你写一个能用全部已知条件才能推出的结论，并证明你的结论.
23.（10分）已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使 ＝．求证：＝.
24.（10分）已知：如图，中，，.
(1)用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交、于点、(保留作图痕迹，不写作法).
(2)猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想.
25. （本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，是的中点，点在上，且．
求证：.
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
26．（12分）已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形，可以说明：≌，从而得到结论：．现要求：
（1）将绕点按逆时针方向旋转180°，使点落在上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）所得到的图形中，结论“”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（1）所得到的图形中，设的延长线与相交于点，请你判断△ABD与四边形的形状，并说明你的结论的正确性．
参考答案
一、DAABCDDCBD
二、11.； 12. 或； 13. ； 14.7； 15.乙；16.三角形的三个内角都小于，三角形的内角和是；17.大于的长为半径；18. ；19.10；20. 10.
三、21由=，，知≌，因此有.又（对顶角），=，所以≌，所以.又，所以，即.
22.∵ ∠OBC=∠OCB，∴ OB=OC.又∵ ∠AOB=∠AOC，OA=OA， ∴ △AOB≌△AOC，∴AB=AC.
23. 是正三角形的边的中线得，平分，.由知∠CDE ＝∠E .由∠ACE ＝ 120°，得∠CDE＋∠E＝60°，所以∠CDE ＝∠E＝300，则有BD ＝ DE．
24.（1）作图略；（2）连接AM，则BM=AM.∵ AB=AC，∠BAC=120°，∴ ∠B=∠C=30°于是 ∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°.∴ 故，即CM=2BM.
25.方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. ∴ ∠F=∠CGE=90°.又∵ ∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴ △BFE≌△CGE.∴ BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵ ∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴ △ABF≌△DCG.∴ AB=CD.
方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∴ ∠F=∠BAE.又∵ ∠ABE=∠D，∴ ∠F=∠D.∴ CF=CD.∵ ∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴ △ABE≌△FCE.∴ AB=CF. ∴ AB=CD.
方法三：延长DE至点F，使EF=DE.又∵ BE=CE，∠BEF=∠CED，∴ △BEF≌△CED. ∴ BF=CD，∠D =∠F. 又∵ ∠BAE=∠D，∴ ∠BAE=∠F. ∴ AB=BF.∴ AB=CD.
26.（1）作图略.
（2）结论“AN=BM”还成立.
证明：∵ CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴ △ACN≌△MCB.∴ AN=BM.
（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形.
证明： ∵ ∠DAB =∠MAC=60°，∠DBA=60°
∴ ∠ADB=60°.∴ △ABD是等边三角形.
∵ ∠ADB =∠AMC=60°，∴ ND∥CM.
∵ ∠ADB =∠BNC=60°，∴ MD∥CN.
∴ 四边形MDNC是平行四边形.