东城区2012—2013学年第一学期期末统一检测
初三数学试题 2013.1
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一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是
A． B．
C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，
则⊙O的半径为
A． B．
C． D．6
4. 从1，2，3，4这四个数中，随机抽取两个相加，和为偶数的概率为
A. B. C. D.
5．若将抛物线y=先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE
的面积等于2，则△ABC的面积等于
A.6 B.8
C.12 D.18
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，
则阴影部分图形的面积为
A．4π B．2π
C．π D．
8. 已知点A（0，2），B（2，0），点C在的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则b的值是 ；方程的另一个根是 ．
10．点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若＞＞1，则与的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）
11．两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置.将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB边上的点时，的长度为 ．
12．如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=，PE=.当CQ=CE时，与之间的函数关系式是 ； 当CQ=CE（为不小于2的常数）时， 与之间的函数关系式是 .
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13． 解方程： .
14．小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB=，高OC=，求这个圆锥形漏斗的侧面积．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，
判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
16．画图：
（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；
（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形.在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形.
17．已知关于x的一元二次方程 (m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.
18．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．随着我国经济的发展，越来越多的人愿意走出国门旅游. 据有关报道，我国2010年和2012年公民出境旅游总人数分别约为6000万人次，8640万人次， 求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率.
20. 如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半径的长．
21. 某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为，，，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1 000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
试估计“厨余垃圾”投放正确的概率.
22．“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题，交通问题已经成了全社会关注的热点.为了解新建道路的通行能力，某研究表明，某种情况下，车流速度 (单位：千米／时)是车流密度(单位：辆／千米)的函数，函数图象如图所示.
（1）求关于的函数表达式；
（2）车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度.若车流速度低于／时，求当车流密度为多少时，车流量 (单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知，二次函数的图象如图所示.
（1）若二次函数的对称轴方程为，求二次函数的解析式；
（2）已知一次函数，点是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于点N．若只有当1＜m＜时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式；
（3）若一元二次方程有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出的最大值．
24． 如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.
（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0 , 3），顶点C位于第二象限，连结AB，AC，BC．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；
(3) 设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
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东城区2012-2013学年第一学期期末统一检测
初三数学试题参考答案及评分标准 2013.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 解方程： ．
解：移项，得
． ………………..1分
二次项系数化为1，得
． ………………..2分
配方
． ………………..4分
由此可得
，. ………………..5分
14. 解：根据题意，由勾股定理可知
.
∴ cm. ………………..2分
∴ 圆锥形漏斗的侧面积= cm2 ． ………………..5分
15．解：△ABC和△DEF相似． ………………..1分
由勾股定理，得，，BC=5，
DE=4，DF=2，． ………………..3分
， ………………..4分
∴△ABC∽△DEF． ………………..5分
16．（1）
………………..3分
（2）
………………..5分
17．解：(1) ∵ 关于x的一元二次方程(m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根，
∴ ，即. ………………..1分
又 ∵ ，
∴ 即．
解得 ．
∴ m的取值范围是且m 2． ………………..2分
(2)在且m 2的范围内，最大整数m为5． ………………..3分
此时，方程化为．
∴ 方程的根为 ， ． ………………..5分
18．解： ∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠B+∠D=180°． ………………..1分
∵ 四边形OABC为平行四边形，
∴ ∠AOC=∠B． ………………..2分
又由题意可知 ∠AOC=2∠D．
∴ 可求 ∠D=60°． ………………..3分
连结OD，可得AO=OD，CO=OD．
∴ ∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC． ………………..4分
∴ ∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°．………………..5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
20．解：（1）证明：如图，连接OB ．
∵ PB是⊙O的切线，
∴ ∠PBO＝90°．
∵ OA＝OB，BA⊥PO于D，
∴ AD＝BD，∠POA＝∠POB．
又∵ PO＝PO，
∴ △PAO≌△PBO．
∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．
∴ 直线PA为⊙O的切线． ………………..2分
（2）∵ OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴ OD＝BC＝3．
设AD＝x．
∵∶=1∶2，
∴ FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．
在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得(2x－3)2＝x2＋32．
解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．
∴ AD＝4，OA＝2x－3＝5．
即⊙O的半径的长5． ………………..5分
21. 解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：
………………..2分
由树状图可知垃圾投放正确的概率为；………………..3分
（2）“厨余垃圾”投放正确的概率为. ………………..5分
22. 解：（1）当时，. ………………..1分
当时，设，由图象可知，
解得：
∴ 当时，. ………………..3分
（2）根据题意，得
=.
答：当车流密度x为94辆/千米时，车流量P最大，为4418辆/时. …………..5分
23. 解：（1） 二次函数的对称轴方程为，由二次函数的图象可知
二次函数的顶点坐标为（1,-3），二次函数与轴的交点坐标为，
于是得到方程组 ……………………………………..2分
解方程得
二次函数的解析式为 . ……………………………………..3分
（2）由（1）得二次函数解析式为．
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为和，
由此可得交点坐标为和． …………………………..4分
将交点坐标分别代入一次函数解析式中，
得
解得
∴ 一次函数的解析式为． ……………………………..6分
（3）. ……………………………………………..7分
24．解：（1）∵ ∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴ ∠B=∠C，．
又∵,,
∴ ∠DEB=∠EQC.
∴ △BPE∽△CEQ．
∴ ．
设BP为x，CQ为y，
∴ ．
∴ ．
自变量x的取值范围是0＜x＜1． ……………………………..3分
（2）解：∵ ∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C,
∴ ∠AQE＞∠AEF .
∴ AE≠AQ .
当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ.
∴ CE=AB=2 .
∴ BE=BC-EC=.
当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°.
∴ AE⊥BC .
∴ 点E是BC的中点.
∴ BE=.
综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE的长为 或. ……………………………..7分
25．解：（1）抛物线与y轴交于点B（0 , 3），
∴
∴
抛物线的顶点在第二象限，
∴
∴ 抛物线的解析式为
. ………2分
（2）猜想：. ………3分
证明如下：
A（-3 , 0）， B（0 , 3），C（-1 , 4），
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
又,
∴ .
∴ . ………4分
（3）当0＜t≤时，如图， EF交AB
于点Q，GF交AC于点N，过N做MP//F
E交x轴于P点，交BF的延长线点M，
BF的延长线交AC于点K．
由△AGN∽△KFN，得，
即. 解得PN＝2t．
∴.
当＜t≤3时，如图， EF交AB于点N，
交AC于点M,BF交AC于点P．
由△AME∽△PMF，
得．
即．
解得ME＝2(3－t)．
∴.
综上所述：
S＝ ………………………………………….8分