北京市丰台区2008—2009学年度第一学期期末练习
初三数学
2009．l
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．
1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
2．如果⊙O的半径为，OP＝，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．不能确定
3．同时抛掷两枚质地相同的硬币，落地后正面都朝上的概率是（ ）
A．1 B．
C． D．
4．若反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. k＜0 B. k＞ C．k0 D．k0
5．在正方形网格中，∠AOB的放置如图所示，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B． C． D．2
6．圆心角为120º的扇形的半径是，则这个扇形的面积是（ ）
A. 6πcm2 B 3πcm2
C．9πcm2 D．πcm2
7．如图，在ΔABC中，AB＝AC，∠A＝36ºBD平分∠ABC，DE∥BC，则图中与ΔABC相似的三角形（不包括ΔABC）的个数有（ ）
A. 0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是__________________．
10．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65º．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器共______________台．
11．将抛物线y＝x2＋3向右平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是________________．
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－1．若点（－，y1）、（2，y2）是抛物线上两点，试比较y1与y2的大小：y1_________y2（填“＞”，“＜”或“＝”号）．
三、解答题（共3道小题，共15分）
13．（本小题满分5分）
计算：3tan30º－sin60º＋2cos45º．
解：
14.（本小题满分5分）
已知：反比例函数y＝的图象经过点（2，3），求当x＝4时，y的值．
解：
15．（本小题满分5分）
已知：抛物线经过点A（－1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标.
解：
四、解答题（共3道小题，共15分）
16．（本小题满分5分）
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，F是DC的中点，BF的延长线交射线AD于点G，BG交AC于点E．
求证：
证明：
17．（本小题满分5分）
已知：如图，在△ABC中，∠A＝120º，AB＝AC＝6，求BC的长．
解：
18．（本小题满分5分）
已知：如图，在⊙O中，直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC和BD的长．
解：
五、解答题（共2道小题，共10分）
19.（本小题满分5分）
在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，
设计的方案及测量数据如下：
（1）在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35º；
（2）在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角为45º；
（3）量得A、B两点间的距离为4．．
请你根据以上数据求出大树CD的高度．（可能用到的参考数据：sin35º≈0．57，
cos35º≈0.82，tan35º≈0．70）
解：
20．（本小题满分5分）
A口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1和2；B口袋中装有3个小球，它们分别
标有数字3、4和5．每个小球除数字外都相同．甲、乙两人玩游戏，从A、B两个口袋中随机各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若和为奇数，则乙赢．
这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
解：
六、解答题（共2道小题，共11分）
21．（本小题满分5分）
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
解：
22．（本小题满分6分）
如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于
点D，且AB2＝AP·AD．
（1）求证：AB＝AC；
（2）如果∠ABC＝60º，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．
解：
七、解答题（本题满分6分）
23．如图，二次函数y＝x2＋（＋l）x ＋m（m＜4）的图象与x轴相交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标（可用含字母m的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于点C，且∠BAC的正弦
值为，求这个二次函数的解析式.
解：
八、解答题（本题满分7分）
24．如图，点P是边长为3的正方形ABCD内一点，且PB＝2，BF⊥BP，垂足为B．请在射线BF上确定点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似，并证明你的结论．
解：
九、解答题（本题满分8分）
25．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）联结AC、BC．若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，联结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为s，求s与m之间
的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明s是否存在最大值，若存在，请求出s的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在．请说明理由．
解：
北京市丰台区2008—2009学年度第一学期初三数学期末试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1．C 2．A 3．D 4．A 5. D 6．B 7．C 8．B
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．9：4， 10．3 11．（2；3） 12．＜．
三、解答题（共3道小题，共15分）
13．（本小题满分5分）
解：3tan30º－sin60º＋2cos45º
＝……………………………………………………3分
＝……………………………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
解：∵ 反比例函数y＝的图象经过点（2，3），
∴ ＝3，……………………………………………………2分
∴ k＝6． ………………………………………………………3分
∴反比例函数解析式为：y＝，……………………………………4分
当x=4时，y＝………………………………………………………5分
15．（本小题满分5分）
解：（1）设所求抛物线解析式为y＝ax2＋bx+c．根据题意，得
……………………………………………………………1分
解得，……………………………………………………………2分
所求抛物线解析式为………………………………3分
（2），
所以该抛物线的顶点坐标是（1，－1）………………………………5分
四、解答题（共3道小题，共15分）
16．（本小题满分5分）
证明：∵ AB∥CD, ∴△GDF∽△GAB，△FCE∽△BAE，…………………2分
∴，…………………………4分
∵，∴………………………5分
17．（本小题满分5分）
解：过点A作AD⊥BC于D；
∵AB=AC；∠BAC=120º ∴∠B=30º，…………………………………1分
∴BC＝2BD，…………………………………………………………2分
在Rt△ABD中，∠ADB=90º，∠B=30º，AB＝6，
,…………………………………………………………3分
∴，……………………4分
………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=9Oº，……………………2分
在Rt△ACB中，……………………3分
∵CD平分∠ACB，∴=,∴AD=BD…………………4分
在等腰直角三角形ADB中，
……………………5分
五、解答题（共2道小题，共10分）
19，（本小题满分5分〕
解：在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45º，∴∠BCD=45º，
∴CD=BD ………………………l分
设CD=BD＝x，∴AD＝x+4．5………………2分
在Rt△ACD中,tan∠CAD=，
∴tan35º=……………………………………4分
解得：x≈10．5
所以大树的高约为…………………………………5分
20．（本小题满分5分）
解：从A，B两个口袋中随机地各取出1个小球，两个小球上的数字之和的所有可能出现的
结果有6个：4，5，6，5，6, 7，……………………………………… 2分
每个结果发生的可能性都相等，出现和为偶数的结果有3个；和为奇数的结果也有3个
∴P（数字之和为偶数）＝＝，……………………………………… 3分
P(数字之和为奇数）＝＝……………………… 4分
所以这个游戏对甲、乙双方公平………………………………………5分
六、解答题（共2道小题，共11分）
21．（本小题满分5分）
解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），
CD∥OA，CD=OB=8…………………………………………1分
过点M作MF⊥CD于F，则CF＝ CD＝4………………………………3分
过C作CE⊥OA于E，
∵A（10，0），∴OA=10，OM＝5
∴OE=OM－ME=OM－CF=5－4=1
联结MC，MC= OA=5
∴在Rt△CMF中，
MF=…………………………4分
∴点C的坐标为（1，3）…………………………………………………5分
22．（本小题满分6分）
解：（1）证明：联结BP
∵AB2=AP－AD，∴
∵∠BAD=∠PAB, ∴△ABD∽△APB………………2分
∴∠ABC=∠APB, ∵∠ACB=∠APB,
∴∠ABC=∠ACB, ∴AB-AC…………………………3分
（2）由（1）知AB=AC, ∵∠ABC=60º, ∴△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60º, ∵P为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC= ∠ABC=30º………………………………4分
∴∠BAP=90º, ∴BP是⊙0的直径，………………………………5分
∴BP=2, ∴AP= BP=1,
在rt△PAB中，由勾股定理得 AB2=BP2－AP2=3
∴…………………………………………………………6分
七、解答题（本题满分6分）
23．解：（1）解方程得，
∵m<4，∴A（－4，0），B（－m，0）……………………………………2分
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵sin∠BAC=, ∴ tan∠BAC=
设CD＝3k，则AD＝4k，
∵OA＝4， ∴OD＝4k－4， ∴C（4k－4，3k）
∵点C在反比例函数的图象上，∴
解得，（不合题意，舍去），，∴C（2，）……………4分
∵点C在二次函数的图象上
∴，∴m＝1
∴二次函数的解析式为…………………………………………6分
八、解答题（本题满分7分）
24．解法一：作∠BCM1=∠BAP,CM1交BF于点M1，
作∠BC M2=∠BPA, C M2交BF于点M2，…………4分
则△CB M1∽△ABP, △M2BC∽△ABP
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90º, ∵BF⊥BP, ∴∠PBF=90º,
∴∠ABP=∠CB M1，……………………………………5分
又∵∠BC M1=∠BAP, ∴△CB M1∽△ABP…………6分
同理可证△M2BC∽△ABP………………………………7分
解法二：在射线BF上截取线段B M1=2,联结M…………2分
在射线BF上截取线段B M2＝，联结M…………4分
则△CB M1∽△ABP，△M2BC∽△ABP
同解法一可证∠ABP=∠CB M1 …………………………5分
∵AB=BC=3, PB=B M1=2, ∴△CB M1≌△ABP
∴△CB M1∽△ABP…………………………………………6分
∵AB=BC=3, PB=2, BM2=
∴,
∴,∴△M2BC∽△ABP……………………7分
九、解答题（本题满分8分）
25．解（1）解放程得，，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线的对称轴是直线 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） 解得， ∴所求抛物线的解析式为：………………………2分 （2）依题意，AE＝m，则BE＝8－m ∵OA=6, OC=8,∴AC=10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ 即 ， ∴ 过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB= ∴ ∴ ∴ ∴…………………………………………………………5分 自变量m的取值范围是0 （3）存在。 理由：∵ 且， ∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形………………………………………………8分