密云县2009——2010学年度第一学期期末考试
初三数学试卷
第I卷（机读卷 共32分）
选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填涂在读题卡上（或填写在题后的括号内）．
1．已知，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．同时投掷两枚硬币每次出现反面都向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在中， ，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．右图是2009国庆庆祝活动标志,它以数字“为主体，代表着中华人民共和国60年的光辉历程．图中左侧小圆和右侧优弧所在（有五星图案）的大圆之间的位置关系是( )
A． 相交 B．外离
C． 相切 D． 内含
5．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（0，－3） B．（0，3） C．（－3，0） D．（3，0）
6．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线 绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是一个矩形，⊙C的半径是，CF＝，EF＝．则图中阴影部分的面积约为（精确到0．1）( )
A．4．2 B．4．2
C．4．2 D．4．2
第Ⅱ卷（非机读卷 88分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）把答案直接填写在题中的横线上．
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，
则AC＝ ．
10．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于 ．
11．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，如果
∠ABC＝70°，那么∠D的度数为 ．
12．如图，是反比例函数在第一象限内的图象，
且过点与关于轴对称，那么
图象的函数解析式为 （）．
三、（本大题共3个小题，满分15分）
13．（本小题满分5分）
计算：．
解：
14．（本小题满分5分）
如图，已知△ABC顶点的坐标分别为
A（1，－1），B（4，－1），C（3，－4）．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得
到 △AB1 ． 在所给的直角坐标系中画出
旋转后的,并写出点的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内
再画一个放大的，使得它与
△ABC的位似比等于2：1 ．
15．（本小题满分5分）
如图，在平面直角坐标xOy中，抛物线的顶点为A（－1,－4），且过点B（－3,0）
（1）写出抛物线与轴的另一个交点M的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位得抛物线，求抛
物线的解析式；
（3）写出阴影部分的面积．
解：
四、（本大题共3个小题，满分15分）
16． （本小题满分5分）
已知：如图，∠1＝∠2，AB•AC＝AD•AE．
求证：∠C＝∠E．
证明：
17．（本小题满分5分）
如图，在△ABC中，∠C＝90°，在AB边上取一点D，使BD＝BC，过点D作DE⊥AB交AC于E，若AC＝8， ，求DE的长．
解：
18．（本小题满分5分）
如图，是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝60°，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）求劣弧AC的长．
解：
五、（本大题共4个小题，满分21分）
19．（本小题满分6分）
彤彤和朵朵玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，彤彤先从中抽出一张，朵朵从剩余的3张牌中也抽出一张．彤彤说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．
（1）请用树状图（或列表）表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按彤彤说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
解：
20．（本小题满分5分）
如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3．，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是，问这次表演是否成功？请说明理由．
解：
21．（本小题满分5分）
如图，小明为了测量一铁塔的高度CD，他先在A处测得塔顶C的仰角为，再向塔的方向直行到达B处，又测得塔顶C的仰角为，请你帮助小明计算出这座铁塔的高度．（小明的身高忽略不计，结果精确到0．，参考数据：，，）
解：
22．（本小题满分5分）
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出的概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝－0．1x2+2．6x＋43（０≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强．
（１）将其关系式改写成的形式，并在所给的坐标系中画出他的示意图；
（2）根据图象回答：x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？第几分时，学生的接受能力最强？
解：
六、（本小题满分6分）
23．如图，为的直径，，交于， ，．
（1）求证：；
（2）延长到，使，连接，求证：是的切线．
七、(本题满分6分)
24．如图，二次函数（m<4）的图象与轴相交于点A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象相交于点C，且∠BAC的正弦值为 ，求这个二次函数的解析式．
解：
八、(本题满分8分)
25．如图1，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，点C是劣弧上一动点，点C不与点A、B重合，CD⊥AB于D，以点C为圆心，线段CD的长为半径作圆．
（1）若设CD＝x，，请求出y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（2）当⊙C的面积最大时，在图2中过点A作⊙C 的切线AG切⊙C 于点P，交DC的延长线于点G，DC的延长线交⊙C 于点F
①试判断直线AG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②求线段GF的长．
密云县2009——2010学年度第一学期期末考试
初三数学试卷
参考答案及评分标准
选择题（每小题4分，共计32分）
二、填空题（每小题4分，共计16分）
9．9 10．4:9 11． 20 12．
三、（共3个小题，满分15分）
13．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分
． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
14．（1）如图：正确画出 -------------2分
（1，2）－－－－－－－－－－－－3分
（2）如图：正确画出 -------------5分
15． (1) M（1，0） －－－－－－－－－－－－1分
（2）设抛物线的解析式为，将点B（－3,0）代入得,
∴． ∵将抛物线向右平移2个单位得抛物线，
∴抛物线的解析式为． －－－－－－－－－－－－－3分
（3）． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
四、（共3个小题，满分15分）
16．在△ABE和△ADC中，∵ AB•AC＝AD•AE,
∴ ＝ －－－－－－－－2分
又∵ ∠1＝∠2， －－－－－－－－－－－3分
∴ △ABE∽△ADC －－－－－－－－－－4分
∴ ∠C＝∠E． －－－－－－－－－－－－ 5分
17．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，，
∴，
－－－1分
∵ BD＝BC＝6，
∴ AD＝AB－BD＝4． －－－－－－－－－－－2分
∵ DE⊥AB，∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，∵，
∴． －－－－－－－－－－－－－－－－5分
18．（1）∵ OE⊥AC，垂足为E，
∴ AE＝EC ．………………………………………1分
∵ AO＝BO，
∴ OE＝BC＝． ………………………………2分
（2）∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形．
∴OB＝OC＝BC＝5． ………………………………………………………3分
∵∠AOC＝180°－60°＝120°， ………………………………………………4分
∴弧AC的长＝． …………………………………………5分
五、（共4个小题，满分20分）
19．（1） 树状图为：
共有12种可能结果． 2分
（2）游戏公平． 3分
∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：
（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．
∴ 彤彤获胜的概率P＝＝． 4分
朵朵获胜的概率也为． 5分
∴ 游戏公平．
20．（1），
∵ ， ∴ 函数的最大值是．
∴ 演员弹跳的最大高度是米． －－－－－－－－－－－－－－－－－－3分
（2），
所以这次表演成功． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
21． ∵∠CBD＝600，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝300 ．
∴AB＝BC＝40． －－－－－————2分
在Rt△BDC中，
∴（米） －－－－－－－－5分
22．（１） y＝ －0．1x2+2．6x＋43
＝ －0．1(x－13)2+59．9 －－——1分
示意图如图———（图象基本正确）————2分
（２）当０≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步降低．
（说明：不写等号不扣分）
∵当x＝13时，y有最大值，
即 第13分钟时，学生的接受能力最强－－－5分
六、（本小题满分6分）
23．（1），．
，．
又，
． －－－－－－－－２分
（2） 连接．
为的直径，．
．
又∵，∴△ABO是等边三角形．∴∠BAO＝600．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得 ．
∴．∴．
∴．∴．
是的切线． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6分
七、(本题满分6分)
24．（1）解方程，得 x1＝ －4，x2＝ －m．
∵m<4， ∴ A (－4，0)，B (－m ，0) ． …………………………… 2分
（2） 过点C作CD⊥x轴，垂足为D．
∵ sin∠BAC＝ ＝ ，
∴tan∠BAC＝ ＝ ，
设CD＝3k， 则AD＝4k．
∵ OA＝ 4， ∴OD ＝ 4k–4，
∴ C (4k–4，3k) ．
∵点C在反比例函数）的图象上，∴＝3k ，
解得，k1＝－ (不合题意，舍去)，k2＝ ． ∴C (2，)．－－－－－4分
∵点C在二次函数的图象上，
∴ ×22+(+1) ×2+m ＝ ， ∴m ＝1．
∴ 二次函数的解析式为． ……………………………… 6分
八、(本题满分8分)
25．（1）如图1连结CO，并延长交⊙O于点E，连结BE．
∵CE是直径，∴∠CBE＝90°．
又∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°．
即∠CBE＝∠CDA．
在⊙O中，可知∠CAB＝∠E．
∴△ACD∽△ECB．
∴．
即．
∴． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－————2分
由题意可知，自变量x的取值范围为0＜x≤2． －－－－－－－－－－－－—3分
（2）①直线AG与⊙O相切．
由题意可知，当点C是的中点时，⊙C的面积最大．
此时，OC⊥AB． ∴AB与⊙C相切．
∵AG切⊙C 于点P， AC平分∠GAB． 即∠GAC＝∠BAC．
连结CP，AO．
∵AP＝AD，PC＝DC，AC＝AC，
∴△APC≌△ADC．∴∠ACP＝∠ACD．
∵AO＝CO, ∴∠ACO＝∠OAC．
∵AG切⊙C 于点P，∴于G．
∴∠GAC+∠ACP＝90°．
∴∠GAC+∠OAC ＝90°． ∴OA⊥AG．
∴AG与⊙O相切． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6分
② ∵, OA⊥AG, ∴PC∥AO．∴ △PGC∽△A GO．
∴．
由题意可知，，，．
∴．
解得 ． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分