北京市西城区2008——2009学年度第一学期期末测试
初三数学试卷
2009.1
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1. 若方程的一个根是a，则的值为（ ）.
A.2 B. C. 2 D.4
2. 如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为
D ，若OD=3，则弦AB的长为（ ）.
A. 10 B. . 6 D. 4
3. 将抛物线经过怎样的平移可得到抛物线？答：（ ）.
A. 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B. 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C. 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
4. 小莉站在离一棵树水平距离为a 米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是 ，那么她测得这棵树的高度为（ ）.
A.米
B.米
C. 米
D.米
5. 如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE 对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）.
A. ，2 B. ， C. ，2 D. ，3
6. 将抛物线 绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）.
A. B. C. D.
7．如图，PA、PB分别与⊙O相切，切点分别为A、B，PA =3，∠P=60°，若 AC为⊙O的直径，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A. B. C. D.
8. 已知b＞0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示.
根据图象分析，的值等于（ ）.
A. -2 B.. 1 D. 2
第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9. 若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积
比等于 ．
10. 如图，⊙O的直径是AB，CD是⊙O的弦，若∠D=70°，则∠ABC等于 ．
11. 如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，若射线BA绕点B按顺时针方向旋转至，若与⊙O相切，则旋转的角度（0° ＜＜180°）等于 ．
12. 等腰△ABC中，，若AB、AC的长是关于x的方程的根，则m的值等于 ．
三、解答题（本题共29分，13～17题每小题5分，第18题4分）
13．解方程：.
14．计算：.
15．已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根（其中k为实数）.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求此时方程的根.
16．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，
延长BA到D，使∠BDC=30°.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求DC的长.
17．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1.
（1）求证：△ABD ∽△CBA；
（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长.
18．已知：如图，∠MAN=45°，B为AM上的一个定点，
若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆
与射线AN的另一个交点为C，请确定⊙P的位置，使
BC恰与⊙P相切.
（1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法）；
（2）连结BP并填空：
① ∠ABC= °；
② 比较大小：∠ABP ∠CBP.（用“＞”、“＜”或“=”连接）
四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分）
19．已知抛物线 经过点.
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的
坐标为 ；
（2）求该抛物线的解析式.
20．已知：如图，等腰△ABC中，AB= BC，AE⊥BC 于E， EF⊥AB于F，若CE=2，，求EF的长.
21．某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元， 每天可售出500千克.经
市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每
涨价1元，日销售量将减少20千克.
（1）如果市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么
每千克这种水果涨了多少元？
（2）设每千克这种水果涨价x元时（0＜x≤25），市场每天销售这种水果所获利
润为y元.若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多
少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？
22．已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC 的平分线上，且满足△PAD是等边三角形.
（1）求证：BC=BP；
（2）求点C到BP的距离.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x的方程 ，其中a、b为实数.
（1）若此方程有一个根为（a ＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b的取值范围.
24．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC =15°，AD∥OC并交
BC的延长线于D，OC交AB于E.
（1）求∠D的度数；
（2）求证：；
（3）求的值.
25．已知：抛物线 与x轴交于点A（x1，0）、
B（x2，0），且x1 < 1 < x2 .
（1）求A、B两点的坐标(用a表示)；
（2）设抛物线得顶点为C, 求△ABC的面积；
（3）若a是整数, P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x
轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的
解析式及线段PQ的长的取值范围.
北京市西城区2008——2009学年度第一学期期末
初三数学试卷答案及评分参考 2009.1
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
三、解答题（本题共29分，13～17题每小题5分，第18题4分）
13．解：因为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
所以 ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
代入公式，得 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
所以 原方程的根为 ．（每个根各1分）- - - - - - - - - - - - - 5分
14．解： .
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
15．（1）解一：原方程可化为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ 该方程有两个不相等的实数根，
∴ .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
解得 .
∴ k的取值范围是.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3分
解二：原方程可化为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
.以下同解法一.
（2）解：∵ k为非负整数，，
∴ k = 0 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
此时方程为，它的根为，. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
16．（1）证明：连结OC.
∵ OB=OC，∠B=30°，
∴ ∠OCB=∠B=30°.
∴ ∠COD=∠B+∠OCB=60°. - - - - - - - - - - 1分
∵ ∠BDC=30°，
∴ ∠BDC +∠COD =90°， DC⊥OC. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
∵ BC是弦，
∴ 点C在⊙O上.
∴ DC是⊙O的切线. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
（2）解：∵ AB=2，
∴ . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
∵ 在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴ .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
17．（1）证明：∵ AB=2 ，BC=4 ，BD=1 ，
∴ ．- - - - - - - - - - - - 1分
∵ ∠ABD =∠CBA ，- - - - - - - - 2分
∴ △ABD ∽△CBA ．- - - - - - -3分
（2）答：△ABD ∽ △CDE ；- - - - - - - 4分
DE = 1.5 . - - - - - - - - - - - - - - 5分
18．解：（1）图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
（2）① ∠ABC= 45 °；- - - - - - -3分
② ∠ABP ＜ ∠CBP . - - - - - - 4分
四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分）
19．解：（1）抛物线的对称轴为直线x= 2 ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 （3，0） ；
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
（2）∵ 抛物线经过点，
∴ 设抛物线的解析式为.- - - - - - - - 4分
由抛物线经过点，得a =1. - - - - - - - - - - - - - - 5分
∴ 抛物线的解析式为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
20．解：∵ AE⊥BC， EF⊥AB，
∴ ∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°.
∴ ∠1=∠B . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ ，
∴ Rt△ABE中，.- - - - - - - - - - - - 2分
设BE =4k，则AB=BC=5k，.
∴ BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∴ Rt△BEF中，.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
21．解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x元.
由题意得 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分
整理，得 .
解得 ，. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
因为顾客得到了实惠，应取 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
答：市场某天销售这种水果盈利6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这
种水果涨了5元.
（2）因为每千克这种水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，
y关于x的函数解析式为（0＜x≤25）.- - - - - - - - - - 4分
而
所以，当 x=7.5 时（0＜7.5≤25），y取得最大值，最大值为 6 125. - - - - - - 6分
答: 不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6 125元.
22.（1）证明：如图1，连结PC.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ AC=1，BD =1， ∴ AC=BD.
∵ ∠BAC=120°，AP平分∠BAC，
∴ .
∵ △PAD是等边三角形，
∴ PA=PD，∠D=60°.
∴ ∠1=∠D.
∴ △PAC≌△PDB. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
∴ PC= PB，∠2=∠3.
∴ ∠2+∠4=∠3+∠4， ∠BPC=∠DPA=60°.
∴ △PBC是等边三角形，BC=BP. - - - - - - - - - - 3分
证法二：作BM∥PA交PD于M ，证明△PBM≌△BCA.
（2）解法一：如图2，作CE⊥PB于E， PF⊥AB于F.
∵ AB=3，BD=1， ∴ AD=4.
∵ △PAD是等边三角形，PF⊥AB，
∴ ，.
∴ ，.- - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
∴ . - - - - - - - - - - - - - - 5分
即点C到BP的距离等于.
解法二：作BN⊥DP于N，DN=，，BN=，.
以下同解法一.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）∵ 方程 有一个根为 ，
∴ .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分
整理，得 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
∵ ， ∴ ，即.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
（2） .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分
∵ 对于任何实数此方程都有实数根，
∴ 对于任何实数都有≥0 ，即≥0. - - - - - - - - 5分
∴ 对于任何实数都有b≤.
∵ ，
当 时，有最小值.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分
∴ b的取值范围是b≤. - - - - - - - - - - -7分
24．（1）解：如图3，连结OB.- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ ⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴ ∠BOC =2∠BAC =90°.
∵ OB=OC ，
∴ ∠OBC =∠OCB =45°.
∵ AD∥OC ，
∴ ∠D =∠OCB =45°. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，
∴ ∠BAC =∠D . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∵ AD∥OC ，
∴ ∠ACE =∠DAC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分
∴ △ACE ∽△DAC ．
∴ ．
∴ ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA .
∵ AD∥OC ，
∴ ∠F=∠BOC =90°.
∵ ∠ABC =15°，
∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°.
∵ OA = OB ，
∴ ∠FOA=∠OBA＋∠OAB =60°，∠OAF =30°.
∴ .
∵ AD∥OC ，
∴ △BOC ∽△BFD ．
∴ ．
∴ ，即的值为2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7分
解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=，OM=，，，BE=，AE=，所以.
25．解：（1）∵ 抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴ x1、x2是关于x的方程 的解.
方程可化简为 .
解方程，得 或. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ x1 < x2 ，，
∴ ，.
∴ A、 B两点的坐标分别为 ，. - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
（2）∵ AB=2， 顶点C的纵坐标为，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∴ △ABC的面积等于.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
（3）∵ x1 < 1 < x2 ， ∴ .
∴ . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
∵ a是整数，
∴ a = 0 ，所求抛物线的解析式为. - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
解一：此时顶点C的坐标为C .
如图5，作CD⊥AB于D ，连结CQ.
则AD=1，CD=，tan∠BAC=.
∴ ∠BAC=60°.
由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形.
由 △APM和△BPN是等边三角形，线段MN
的中点为Q可得，点M、N分别在AC和BC
边上，四边形PMCN为平行四边形，C、Q、
P三点共线，且.- - - - - - - - - - - - - - -7分
∵ 点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，
DC≤PC＜AC ，，AC=2，
∴ ≤PQ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8分
解二：设点P的坐标为P （0＜x＜2）.如图6，作MM1⊥AB于M1 ，NN1
⊥AB于N1.
∵ △APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方，
∴ AM=AP= x，BN=BP=，∠MAP=60°，∠NBP=60°.
∴ ，
，
，
.
∴ .
∴ M、 N两点的坐标分别为 ，.
可得线段MN的中点Q的坐标为.
由勾股定理得 .- - - - - - - - - - -7分
∵ 点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2 ，
∴ 3≤＜4. ∴ ≤PQ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分