大兴区2012~2013学年度第一学期期末试题
初三数学
第Ⅰ卷 （选择题 共32分）
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1.如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，
则CE的值为
2.函数的图象顶点是
A .（0，3） B.（-1，3） C. (0,-3) D. (-1,-3)
3．已知∠A为锐角，且sin A < ，那么∠A的取值范围是
A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB∥CD，
若∠BAD = 36°，则∠AOC等于
A．36° B. 54° C. 72° D. 90°
5. 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线 与x轴有两个不同的交点，则点P
A、在⊙O的内部 B、在⊙O的外部 C、在⊙O上 D、无法确定
6.已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是
A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有(1)相似 D. 只有(2)相似
(1) (2)
7．有A，B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”、“心”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”、“任”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，能组成“信心”字样的概率是
A． B． C． D．
8.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是
第Ⅱ卷 （非选择题 共88分）
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
9．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.
10．如图，矩形ABCD的对角线BD的中点经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上.若点A的坐标为（－4，－1），则k的值为___________.
11.在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 ，那么袋中球的总个数为 个.
12．现有直径为2的半圆O和一块等腰直角三角板
（1）将三角板如图1放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边交圆于点Q，则BQ的长为________；
（2）将三角板如图2放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边的延长线交圆于Q，则BQ的长为______ .
图1 图2
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13.计算：2cos 30º – tan 60º – sin 30º.
14. 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
15. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．
16. 已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y = 的图象上，且sin∠BAC= ．
（1）求k的值及边AC的长；
（2）求点B的坐标．
17. 二次函数与反比例函数的图像在如图所示的同一坐标系中，请根据如图所提供的信息，比较与的大小.
18. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，求BC的长.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.某班要从演讲水平相当的甲、乙两人中选派一人参加学校的演讲大赛，为了公平，班委会设计了一个方法，其规则如下：在一个不透明的袋子里装有形状、大小、质地等完全相同的3个小球，把它们分别标上数字1、2、3，由甲从中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；在另一个不透明口袋中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，把它们分别标上数字1、2、3、4，由乙从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选甲去；若两个数字的和为偶数，则选乙去．
（1）请用树状图或列表的方法求甲被选去参加演讲大赛的概率；
（2）你认为这个方法公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的方法．
20.已知二次函数y = - x2 - x + .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD的值．
http: //www.
22. 操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
图①
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，
∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的长度。
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.已知：如图，在半径为的⊙O内，有互相垂直的两条弦AB，CD，它们相交于P点.
（1）求证：PA·PB=PC·PD；
（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EFAD；
（3）如果AB=8，CD=6，求O、P两点之间的距离.
24.已知二次函数的图象经过和三点.
（1）若该函数图象顶点恰为点，写出此时的值及的最大值；
（2）当时，确定这个二次函数的解析式，并判断此时是否有最大值；
（3）由（1）、（2）可知，的取值变化，会影响该函数图象的开口方向.请你求出满足
什么条件时，有最小值？
25. 如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒。
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D,点E的坐标；
（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，求经过O、D、E三点的抛物线的解析式(只需求出一条即可).
大兴区2012~2013学年度第一学期期末检测试卷
初三数学参考答案及评分标准
第Ⅰ卷 （选择题 共32分）
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
第Ⅱ卷(非选择题 共88分)
二、填空题: （共4道小题，每小题4分，共16分）
9. . 10. -3，1. 11. 12 . 12.（1）； （2） .
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 解：原式=……………………………………………3分
=. ………………………………………………………5分
14. 解：设这个二次函数的关系式为 ………………2分
得： ………………………………………3分
解得： ……………………………………………………4分
∴这个二次函数的关系式是， ……………5分
即
15. 解：答：甲同学的加工方法好
∵S△ABC=AB·BC=，
∵AB=，
∴BC=2 . …………………1分
∵∠B=90°，
∴AC==. …………………2分
如图甲∵四边形DBFE是正方形，
∴DE∥AB .
∴△CDE∽△CBA .
∴ .
设DE=x,则CD=2-x，
∴ .
∴x= . …………………3分
如图乙过B点作BM⊥AC于点M交DE于点N，
由S△ABC=AB·BC=AC·BM，
可得BM= .
∵DE∥AC，
∴BN⊥DE .
∴△BDE∽△BAC .
∴ .
设DE=y，
∴ .
∴y= . …………………4分
∵＞， …………………5分
∴甲同学的正方形面积大.
16. 解：（1）把C（1，3）代入y = ，得k=3 ……1分
过点C做CD⊥AB于点D，
则，sin∠BAC = = .
∵C（1，3）,
∴CD=3，∴AC=5 . …………………………………2分
（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1
有：AD=，AO = 4－1 = 3 .
∵△ACD∽△ABC，
∴
∴
∴
此时B点坐标为（，0） . …………………………4分
当点B在点A左侧时，如图2
此时AO=4＋1=5，
OB = AB－AO = －5 = .
此时B点坐标为（－，0）. …………………………5分
所以点B的坐标为（，0）或（－，0）．
17. 解：当x<-1或0
当x=-1或x=1或x=2时，； …………… 3分
当-1 18. 解：连结CD， ∵BD为 ⊙O的直径， ∴∠BAD = ∠BCD= 90°. ………………………………1分 ∴∠DBC=∠DAC =120°-90°= 30°. ……………2分 ∴∠BDC = 60°. ∵AB=AC， ………………………………………3分 ∴. ∴∠BDA=∠ADC =30°. ∴△BDC≌△DBA . ……………………………………4分 ∴BC = AD=6 . ……………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. （1）解法一： …………………1分 解法二： P(和为奇数)==． ……………………………………………3分 （2）答：公平． ……………………………………………4分 理由为：P(和为偶数)= =． ……………………………………5分 ∵P(和为奇数)= P(和为偶数)， ∴该方法公平. 20. 解：（1）画图正确 …………………2分 （2）当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜-3或 x＞1；……………………………3分 （3）平移后图象所对应的函数关系式为y = - （x-2）2+2， 或写成y=- x2+2x . …………………………………………………5分 21. 解：∵DC= AC = 6，∠C=90°， ∴AD=. ………………………………………1分 又∵，AC = 6， ∴ AB = 10 . ∴ BC = 8 . ∴ BD = 2 . ………………………………………2分 作DEAB于点E， ∴. ∴DE=. ………………………………………3分 ∴由勾股定理得，BE=. ∴AE=10-=. …………………………………4分 ∴tan∠BAD=. …………………………5分 22. 解： （1）画图：………………………………………1分 （2）结论：AB=AF+CF . …………………2分 证明：分别延长AE、DF交于点M， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE . ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠M . 在△ABE与△MCE中， ∠BAE=∠M ∠AEB=∠MEC BE=CE， ∴△ABE≌△MCE . ∴AB=MC . 又∵∠BAE=∠EAF， ∴∠M=∠EAF . ∴MF=AF . 又∵MC=MF+CF， ∴AB=AF+CF . …………………………3分 （3）分别延长DE、CF交于点G，…………4分 ∵AB∥CF， ∴∠B=∠C，∠BAE=∠G . ∴△ABE∽△GCE . ∴ . 又∵， ∴. ∵AB=5， ∴GC=10 . ∵FC=1， ∴GF=9 . ∵AB∥CF， ∴∠BAE=∠G . 又∵∠BAE=∠EDF， ∴∠G=∠EDF . ∴GF=DF . ∴DF=9 . …………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （1）证明： ∵∠A，∠C所对的圆弧相同， ∴∠A =∠C . ………………………………………1分 ∵ABCD, ∴Rt△APD∽Rt△CPB . ∴. ∴PA·PB=PC·PD. ………………………………2分 （2）证明： ∵F为BC的中点，△CPB为直角三角形， ∴PF=FC，∠CPF =∠C . 又∵∠A =∠C，∠DPE =∠CPF， ∴∠A =∠DPE . ∵∠A +∠D=90°， ∴∠DPE +∠D=90°. ∴EFAD . ………………………………………4分 （3）解：作OMAB于M, ONCD于N, ∴OMPN为矩形. 连接OB，OD，OP，由垂径定理，得AM=BM=4,CN=DN=3. 由勾股定理，得， . ∴.……………7分 24.解：（1）由二次函数图象的对称性可知；的最大值为……………………2分 （2）设， 由题意得：，解这个方程组得： . 故这个二次函数的解析式为 . ∵ ∴没有最大值. …………………………………………………4分 （3）由题意，得，整理得： ∵ ∴. 即：且. 若有最小值，则需 ∴， 即. ∴时，有最小值. …………………………………………………7分 25. 解：（1）根据题意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4， ∴A（0，3），C（4，0）. 设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标， 得：4k+3=0，k=. ∴直线AC：y=x+3. …………………………1分 （2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H， 则有△ADF∽△DCH∽△ACO. ∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC， 而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5， ∴FD=，AF=，DH=，HC=. ∴D（，）. ∵CE= t, ∴OE=OC-CE=4- t. ∴E（4-t，0）. ………………………………………5分 （3）当DO⊥DE时， ∠DOH=∠EDH . ∵tan∠DOH=tan∠EDH， ∴ 即 ∵DH=，OH=FD=，EH=CH－CE=， ∴（）2=（）· . 即：19t2－34t+15=0 . t1=1， t2= . ①当t=1时， D（）， E（3，0）. 设抛物线解析式为y=ax2+bx， 代入D、E坐标 解得 a=，b= . ∴y= . ……………………………………………………………………8分 ②当t=时，同理可得 y= . 以上①、②解出一种即可. 说明：以上各题的其它解法如果正确，请参照本评分标准给分.