密云县2014-2015学年度第一学期期末
初三数学试卷 2015．1
一、选择题 （本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.
1. 已知，那么下列式子中一定成立的是
A． B． C． D．
2. 如图，△中,∥，，，
则的长是
A． B．
C． D．
3. 如图，⊙是的外接圆， ，则的度数为
A． B．
C． D．
4. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是
A． B．
C． D．
5.如图，在 ， ，，，则的值等于
A． B．
C． D．
6. 如图， 是的直径，是圆上两点，，
则的度数为
A． B．
C． D．
7. 在平面直角坐标系 中，以 为圆心，半径为5的圆与 轴的位置关系是
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
8. 如图， 中，，.
点O是BC中点，点D沿B→A→C方向从B运动
到C.设点D经过的路径长为，长为.则函数
的图象大致为
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 若两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是 .
10. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是______.
11. 若扇形的圆心角为120°，半径为3，那么扇形的面积是____.
12. 如图，边长为1的正方形 放置在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点 重合，点在轴上.将正方形沿轴正方向作无滑动滚动，当点第一次落在轴上时，点的坐标是________,点经过的路径的总长度是________；当点第2014次落在轴上时，点经过的路径的总长度是_______.
三、解答题（本题共50分，每小题5分）
13. 计算：
14. 如图，在中，点在边上，,
.求的长.
15. 已知二次函数 .
（1）求二次函数与 轴的交点坐标；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围.
16. 如图，在中，， 求的长.
17. 如图， 是⊙ 的弦， 是⊙ 的直径，，垂足为. ，求长.
18. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后沿方向前行，到达点，在处测得树顶的仰角高度为 （、、 三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树的高度（结果精确到）.（参考数据：≈1.732）
19. 在平面直角坐标系 中，一次函数 和函数
都经过.
（1）求值和一次函数的解析式；
（2）点在函数的图象上，
且位于直线下方.若点的
横纵坐标都为整数，直接写出点的坐标.
20. 在 中，，，, 是中点， 于.
(1)求的度数.
(2)求四边形的面积.
21. 如图，是的直径，是圆周上一点， 于点.
过作的切线，交的延长线于点,连接 .
（1）求证：是的切线.
（2）若 ， ，求的半径.
22. 阅读下面材料:
小明遇到下面一个问题：
如图1所示，是的角平分线， ，求的值.
小明发现，分别过，作直线的垂线，垂足分别为.通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，________.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，四边形中，平分， .与 相交于点.
（1） =______.
（2）=__________.
四、解答题（本题共22分，23题、24题各7分，25题8分）
23. 在平面直角坐标系 中，抛物线的开口向下，且抛物线与轴的交于点，与 轴交于，两点，（在左侧）. 点的纵坐标是.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）将抛物线在点左侧的图形（含点）记为.
若直线与直线平行，且与
图形恰有一个公共点，结合函数图象写出的
取值范围.
24. 中，AB=AC，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转得到线段AD,其中
.连结BD，CD， .
（1）若，,在图1中补全图形，并写出 值.
（2）如图2，当 为钝角，时 ，值是否发生改变？证明你的猜想.
(3) 如图3， ，，
BD与AC相交于点O，求与的面积比.
25. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点.直线与抛物线同时经过.
（1）求的值.
（2）点是二次函数图象上一点，(点在下方)，过作 轴，与交于点，与轴交于点.求 的最大值.
（3）在（2）的条件下，是否存在点 ,使和 相似？若存在，求出 点坐标，不存在，说明理由.
密云县2014-2015学年度第一学期期末
初三数学试卷参考答案 2015．1
一、选择题（共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 9：4 10. 11. 12. , ；.
三、解答题（本题共50分，每小题5分）
13. 计算：
解：原式=…………………….4分（写对一个三角函数值给1分）
= ………………………………………………….5分
14.证明：，
∽………………………………2分
, …………………………………3分
……………………………………5分
15. 解：（1）由（1）可得二次函数的解析式为.
令 ，解得或............................1分
二次函数与 轴的交点坐标为和…………………2分
（2）
…………………………………………3分
=
对称轴是，顶点坐标是……………………………4分
(3) …………………………………………………………………………….5分
16.解：过 作，交DE延长线于点G……………………………1分
在 中，，
，
，
解得：，…………………………………….3分
在 中，.
………………………………………………………5分
17. 解：
………………………………………………..1分
………………………………………2分
连结OB.
在中，…………………….3分
是⊙ 的直径， 是⊙ 的弦， 是⊙ 的直径，
,垂足为
………………………………………………………………4分
……………………………………………………..5分
18.解：由题意可知，.
设 则，…………………….1分
中，……….3分
解得： ………………………………………………………….4分
………………………………………………….5分
（其它解法酌情给分）
19.
解：
（1） 一次函数 和函数都经过.
…………………………………………………………..1分
…………………………………………2分
，一次函数的表达式是……………………3分
（2）满足题意的点B的坐标是（2，2）…………………………..5分
20. 解：
(1) 过D作于F.
………………………………………1分
,……………………………………………………………………..2分
在中，
……………………………………………………………………………………….3分
（2）可求：…………………………………….4分
可求：
四边形的面积是10.……………………………………………………………….5分
21.
解：
（1）证明：连结OC.
是的弦，，OA=OC
在和中，
……………1分
切于点C
即
又OA是的半径，是的切线……………………………2分
（2）连结BC.
是的直径，又
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)
∽
…………………………………………………………………………3分
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0) ……………………………4分
的半径长为5………………………5分
22. ；（1） （2）
四、解答题（本题共22分，23题、24题各7分，25题8分）
23.
(1)
抛物线 与y轴的交点A的纵坐标是3
解得：……………………………………………1分
抛物线开口向下
抛物线的解析式为…………..……………………………………2分
(2) 由（1）可知.设的解析式为.
则 解得:
AB的解析式为：………………….………………………………………..4分
(3)当经过点时，…………………………………………….5分
结合图象可知，的取值范围是.………………………………………………7分
24.
（1） ……………………………………….2分.
(图形正确1分，m值1分)
（2）解：
………………………………………………4分
(其它证明方法请酌情给分.)
(3) …………………………………7分
25.
解：
（1） 抛物线 经过两点
解得
所以二次函数的表达式为. …………………………….2分
(2)可求经过AB两点的一次函数的解析式为 .
当时，取得最大值为4.……………………………….4分
(3)存在.
①当 时，（如图1）
可证： ，
∽.
,
. ………………………………………6分
②当N为AB中点时，（如图2）
，
∽.此时.
满足条件的N或N……………………………………..8分