期中检测题
（本检测题满分：120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题2分，共24分）
1.二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（1，3） C.（1，3） D.（1，3）
2.把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为,则下列结论正确的是（ ）
A.
B.＜0,＞0
C.＜0,＜0
D.＞0,＜0
4. 抛物线y=的对称轴是（ ）
A.y轴 B.直线x=.直线x=1 D.直线x=-3
5. 已知二次函数的图象如图所示，给出以 下结论：
①；②；
③；④；
⑤.
其中正确结论的个数是（ ）
A.2 B.4 D. 5
6.在同一平面直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）
7. （2014·兰州中考）二次函数y=（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1.下列结论中错误的是（ ）
A.abc＜0
B＋b=0
C.b2＞0
D.a-b＋c＞0
8.（2014·江苏苏州中考）二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式
1－a－b的值为（ ）
A．－3 B．－ C．2 D．5
9. 在二次函数的图象上，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.1 B.1
C.-1 D.-1
10.（2014·兰州中考）把抛物线y=先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
11.抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C.或 D.或
12.（2015·湖北孝感中考）如图，二次函数yax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC.则下列结论：
①abc<0；②0；③ac-b+10；④OA·OB=.
其中正确结论的个数是（ ）
A.4 B.2 D.1
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.已知二次函数的图象顶点在轴上，则 .
14.二次函数的最小值是____________.
15.（2014·南京中考）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则当时，x的取值范围是_____.
16. （2015·浙江杭州·4分）函数，当y=0时，x=_________；当时，y随x的增大而_________ (填写“增大”或“减小”).
17. （2014·广州中考） 若关于的方程有两个实数根，则的最小值为 .
18.（2013· 成都中考）在平面直角坐标系中，直线为任意常数）与抛物线 交于两点，且点在轴左侧，点的坐标为（0,－4），连接，.有以下说法：
①；②当时，的值随的增大而增大；
③当－时，；④△面积的最小值为4.
其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
三、解答题（共78分）
19.（8分）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求其对应二次函数的解析式．
20.（8分）已知二次函数.
（1）求函数图象的顶点坐标及对称轴；
（2）求函数图象与轴的交点坐标.
21.（8分）已知抛物线的部分图象如图所示.
（1）求b，c的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和的最大值；
（3）写出当时，的取值范围.
22.（8分）(2015·宁波中考)已知抛物线－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
23.（10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，
销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
（1）求与的关系式.
（2）当取何值时，的值最大？
（3）如果公司想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24.（10分）抛物线交轴于，两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为直线，,.
⑴求二次函数的解析式.
⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到，两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
⑶平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．
25.（12分）（2014·苏州中考）如图，二次函数y＝a(x2－2mx－)（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
(1)用含m的代数式表示a.
(2)求证：为定值.
(3)设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 第25题图
26.（14分）（2013·哈尔滨中考）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为.已知米，设抛物线解析式为.
（1）求的值；
（2）点是抛物线上一点，点关于原点的对称点为点，连接，求△的面积.
期中检测题参考答案
1.A 解析：因为y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的顶点坐标为（h，k），
所以y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标为（1，3）.
2.D 解析：把抛物线 y=(x+1)2向下平移2个单位，
所得到的抛物线是y=(x+1)2-2，再向右平移1个单位，
所得到的抛物线是y=(x+1-1)2-2=x2-2.
点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.
3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k，
∴ 这条抛物线的顶点坐标为（h，k）.
观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，
∴ h>0，k>0 .
4. C 解析:由抛物线的函数解析式可知，抛物线的顶点坐标为(1，-3)，所以抛物线的对称轴是直线x=1.
5.B 解析:对于二次函数，由图象知：当时，，所以①正确;
由图象可以看出抛物线与轴有两个交点，所以，所以②正确；
因为图象开口向下，对称轴是直线，
所以，所以，所以③错误;
当时，，所以④错误;
由图象知，所以，所以⑤正确，
故正确结论的个数为3.
6.D 解析:选项A中，直线的斜率，而抛物线开口朝下，则，得，前后矛盾，故排除A选项；选项C中，直线的斜率，而抛物线开口朝上，则，得，前后矛盾，故排除C选项；B，D两选项的不同之处在于，抛物线顶点的横坐标一正一负，两选项中，直线斜率，则抛物线顶点的横坐标，故抛物线的顶点应该在轴左边，故选项D正确.
7. D 解析：∵ 二次函数的图象的开口向下，∴ a<0.
∵ 二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴ c>0.
∵ 二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴ ，∴ b>0，
∴ ，∴选项A正确.
∵ ，∴ ，即，∴ 选项B正确.
∵ 二次函数的图象与x轴有2个交点，∴ 方程有两个不相等的实数根，∴ b2＞0，∴ 选项C正确.
∵ 当时，y=a-b+c＜0，∴ 选项D错误.
8.B 解析：把点（1，1）的坐标代入，得
9.A 解析：把配方，得.
∵ -10，∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线，
∴ 当1时，随的增大而增大.
10.C 解析：抛物线y=向右平移1个单位长度后，所得函数的表达式为，抛物线向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为.
11.B 解析：∵ 抛物线的对称轴为直线，而抛物线与轴的一个交点的横坐标为1，
∴ 抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，
根据图象知道若，则，故选B．
12. B 解析：因为抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴x>0，且与x轴有两个交点，所以a＜0，b＞0，c＞0，＞0，所以abc<0，＜0，故①正确，②错误.
因为OA=OC，所以点A的坐标可表示为（-c，0），代入解析式得，所以，故③正确.
设点A，B的坐标分别为（），（），所以是方程的两根，所以.又OA=-，OB=，所以，故④正确.所以①③④正确.
13.2 解析：根据题意，得，将，，代入，得，解得．
14.3 解析:当时，取得最小值3.
15. 0＜x＜4 解析：根据二次函数图象的对称性确定出该二次函数图象的对称轴，然后解答即可.
∵ x=1和x=3时的函数值都是2，
∴ 二次函数图象的对称轴为直线x=2.由表可知，当x=0时，y=5，
∴ 当x=4时，y=5.由表格中数据可知，当x=2时，函数有最小值1，
∴ a＞0，∴ 当y＜5时，x的取值范围是0＜x＜4.
16. -1；增大 解析：函数y=+2x+1，当y=0时，即+2x+1=0，解得x = -1.
∵ y=+2x+1=，∴ 二次函数图象开口向上，对称轴是直线x =-1，在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴ 当1＜x＜2时，y随x的增大而增大.
17. 解析：由根与系数的关系得到：
，
∴ =
.
∵ 方程有两个实数根，
∴ Δ，解得．
∴的最小值为符合题意．
18. ③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.
设点A的坐标为（，），点B的坐标为（）.
不妨设，解方程组得
∴ .
此时，，∴ .
而=16，∴ ≠，∴ 结论①错误.
当=时，求出A(-1，-)，B（6，10），
此时()(2)=16.
由①时，()()=16.
比较两个结果发现的值相等.∴ 结论②错误.
当-时，解方程组得出A（-2，2），B（，-1），
求出12，2，6，∴ ，即结论③正确.
把方程组消去y得方程，
∴ ，.
∵ =·||OP·||=×4×||
=2=2，
∴ 当时，有最小值4，即结论④正确.
19.分析:因为抛物线的顶点坐标为，所以设其对应二次函数的解析式为，把点（2，3）的坐标代入解析式即可解答．
解：已知抛物线的顶点坐标为，
所以设其对应二次函数的解析式为，
把点（2，3）的坐标代入解析式，得，即，
所以其对应函数的解析式为．
20.分析：（1）首先把已知函数解析式配方，然后利用函数图象的顶点坐标、对称轴的公式即可求解；（2）根据函数图象与轴交点坐标的特点和函数解析式即可求解．
解：（1）∵ ，
∴ 顶点坐标为（1，8），对称轴为直线. （2）令，则，解得，．
∴ 抛物线与轴的交点坐标为（），（）．
21.解：（1）由图象知此抛物线过点（1，0），（0，3），
将点的坐标代入其函数解析式，得
解得 （2）由（1）得函数解析式为，
即为，
所以抛物线的对称轴为直线的最大值为4.
（3）当时，由，解得，
即抛物线与轴的交点坐标为（），（1，0）.
所以当时，的取值范围为．
22. (1)证明:∵ －(x－m)=(x－m)(x－m－1)，
∴ 由y=0得=m，=m+1．
∵ m≠m+1，
∴ 抛物线与x轴一定有两个交点(m，0)，(m+1，0)．
(2)解：①∵ －(+1)x+m(m+1)，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=－=，解得m=2，
∴ 抛物线的函数解析式为－5x+6．
②∵ －5x+6=，
∴ 该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
23.分析：（1）因为，
故与的关系式为；
（2）用配方法化简函数关系式，从而可得的值最大时所对应的x值；
（3）令 ，求出的值即可．
解：（1），
∴ 与的关系式为．
（2），
∴ 当时，的值最大．
（3）当时，可得方程.
解这个方程，得.
根据题意，不合题意，应舍去.
∴ 当销售单价为75元时，可获得销售利润2 250元．
24.解：（1）将代入，得．
将，代入，得 ．
∵ 直线是对称轴，∴．
由此可得，．
∴ 二次函数的解析式是．
（2）与对称轴的交点即为到两点距离之差最大的点．
∵ 点的坐标为，点的坐标为，
∴ 直线的解析式是.
又对称轴为直线，∴ 点的坐标为．
（3）设，，所求圆的半径为，
则.
∵ 对称轴为直线，∴ ．∴ ．
将的坐标代入解析式，
得，
整理得．
由于，当时，，
解得，（舍去）；
当时，，
解得，（舍去）．
∴ 圆的半径是或
25.（1）解：将C（0，－3）的坐标代入二次函数y=a（x2－2mx－），
则－3=a（0－0－），解得a=.
（2）证明：如图，
过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．
由a（x2－2mx－）=0，
解得 x1=－m，x2=，
∴ A（－m，0），B（，0）．
∵ CD∥AB，
∴ 点D的坐标为（，－3）．
∵ AB平分∠DAE，
∴ ∠DAM=∠EAN.
∵ ∠DMA=∠ENA=90°，
∴ △ADM∽△AEN．
∴.
设点E的坐标为 ，
∴=， 第25题答图
∴ x=，∴ E（，5）.
∵ AM=AO+OM=m+=，AN=AO+ON=m+=，
∴ ，即为定值．
（3）解：如图所示，
记二次函数图象的顶点为点F，则点F的坐标为（m，－4），
过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
∵ tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，
∴ OG=．
此时，GF===4，
AD===3，∴=．
由（2）得=，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，
∴ 以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为．
26.分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入，即可求出a的值；
（2）把点代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用求△BCD的面积.
解：（1）∵ ，由抛物线的对称性可知，
∴ （4，0）.∴ 0＝-4.
∴ a.
（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.
∵ a=，∴ -4.当-1时，m=×-4=-，∴ C（-1，-）.
∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1，）.∴ .
∴ ×4×+×4×=15.
∴ △BCD的面积为.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形的面积的和或差求解.