第26章二次函数检测题
（本检测题满分:120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题2分，共24分）
1.（2015·兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A.y=3x-1 B.y=a+bx+c
C.s=2-2t+1 D.y=
2.二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.c>-1 B.b>0
C. D.
3.（2014•成都中考）将二次函数化为 的形式，结果为（ ）
A. B.
C. D.
4.抛物线的对称轴是直线( )
A. B.
C. D. 5.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.二次函数的图象如图所示，则点在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
7.如图所示，已知二次函数的图象的顶点的横坐标是4，图象交轴于点和点，且，则的长是( )
A. B. C. D.
第7题图 第8题图
8.（2015·安徽中考）如图，一次函数y1= x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y =ax2+(b1)x+c的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线，是抛物线上的点，是直线上的点，且 则的大小关系是( ) A. B.
C. D.
10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛
物线的函数关系式是( ) A. B. C. D.
11.（2015·山东潍坊中考）已知二次函数y=+bx+c+2的图象如图所示，顶点为(-1，0)，下列结论：①abc<0；②=0；③a>2；④-2b+c>0.其中正确结论的个数是( )
A.1 B C. 3 D.4
12.（2013•四川资阳中考）如图，抛物线过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题4分，共24分）
13.（2014•长沙中考）抛物线的顶点坐标是 .
14.（2013•辽宁营口中考）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第 象限．
15.已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，且△是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.
16.（2014•杭州中考）设抛物线过，，三点，
其中点在直线上，且点到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 .
17.已知抛物线经过点和，则的值是_________.
18.（2015·四川资阳中考）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为______________.
三、解答题（共72分）
19.（8分）若二次函数图象的对称轴是直线，且图象过点和.
(1)求此二次函数图象上点关于对称轴对称的点的坐标； (2)求此二次函数的解析式.
20.（8分）在直角坐标平面内，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于点，且. (1)求二次函数的解析式； (2)将上述二次函数图象沿轴向右平移2个单位，设平移后的图象与轴的交点为，顶点为，求△的面积.
21.（8分）已知：如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△的面积.
22.（8分）（2014•北京中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0, -2），B（3, 4）.
（1）求抛物线的表达式及对称轴.
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A, B两点）.若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.
23. （8分）（2014•安徽中考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值.
24.（10分）（2014•河北中考）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点，抛物线l的解析式为y＝(－1)nx²＋bx＋c（n为整数）.
（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；
（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上；
（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.
25.（10分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升时，水面的宽是.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥（桥长忽略不计）. 货车正以每小时的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时的速度持续上涨（货车接到通知时水位在处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
26.（12分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当
每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为（元），租赁公司出租该型号设备的月收益
（收益=租金收入－支出费用）为（元）.
（1）用含的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用.
（2）求与之间的二次函数关系式.
（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该
租出多少套机械设备？请你简要说明理由.
（4）请把（2）中所求的二次函数配方成的形式，并据此说明：当为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
第26章二次函数检测题参考答案
1.C 解析：选项A是一次函数；选项B当a=0，b≠0时是一次函数，当a≠0时是二次函数，所以选项B不一定是二次函数；选项C一定是二次函数；选项D不是二次函数.
2.D 解析：因为抛物线与轴的交点在点（0，1）的下方，所以c<1，因此选项A错误；观察抛物线发现a>0，，所以b<0，因此选项B错误；因为抛物线的对称轴是直线x=1，所以，即，则，所以选项C错误.故选D.
3.D 解析：.
4.B 解析：抛物线，直接利用公式，得其对称轴为直线x=2.
5.C 解析：因为抛物线开口方向向下，所以. 由于抛物线对称轴在轴右侧，所以.又因为，所以. 由于抛物线与轴交点坐标为点，由图象知，该点在轴上方，所以. 6.D 解析：因为抛物线开口方向向下，所以. 由于抛物线对称轴在轴右侧，所以.
又因为，所以.
由于抛物线与轴交点坐标为点，由图象知，该点在轴上方，所以，所以.
所以点在第四象限.
7.C 解析：因为二次函数图象顶点的
横坐标是4，
所以抛物线的对称轴为直线，对称轴与轴交于点，
所以两点关于对称轴对称.
因为点，且，所以.
8.A 解析：一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象有两个交点，且都在第一象限，可知一元二次方程ax2＋bx＋c=x，即ax2＋(b－1)x＋c=0有两个不等的正实数根，所以函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，故选项A符合题意.
9.D 解析：因为抛物线的对称轴为直线，且，
当时，由图象知，随的增大而减小，所以.
又因为，此时点在二次函数图象上方，所以. 10.C 解析：原二次函数变形为,将其图象向左平移2个单位，函数解
析式变为,再向上平移3个单位，函数解析式变为，所以答案选C.
11.B 解析：∵ 函数图象开口向上，∴ a＞0.
又∵ 顶点为（-1，0），∴ - = -1，∴ b=＞0.
由图象与y轴的交点坐标可知:c+2＞2，∴ c＞0，∴ abc＞0，故①错误.
∵ 抛物线顶点在x轴上，∴ （c+2）=0，故②错误.
∵ 顶点为（-1，0），∴ a-b+c+2=0.
∵ b=，∴ a=c+2. ∵ c＞0，∴ a＞2，故③正确.
由抛物线的对称性可知x=-2与x=0时函数值相等，∴ -2b+c+2＞2，
∴ -2b+c＞0，故④正确.
12.A 解析：∵ 二次函数的图象开口向上，∴ . ∵ 对称轴在轴的左边，∴ ＜0，∴ . ∵ 图象与轴的交点坐标是，过点，代入，得， ∴ ，∴ . 把代入，得. ∵ ，∴ ，∴ . ∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即，故选A.
13. (2，5) 解析：抛物线的顶点坐标是（h，k）.
14.四 解析：根据图象得， 故一次函数的图象不经过第四象限．
15.(答案不唯一) 解析：需满足抛物线与轴交于两点，与轴有交点，及是直角三角形，可知答案不唯一，如.
16.或 解析：由题意知抛物线的对称轴为直线或.
（1）当对称轴为直线时，，抛物线经过点，，
∴ 解得∴ .
（2）当对称轴为直线时，，抛物线经过点，，
∴ 解得∴ .
∴ 抛物线的函数解析式为或.
17. 解析：将点的坐标代入得，所以，
即,解得.所以当时，.
18. 解析：由题意知，两条抛物线的开口方向相同，开口大小相等，所以抛物线p中的a＝1.因为的顶点坐标为（－1，0），所以点A的坐标为 （－1，0）.将点（－1，0）的坐标代入，得1－b+c＝0，所以c＝b－1.根据点C′与点C的横坐标都等于，可求得点C′的纵坐标为－b+2，点C的纵坐标为.因为点C与点C′关于x轴对称，所以+（－b+2）＝0，又因为c=b1，所以解得b＝±2（b=2，不合题意舍去）.当b＝－2时，c＝－3，所以抛物线p的解析式为.
19.解：(1).
(2)设二次函数解析式为,
由题设知∴
∴ 二次函数的解析式为.
20.解：(1)由题意知是方程的两根，
∴ 又∵ ，
∴ .
∴ .∴. ∴ 二次函数的解析式为. (2) ∵ 平移后的函数解析式为,且当时，,
∴ .
∴ . 21.解：(1)依题意,得解得
所以抛物线的解析式为. (2)令，得,
∴ .
由，得.
作轴于点， 则, 可得=15.
22. 解：(1)∵ 经过点A(0,-2),B(3,4),
代入得∴
∴ 抛物线的表达式为
∴ 其对称轴为直线x=1.
（2）由题意可知C（-3，-4），
二次函数的最小值为-4.
由图象可以看出D点纵坐标最小值即为-4，
最大值即BC与对称轴交点的纵坐标.
设直线BC的解析式为y=kx+b,
根据题意得解得
∴ 直线BC的解析式为当x=1时，
∴ 点D纵坐标t的取值范围是
23. 解：（1）本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，如，.
（2）∵ 函数的图象经过点，则，解得.
∴ .
方法一：∵ 与为“同簇二次函数”，
∴ 可设，
则.
由题意可知函数的图象经过点（0，5），则，∴ .
∴ .
当时，根据的函数图象可知，的最大值.
方法二：∵ 与为“同簇二次函数”，
则，
∴ ，化简得.
又，将 代入，解得，.
∴ .
当时，根据的函数图象可知，的最大值.
24. 解：（1）n为奇数，则y＝－x2＋bx＋c.
∵ 点H（0，1）和C（2，1）在抛物线上，
∴
∴ y＝－x2＋2x＋1.
故格点E是该抛物线的顶点.
（2）n为偶数，则y＝x2＋bx＋c.
∵ 点A（1，0）和B（２，0）在抛物线上，
∴
∴ y＝x2－3x＋2.
当x＝0时，y＝2≠1，
故点F（0，2）在该抛物线上，而点H（0，1）不在该抛物线上.
（３）所有满足条件的抛物线共有８条.如图①所示，当n为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得3条抛物线；如图②所示，当n为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得3条抛物线.
第24题答图
25.解：（1）设抛物线的解析式为，桥拱最高点到水面CD的距离为 m，
则，.
∴ 解得
∴ 抛物线的解析式为.
（2）水位由处涨到点的时间为，
货车按原来速度行驶的路程为，
∴ 货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到，当时，.
∴ 要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过.
26.解：（1）未租出的设备为套，所有未租出设备的支出费用为元.
（2）.
∴ .
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为元，此时租出的设备为37套；
当月租金为350元时，租赁公司的月收益为元，此时租出的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32
套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.
（4）.
∴ 当时，有最大值. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为元.