期中检测题
【本检测题满分:120分，时间:120分钟】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2015·广州中考）已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
2.如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC
=，则边BC的长为（ ）
A.30 cm B.20 cm
C.10 cm D.5 cm
3.一辆汽车沿坡角为的斜坡前进，则它上升的高度为（ ）
A.500sin B. C.500cos D.
4.如图，在△中，=10，∠=60°，∠=45°，则点到的距离是（ ）
A.105 B.5+5
C.155 D.1510
5.（2014·四川南充中考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（ ）
A.40° B.60° C.70° D.80°
6.计算的结果是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中， 则的值是( )
A. B. C. D.
8.上午9时，一船从处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达处，如图所示，从，两处分别测得小岛在北偏东45°和北偏东15°方向，那么处与小岛的距离为（ ）
A.20海里 B.20海里
C.15海里 D.20海里
9.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．40° B. 50° C. 60° D.70°
第9题图
10.如图，是的直径，是的切线，为切点，连结交⊙于点,连结,若∠＝45°,则下列结论正确的是（ ）
A． B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为，如 果测角仪高1.5 m，那么旗杆的高为________m.
12.如图，PA,PB切⊙于点A,B，点C是⊙上一点，∠ACB=60°， 则∠P= °
13.已知∠为锐角，且sin =，则tan 的值为__________.
14.如图，在离地面高度为5 m的处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角， 则拉线的长为__________m(用的三角函数值表示).
15.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连结AD，若∠=25°，则∠C =__________度.
16.如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A， P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ．
17.如图所示，，切⊙O于，两点，若，⊙O的半径为，
则阴影部分的面积为_______.
18.（2015·上海中考）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°．将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于___________．
三、解答题（共66分）
19.(8分)计算:6 tan230°－cos 30°·tan 60°－2 sin 45°+cos 60°.
20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知到水池处的距离是，山坡的坡角∠=15°，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程不能超过，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵站能否建在处?
21.(8分) 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连结DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若cos B= ，BP=6，AP=1，求QC的长.
22.(8分)在Rt△中，∠=90°，∠=50°，=3，求∠和a(边长精确到0.1).
23.(8分) （2015·南京中考）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/ h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°,此时B处距离码头O有多远？
（参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60）
第23题图 第24题图
24.(8分)某电视塔和楼的水平距离为100 m，从楼顶处及楼底处测得塔顶的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m).
25.(8分)（2015·湖北黄冈中考）已知:如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连结AN，过点C的切线交AB的延长线于点P. （1）求证:∠BCP=∠BAN;
（2）求证:
第25题图
26.（10分）（北京中考）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH.
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长.
期中检测题参考答案
一、选择题
1. C 解析：根据切线的性质可知：圆心到直线的距离d=r=5.
2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC=tan30°=根据三角函数定义可知：tan∠BAC=，则BC=AC tan∠BAC=30×=10(cm)．故选C．
3.A 解析：如图，∠=，=500米，则=500sin ．故选A．
第3题答图 第4题答图
4.C 解析：如图，作AD⊥BC，垂足为点D.在Rt△中，∠=60°，
∴ = ．
在Rt△中，∠=45°，∴ =，
∴ =（1+）=10．解得=15﹣5．
5. C 解析：∵ PA和PB是⊙O的切线,∴ ,∴ .
∵ ∠P＝40°, ∴ =.
∵ ,∴ .
∵ AC是⊙O的直径，∴ ,∴ .
∴ ,故选项C正确.
6.D 解析：.
7.C 解析：.
8.B 解析：如图，过点作⊥于点．
由题意得，=40×=20（海里），∠=105°．
在Rt△中，=• 45°=10．
在Rt△中，∠=60°，则∠=30°， 第8题答图
所以=2=20（海里）．故选B．
9.B 解析：连结OC，如图所示.
∵ 圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，
∴ ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴ ∠BOC=40°，
又∵ CE为的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
∴ ∠E=90°40°=50°．故选B.
10.A 解析：∵ 是的直径，与切于点且∠＝, ∴Rt△，Rt△和Rt△都是等腰直角三角形.∴ 只有成立.故选A.
二、填空题
11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m，测角仪高1.5 m，
故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．
12.50 解析：连结OA，OB．
PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，
∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．
第12题答图 第13题答图
13. 解析：由sin==知，如果设=8，则17，
结合2+2=2得=15．
∴ tan=．
14. 解析：∵ ⊥且=5 m，∠CAD=α，
∴ =．
15.40 解析：连结OD，由CD切⊙O于点D，得∠ODC=.
∵ OA=OD,∴ ,
∴
16. 2 解析：如图所示，
连结，过点O作于点C，所以∠ACO=90°.
根据垂径定理可知，.
根据切线性质定理得，.
因为，所以∠PBA=90°,∥,
所以.
又因为∠ACO=∠PBA，所以∽,
所以即，所以，
所以=，
所以的最大值是2.
17. ，切⊙于，两点 ，
所以∠=∠，所以∠
所以
所以阴影部分的面积为=.
18. 解析：根据题意画出图形，如图，过点B作BF⊥AE于点F.
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝30°，
∴ ∠ABC=∠ACB=75°.
由旋转过程可知AD=AC=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∴ ∠BAE=60°，∴ ∠BEF=180°－60°－75°=45°，
∴ EF=BF.
在Rt△ABF中，，
.
∴.
∴.
.三、解答题
19.解：原式=.
20.解：∵=50，∠=15°，又sin∠=，
∴ =·sin∠= 50sin 15°≈13>10，
故抽水泵站不能建在处.
21. 分析：（1）连结OC，通过证明OC⊥DC得CD是⊙O的切线；（2）连结AC，由直径所对的圆周角是直角得△ABC为直角三角形，在Rt△ABC中根据cos B=，BP=6，AP=1，求出BC的长，在Rt△BQP中根据cos B=求出BQ的长，BQBC即为QC的长.
解：（1）CD是⊙O的切线.
理由如下：如图所示，连结OC，
∵ OC=OB，∴ ∠B=∠1.又∵ DC=DQ，∴ ∠Q=∠2.
∵ PQ⊥AB，∴ ∠QPB=90°.
∴ ∠B+∠Q=90°.∴ ∠1+∠2=90°.
∴ ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180°90°=90°.
∴ OC⊥DC.
∵ OC是⊙O的半径，∴ CD是⊙O的切线.
（2）如图所示，连结AC，
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°.
在Rt△ABC中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)×= .
在Rt△BPQ中，BQ= = =10.∴ QC=BQBC=10-=.
22.解：∠=90°50°=40°.∵ sin=，=3，∴sin≈3×0.766 0≈2.298≈2.3.
23. 解：设B处距离码头O x km.
在Rt△CAO中，∠CAO=45°.
∵ tan∠CAO=
∴ CO=AO·tan∠CAO=(45×0.1+x)·tan 45°=4.5+x.
在Rt△DBO中，∠DBO=58°.
∵ tan∠DBO=,∴ DO=BO·tan∠DBO=x·tan 58°.
∵ DC=DOCO,∴ 36×0.1= x·tan 58°(4.5+x),
∴ x=≈=13.5.
因此，B处距离码头O大约13.5 km.
24.解：设= m，∵ =100 m，∠=45°，
∴·tan 45°=100(m).∴ =(100+)m.
在Rt△中，∵∠=60°，∠=90°，
∴ tan 60°=，∴ =，即+100=100，=10010073.2(m)，
即楼高约为73.2 m，电视塔高约为173.2 m.
25．证明：（1）∵ AC是⊙O的直径，∴ ∠ANC=90°.∴ AN⊥BC.
又∵ AB=AC，∴ ∠1=∠2.
∵ CP切⊙O于点C，∴ CP⊥AC.∴ ∠3+∠4=90°.
∵ ∠1+∠3=90°，∴ ∠1=∠4.∴ ∠2=∠4，即∠BCP=∠BAN.
（2）∵ AB=AC，∴ ∠3=∠5.
又∵ 四边形AMNC为⊙O的内接四边形，
∴ ∠3+∠AMN=180°.
又∵ ∠5+∠CBP=180°，∴ ∠AMN=∠CBP.
又∵ ∠2=∠4，∴ △AMN∽△CBP.∴ .
26.（1）证明：如图，连结OC.
∵ C是弧AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴ OC⊥AB.∵ BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB,
∴ OC∥BD.
∵ AO=BO,∴ AC=CD.
(2)解：∵ OC⊥AB，AB⊥BF, ∴OC∥BF，
∴ ∠COE=∠FBE.∵ E是OB的中点，∴ OE=BE.
在△COE和△FBE中，
∴ △COE≌△FBE(ASA).∴ BF=CO.∵ OB=OC=2，∴ BF=2，AB=4.∴
∵ AB是直径，∴ BH⊥AF.∵ AB⊥BF,∴ △ABH∽△AFB.
∴ ,∴