第十二章复习 一元二次方程的解法及根的判别式测试(B卷)
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．若方程（m－1）x｜m｜+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=__________．
2．对于方程（m－1）x2+（m+1）x++2=0，当m__________时，为一元一次方程；当m____时为一元二次方程．
3．一元二次方程ax2+bx+c=0至少有一个根为零的条件是____________．
4．若关于x的方程x2－mx+=0与x2－（m+1）x+m=0均有相同的实数根，则m的值为________．
5．如果m为任意实数，则一元二次方程x2－mx+m2+m+=0的解的情况是____________．
6．k＜1时，关于x的方程2（k+1）x2+4kx+2k－1=0的根的情况是__________．
7．若x=a（a≠2）是关于x的一元二次方程（k－1）x2+2kx+k+3=0的一个实数根，则k的取值范围是
_________________________．
8．若关于x的方程（m－1）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，则Δ=_____________________，则m的取值范围是____________________________________．
二、选择题（每小题3分，共24分）
9．方程（m+2）x｜m｜+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则
A．m≠±2 B．m= C．m=－2 D．m=±2
10．已知关于x的方程x2－（m－3）x+m2=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是
A．2 B． C．0 D．－1
11．k为实数，则关于x的方程x2+2（k+1）x+k－1=0的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定
12．已知关于x的方程（－1）x2－8x+4=0有两个实数根，则非负整数m的值为
A．1 B． C．1或2 D．0、1、2
13．对任意实数m，关于x的方程（m2+1）x2－2mx+m2+4=0一定
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定
14．已知关于x的方程（b+c）x2+（a－c）x－（a－c）=0有两个相等的实数根，则以a、b、c为三边长的三角形是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
15．若关于x的方程x2－（）x+k=0有两个不相等的实数根，则化简k+2+的值为
A．4 B．2k C．－4 D．－2k
16．若关于x的一元二次方程kx2－2x+1=0有实数根，则k的取值范围是
A．k＜1 B．k≤ C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
三、解答题（共52分）
17．解关于x的方程2x2+（－n）x－+3mn－n2=0．（6分）
18．若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个公共根，求a的值．（6分）
19．试证明：关于x的方程（a2－+20）x2+2ax+1=0，不论a取何值，该方程都是一元二次方程．（6分）
20．k取何值时，方程kx2－（2k+1）x+k=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根．（7分）
21．方程x2－（k+1）x+k=0能否有相等的实数根．若有请求出来．（7分）
22．已知一元二次方程（ab－2b）x2+2（b－a）x+－ab=0有两个相等的实数根，求的值．（10分）
23．已知：a、b、c是三角形三条边的长，求证：方程b2x2+（b2+c2－a2）x+c2=0没有实数根．（10分）
参考答案
一、1．－1 2．1 ≠1 3．c=0 4．1
5．－－2≤m≤－2时有解；
m＞－2或m＜－－2时无解．
6．有两个不相等的实数根 7．k≤1.5且k≠1
8．Δ=12－，m＜且m≠1
二、9．B 10．B 11．A 12．D 13．C 14．B 15．A 16．D
三、17．解：Δ=（－3n）2≥0，
∴x==
∴x1=，x2=n－
18．解：设两个方程的公共根为x0，则有
，由①－②得
（1－a）x0+a－1=0，∴（1－a）（x0－1）=0
由题知，x2+x+a=0与x2+ax+1=0是两个不同的方程．
∴a≠1，a－1≠0，∴x0－1=0，x0=1，
把x0=1代入①得a=－2
19．证明：a2－+20=a2－+16+4=（a－4）2+4
∵（a－4）2≥0，∴（a－4）2+4＞0
∴无论a取何值，a2－+20≠0，
即无论a取何值时，原方程一定是一元二次方程．
20．解：由已知得k≠0，于是a=k，b=－（2k+1），c=k，
∴Δ=b2－=［－（2k+1）］2－4×k×k=4k+1
（1）若方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0即4k+1＞0，∴k＞－，
∴当k＞－且k≠0时，
方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0即4k+1=0，∴k=－≠0，
∴当k=－时，方程有两个相等的实数根；
（3）若方程没有实数根，
∴Δ＜0即4k+1＜0，∴k＜－≠0．
∴当k＜－时，方程无实数根．
21．解：∵a=1，b=－（k+1），c=k
∴Δ=b2－=［－（k+1）］2－4×1×k=k2+k+1，
当Δ=0时，即k2+k+1=0．而此时，方程k2+k+1=0的判别式Δk=12－4×1=－3＜0，说明方程k2+k+1=0无实数根，即对任何实数k，Δ≠0．故原方程无相等的实数根．
22．解：∵已知一元二次方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0即4（b－a）2－4（ab－2b）（－ab）=0
∴b2－2ab+a2－（2b－a2b2－4ab+2ab2）=0
（a2+2ab+b2）－（2b+2ab2）+a2b2=0
（a+b）2－2ab（a+b）+a2b2=0
∴（a+b－ab）2=0∴a+b－ab=0
∵a≠0且b≠0，ab≠0，上式中两边都除以ab得
+=1，故+的值是1．
23．证明：∵a、b、c是三角形三条边的长，
∴a＞0、b＞0、c＞0且a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b
∵b2≠0
∴方程b2x2+（b2+c2－a2）x+c2=0是一元二次方程
∵Δ=（b2+c2－a2）2－4b2=（b2+c2－a2+2bc）（b2+c2－a2－2bc）=［（b+c）2－a2］·［（b－c）2－a2］
=（b+c+a）（b+c－a）（b－c+a）（b－c－a）=（a+b+c）［（b+c）－a］·［（a+b）－c］·［b－（a+c）］
∵a+b+c＞0，b+c－a＞0，a+b－c＞0，b－（a－c）＜0
∴（a+b+c）［（b+c）－a］·［（a+b）－c］·［b－（a+c）］＜0
即Δ＜0，∴原方程没有实数根．