25.3解直角三角形
第1题.如图，在观测点测得小山上铁塔顶的仰角为，铁塔底部的仰角为．已知塔高，观测点到地面的距离，求小山的高（精确到）．
答案：解：如图，过点作于点．
由已知，得
，．
在中，．
在中，由，得
，
又，
，即．
，
．
答：小山的高约为．
第2题.如图，身高的小丽用一个两锐角分别为和的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为，那么这棵树高大约为 ．（结果精确到，其中，小丽眼睛距离地面高度近似为身高）
答案：5.1m
第3题.某船以每小时海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点，测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁
（1）试说明点是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
答案：（1）过点作，交于点
（海里）
又
即
点在暗礁区域外
（2）过点作，垂足为
在中，
令，则
在中，
，
解得
船继续向东航行有触礁的危险
第4题.如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口处．甲船从出发，沿方向以／时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向，以／时的速度驶离港口．现两船同时出发，
（1）出发后几小时两船与港口的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：，）
答案：解：（1）设出发后小时两船与港口的距离相等．
根据题意，得．
解这个方程，得．
出发后3小时两船与港口的距离相等．
（2）设出发后小时乙船在甲船的正东方向．此时甲、乙两船的位置分别在点处．连接．过点作，垂足为．则点在点的正南方向．
在中，，
．
在中，，
．
．
．
解这个方程，得．
出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向．
第5题.如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为．当太阳光与水平线成时，测得该树在斜坡上的树影的长为，求树高．（精确到）
答案：解：如图，过点作水平线与的延长线交于点，则．
，．分
在中，，．
在中，．
．
答：树高约为．
第6题.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点．景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上．已知．
（1）景区管委会准备由景点向公路修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到）
（2）求景点与景点之间的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，
，，，
，．）
答案：解：（1）如图，过点作于点，
过点作，交的延长线于点．
在中，，．
．
在中，
．
．
．
在中，，
，
．
．
景点向公路修建的这条公路的长约是．
（2）由题意可知，
由（1）可知，所以，
，
在中，，
．
景点与景点之间的距离约为．
第7题. 已知：如图，在梯形中，，，，于点，，．
求：的长．
解：答案：解：如图，过点作交于点．
因为，
所以四边形是平行四边形．
所以．
由，
得．
在中，，，
由，
求得．
所以．
在中，，
．
求得．
第8题.如图所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，已知千米，直线与公路的夹角，新开发区到公路的距离千米．
（1）求新开发区到公路的距离；
（2）现要在上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离之和最短．请你用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时的值．
答案：解：（1），
过点作于点，，
．
即新开发区到公路的距离为千米．
（2）画图正确．
过作的延长线（点是点关于的对称点），垂足为，则
过作于
，
连结，则，
（千米）．
第9题.如图，在某建筑物上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测得仰角为；再往条幅方向前行米到达点处，看条幅顶端，测得仰角为．求宣传条幅的长．（小明的身高忽略不计，结果精确到米）
答案：解：，，，
，
．
在中，（）
答：宣传条幅的长约为米．
第10题.菏泽市在城市建设中，要折除旧烟囱（如图所示），在烟囱正西方向的楼的顶端，测得烟囱的顶端的仰角为，底端的俯角为，已量得．
（1）在原图上画出点望点的仰角和点望点的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小．
（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．
答案：解：（1）
（2）在中，．
，
在中，，
烟囱高，
，这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．
第11题.如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角为，窗户的一部分在教室地面所形成的影长为米，窗户的高度为米．求窗外遮阳蓬外端一点到窗户上椽的距离．（结果精确米）
答案：方法一：
过点作交于点，
四边形是，
在中，，
（或）
又四边形是，
（或）
又，
在中，，
（或），
所求的距离约为米．
方法二：
在中，设，
在中，设，
在中，
化简得：
解答：（米）
方法三：
过点作的平行线，
第12题.小红同学想测量河对岸一通信塔的高度，她先在点处测得塔顶的仰角为，这时她再往正前方前进到点，又测得塔顶的仰角为，请你帮她算一算塔的高（答案保留根号）．
答案：解：设塔高米，则米
．
．
答：塔的高为米．
第13题.某科技馆座落在山坡处，从山脚处到科技馆的路线如图所示．已知处海拔高度为，斜坡的坡角为，，斜坡的坡角为，，那么科技馆处的海拔高度是多少？（精确到）
（参考数据： ）
答案：解：过向水平线作垂线，垂足为，过向水平线作垂线，垂足为（如右图），则
．
．
科技馆处的海拔高度是：．
第14题.如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长米，在斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，且太阳光线与斜坡坡面互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆的高度（精确到）．
（可供选用数据：取，）
答案：解：延长，相交于点，则，，．
在Ａ中，，由，
得
答：
第15题.为测量某塔的高度，在离该塔底部处目测其顶，仰角为，目高，试求该塔的高度．
答案：解：如图所示，过点作，交于点．
在中，，
所以，．
所以，（米）．
所以，该塔的高度是35.5米．
第16题.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点．景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量景点位于景点的北偏东方向千米处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上．已知千米．
（1）景区管委会准备由景点向公路修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到）
（2）求景点与景点之间的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，
，，，
，．）
答案：解：（1）如图1，过点作于点
过点作，交的延长线于点
在中，，
在中
在中，
（千米）
答：景点向公路修建的这条公路的长约是千米
（2）由题意可知
由（1）可知，所以
在中，
（千米）
答：景点与景点之间的距离约为千米
第17题.小明想测量校园内一棵不可攀的树的高度．由于无法直接度量两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方案．
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算间的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
答案：（1）答案不唯一，提供一种方案：
测量平面图如图：
（2）测量出
（3）．
第18题.如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度为（即）且在同一条直线上．求电视塔的高度以及此人所在位置点的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
答案：解：作于点，
于点，在中，，，
（米）
设米，
在中，
，
解得（米）
答：电视塔高为米，点的铅直高度为（米）．
第19题.如图，山顶建有一座铁塔，塔高米，测量人员在一个小山坡的处测得塔的底部点的仰角为，塔顶点的仰角为．已测得小山坡的坡角为，坡长米．求山的高度（精确到米）．（参考数据：，）
答案：解：如图，过点作于，于．
在中，，，．
四边形是矩形，．
设米．
，
．
，
．
，
．
解得．
（米）．
答：山高约为米．