第二十七章 相似形
27.1 图形的相似（1）
【学习目标】
通过具体实例认识图形的相似
【效果检测】
一、选择题
1.下列各种图形相似的是（ ）
A、（1）、（3） B、（3）、（4） C、（1）、（2） D、（1）、（4）
2.下列图形一定相似的有（ ）
（1）放大镜下的图片与原来的图片；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；
（3）大小不同的两个三角板；（4）同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片.
A、4组 B、3组 C、2组 D、1组
3.下列给出的图形中，不是相似形的是（ ）
A、刚买的一双鞋的左右鞋底 B、复印出来的两个“谁”字
C、一对乒乓球拍 D、仅仅宽度不同的两块长方形木板
4.下列给出的图形是相似形的是（ ）
A、两张孪生兄弟的照片 B、三角板的内、外三角形
C、行书的“中”字和楷书的“中”字 D、同一棵树上摘下的两片树叶
5.下列说法不一定正确的是（ ）
A、所有的等边三角形都相似 B、有一个角是1000的等腰三角形相似
C、所有的正方形都相似 D、所有的矩形都相似
二、作图题
5.如图，利用右边的表格，把左边图中奔跑的小人放大一倍.
6.把下列图中左边的图形，加以放大后画出与它们相似的图形.
27.1 图形的相似（2）
【学习目标】
1.探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例
【效果检测】
一、填空题
1.在比例尺为1∶200000的长春市交通图上，人民广场与日月潭之间的距离约为10厘米，则它们之间的实际距离约为 千米.
2.如图，两个五边形是相似形，则 ， ，α= ，β=
3.四边形ABCD与相似，则
4.等腰梯形的两腰之比是 ，直角三角形斜边上的中线与斜边之比是 ，线段的垂直平分线上的一点到线段两端点的距离之比是 .
二、解答题
5.如图，四边形ABCD与相似，求未知边x,y的长度和β角的度数.
6.如图，在一块长和宽分别为和的长方形黑板的四周镶上宽为的木条，得到一个新的长方形黑板.请你判断原来的长方形黑板与新的长方形黑板是否相似？（说明理由）
7.相同时刻的物高与影长成比例.一电线杆在地面上的影长为3m，此时高为1.5m的小王在地面上的影长为1.2米，求此电线杆的高度.
27.2.1 相似三角形的判定（1）
【学习目标】
1.掌握相似三角形的性质及相似比
2.探索并掌握相似三角形的第一个判定方法，也就是“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”
【效果检测】
一、选择题
1.已知⊿ABC的三边长分别为,,2,⊿A′B′C′的两边长分别是1和,如果
⊿ABC与⊿A′B′C′相似,那么⊿A′B′C′的第三边长应该是( )
A. B. C. D.
2.如图，若BC∥DE，则下面比例式不能成立的是（ ）
A． B.
C. D.
3.如上图，△ABC中，DE∥BC，AD＝1，DB＝DE＝2，
则BC长是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
4.若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形
5. 如上图，DE∥BC，AB＝16，AC＝12，AD＝10，则AE＝________
6. 如上图：两平行线交∠A的一边于B、D两点，交∠A的另一边C、E两点，已知AC+AB=14，且AE：AD=3：4，则AB的长为
三、解答题
7.在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DF⊥AB，EF⊥BC，求证：BD∶BC＝BE∶BD.
8.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2，AC＝6，求DE和CE的
27.2.1 相似三角形的判定（2）
【学习目标】
1.掌握相似三角形的判定定理1：“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”并能灵活应用
2.进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力
【效果检测】
一、判断题（正确的划√，错误的划）
1.若AB=6，BC=9，CA=12，A′B′=4，C′B′=6，A′C′=8，则△ABC∽△A′B′C′( )
2.若△ABC三边的长分别为，△A′B′C′三边的长分别为，则△ABC∽△A′B′C′( )
3.若，则△ABC∽△A′B′C′( )
4.若两个等腰三角形△ABC和△A′B′C′的腰长分别为5cm，7cm；它们的周长分别为18cm，25.2cm.,则△ABC∽△A′B′C′( )
二、解答题
5.在△ABC和△DEF中，AC=8，AB=6，BC=5,EF=10,FD=,DE=.
求证： 以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，并求出它们的相似比.
6.如图，P是正方形ABCD边AB的中点，点M在AD上，且AM=AD，又PM=PC.
求证：APM∽BCP
7.图中的△ABC和△DEF相似吗？请说明你的结论
27.2.1 相似三角形的判定（3）
【学习目标】
1.掌握相似三角形的判定定理2：“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”并能灵活应用
2.进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力
【效果检测】
一、解答题
1.如图，直线DE交△ABC的两边AB、AC于点D、E,且,求证：∠1＝∠B.
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD2=AD·BC,求证：△ADB∽△DBC.
3. 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,延长AB到E,使BE=AB.
试说明:⑴△ADC∽△ACE; ⑵CE=2DC
二、实践与探究
4. 如图，在△ABC中，AB＝，C＝，点P从点A开始沿AB边向B点以/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？说明你的理由
27.2.1 相似三角形的判定（4）
【学习目标】
1.掌握相似三角形的判定定理3：“如果一个三角形的两个与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”并能灵活应用
2.进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力
【效果检测】
选择题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2 ，
BD=1，则AD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．如图，矩形ABCD中， ， ，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ） A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，D为AC边上一点， ， ， ，则CD的长为（）A．1 B． C．2 D．
解答题
4．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点， ，
， .
求证： .
三、实践与探究
5．如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，G是AC上一点，，连EC延长交AD于F，求的值
27.2.2 相似三角形应用举例（1）
【学习目标】
利用相似三角形的性质和判定方法，来解决生活中不能直接测量物体长度的问题：测量高度问题、河宽问题、盲区问题
2. 从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题
【效果检测】
一、选择题
1．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，
小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米。小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。请你计算，电线杆AB的高为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
2．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射
桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）．
A．0.36π平方米 B． 0.81π平方米
C．2π平方米 D． 3.24π平方米
二、小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：
如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米.请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角).
三、一块直角三角形木板的一条直角边AB长为，面积为1.5 平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面. 甲、乙两位同学的加工方法分别如图（左），图（右）所示. 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求. （加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
27.2.2 相似三角形应用举例（2）
【学习目标】
1.利用相似三角形的性质和判定方法，来解决生活中不能直接测量物体长度的问题：测量高度问题、河宽问题、盲区问题
2.从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题
【效果检测】
一、选择题
1.如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,则梯子的长为( )
A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m
2.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
二、解答题
3.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE为多少厘米?
4.有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC= ，高AD= ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍. 问加工成的铁片的面积为多少平方厘米.
27.2.3 相似三角形的周长与面积
【学习目标】
1.理解相似三角形、相似多边形周长的比等于相似比
2.理解相似三角形、相似多边形面积的比等于相似比的平方
3.了解相似三角形对应中线、对应高线、对应角平分线的比等于相似比
【效果检测】
一、填空题
1．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，BD=10，DA=15 ，BE=8，则 EC= ，= ，
2．在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的最小边长是2,则另一个三角形的周长是
二、选择题
3．下列说法错误的是（ ）
A．如果把一个三角形的各边扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍
B．相似三角形对应高的比等于对应中线的比
C．相似多边形的面积比等于周长比的平方
D．如果把一个多边形的面积扩大为原来的5倍，那么它的各边也扩大为原来的5倍
4．两个相似多边形的相似比为2：3，它们的面积和为78cm2，则较大的多边形的面积为( )
A.54cm2 B.42cm2 C.56cm2 D.52cm2
5. 顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
6．如图所示，D、E分别是AC、AB上的点， ，已知△ABC的面积为 .求四边形BCDE的面积.
7. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=12，AF：FD=1：3，BF=5，CE⊥BF
于点E，交AD于点G，求△BCE的周长.
27.3 位似（1）
【学习目标】
1.理解位似变换概念
2.位似变换是一种特殊的相似变换，此时对应顶点的连线交于一点，对应边也是互相平行的
3.理解如何利用位似变换将一个图形放大或缩小
【效果检测】
一、判断正误（正确的划√，错误的划）
相似形一定是位似图形（ ）
位似图形的对应边互相平行，对应角相等（ ）
将三角形的三边长都扩大2倍，得到的三角形与原三角形是位似图形（ ）
以A为中心，将△ABC旋转30º，所得的△A’B’C’与△ABC是位似图形（ ）
二、解答题
如图，△ACC’是由△ABB’经过位似变换得到的
（1）求出△ACC’与△ABB’的相似比，并指出它们的位似中心
（2）△AEE’是△ABB’的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由
（3）如果相似比为3，那么△ABB’的位似图形是什么？
6.如图，以点O为位似中心，将图（1）放大为原来的1.5倍，将图（2）缩小到原来的
（1） （2）
27.3 位似（2）
【学习目标】
1.理解位似变换概念
2.位似变换是一种特殊的相似变换，此时对应顶点的连线交于一点，对应边也是互相平行的
3.理解如何利用位似变换将一个图形放大或缩小，以及在平面直角坐标系下位似图形的对应点坐标的变化
【效果检测】
一、填空
1.经过位似变换得到的图形与原图形的形状 ，位置特征是 .
2.已知：线段AB的端点坐标分别为A（6，3），B（4，-2）以原点O为位似中心，相似比为的位似图形对应点的坐标分别为A′（ ），B′（ ）
3.已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，6），B（6，2），C（2，-1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A’B’C’三个顶点的坐标分别为A’（1，2），
B’（2，），C’（ ，）,则它们的相似比是 .
二、解答题
4.如图，△ABC的顶点坐标为A（-6，0），B（-1，0），C（-3.5，6），画出它的以原点O为位似中心，相似比为的位似图形
5.如图表示梯形ABCD和把它缩小后得到的梯形EFGB，求它们的相似比.
27.3 位似（3）
【学习目标】
1.在图形中能够辨析旋转、平移、轴对称、位似这些变换
2.能综合利用这些变换进行一些图案设计
【效果检测】
一、观察下面两幅图案，指出图案中的“基本图案”，说明整个图案是怎样形成的
二、试用两个圆、两个三角形、两条平行线分别设计出具有平移关系、旋转关系、轴对称关系的简单图案
三、为节约开支，我校购买了两种不同颜色的残缺地砖，准备用来装饰地面，若把它们加工成等腰直角三角形，九（四）班已设计出以下四种图案，
1）你喜欢哪种图案？请简述它的形成过程；
2）你能设计一个图案吗？
第二十七章检测题
一.选择题
1.若在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为,则甲,乙两地的实际距离是( )
A B C. D.
2.下列说法中错误的是（ ）
A.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
B.斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
C.两个等边三角形一定相似
D.任意两个矩形一定相似
3.已知⊿ABC的三边长分别为,,2,⊿A′B′C′的两边长分别是1和,如果⊿ABC与⊿A′B′C′相似,那么⊿A′B′C′的第三边长是( )
A. B. C. D.
4.如图，AD、BE是△ABC的高相交于点F，图中共有相似三角形（ ）
A 6对 B 5对 C 4对 D 3
5.⊿ABC中，D、E是中位线，则⊿ADE与四边形DECB的面积比是（ ）
A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4
(第4题图) (第6题图)
6.为测一河两岸相对两电线杆A，B的距离，如图所示，两位同学分别测量出了以下四组数据：
①AC， ；②CD， ，； ③EF，DE，AD；④DE，DF，AD.
能根据所测数据，求出A，B间距离的共有（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．①②③
二.填空题
7.如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA中点C，OB
中点D，测得CD=，则AB=_______________米
8.如图,⊿ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DEBC),当
或 或 时,⊿ADE∽⊿ABC.
9.如图，△ABC中CD为高线，AD=4,CD=3,则当DB= 时，△ADC∽△CDB.
10.如果两个相似三角形的相似比是3：5，较小三角形周长为，那么较大三角形的周长为 cm.
三.解答题
11. 如图，△ABC中，∠ACB=90°,D为AB上一点，CE⊥CD,且，.
求证：△ACD∽△ECF.
12.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.
15.如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)求证：⊿ABD≌⊿BCE.
(2)吗？请说明理由
第二十七章 相似形
27.1 图形的相似（1）
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4.B 5.
二、作图题
5. 6.
27.1 图形的相似（2）
一、填空题
1.20 2.,, 100º, 65º 3.90º 4.1:1,1:2,1:1
二、解答题
5.x=12,y=20,β=80º
6.不相似
因为 所以 对应线段不成比例 所以不相似
7.解：设电线杆的高度为x米
得出：x=
27.2.1 相似三角形的判定 (1)
一、选择题
1.A 2.B 3.D
二、填空题
4.全等 6. 8
三、解答题
7.证：∵AC⊥AB于A，DF⊥AB于F
∴AC∥DF
∴△BDF∽△BCA
∴
同理，△BEF∽△BDA
∴
∴
8.解：
27.2.1 相似三角形的判定 (2)
一、判断题
1.√ 2.√ 3. 4.√
二、解答题
5. 证:
∴△ABC∽△DFE
k=
6.证：设AM=x,则AP=BP=2x，BC=4x，根据勾股定理可得PM=，CP=
∴
∴△APM∽△BCP
7. 相似 (数格)
27.2.1 相似三角形的判定 (3)
一、解答题
1. 证：
2. 证:
3. 证：
4. 解：
27.2.1 相似三角形的判定 (4)
一、选择题
1.D 2. 3.C
二、解答题
4. 证
三、实践与探究
5. 解：
27.2.2 相似三角形应用举例(1)
一、选择题
1.D 2.B
二、解：
三、解：由 米， 平方米，得 米.
如图（左），若设甲加工的桌面边长为 米，由 ，
推出 ∽ ，可求出 米.
如图（右），过点B作 斜边上的高BH，交DE于P，交AC于H.
由 米， 米， 平方米得， 米， 米.
设乙加工的桌面边长为 米.
∵ ，∴ ∽ ∴ ，即
解得 ∵ ，即
∴甲同学的加工方法符合要求.
27.2.2 相似三角形应用举例(2)
一、选择题
1.A 2.B
二、解答题
3.解：
答：小玻璃管口径DE为cm.
4. 或
27.2.3 相似三角形的周长与面积
一、填空题
1．12, 2．9
二、选择题
3．D 4.A 5.C
三、解答题
6．证：
7.证：
位似（1）
一、判断正误
1. 2.√ 3. 4.
二、解答题
5.（1）；A （2）是； （3）△ADD’
6.图略
27.3 位似（2）
一、填空
1.相同；对应点连线相交于一点 2.（3，）;（2，-1） 3.
二、解答题
4. A’(-15,0) B’(,0) C’(,15)
5.
位似（3）
略