1.3 解直角三角形 同步练习
直角三角形的特征
1、直角三角形两个锐角互余； 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；
4、勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；
5、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；
6、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的比例中项； 一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图 CD2=DA×DB AC2=AD×AB BC2=BD× AB
7、锐角三角函数的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,
则sinA=,cosA=,tanA=,cotA=
8、解直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角． ②已知两边． ③解直角三角形的应用．
9、性质
（1）锐角∠A的正弦值、余弦值、正切值、余切值的范围：
0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 tanA＞0 cotA＞0
（2）关于两个“：(已知∠A是锐角)
sinA2+cosA2=1 tanA·cotA=1
（3）若∠A、∠B是锐角，且∠A+∠B=90°
则有sinA=cosB（或sinaA=cos(90°－A) sinB=cosA tanA=cotB cotA=tanB
练习：
1、在锐角三角形ABC中，若，则∠C=_______。
2、等边三角形的边长为a，则一边上的高为________，面积等于_______。
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件填空：
（1）a=2,b=1,则sinA=______,（2）a=4,tanA=1.5,则b=________,（3）3a=b,则sinA=_____。
4、已知某人沿着坡角是α的斜坡前进了，则他上升的最大高度是__________，前进的水平距离是_________。
5、如图，已知AB=20，AC=30，∠A=150°，则△ABC的面积是__________。
6、如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知：AB=8，BC=10，求EC的长。
7、如图，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的底楼是高的小区超市，超市以上是居民住房。在该楼的前面处要盖一栋高的新楼。当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时。
问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
若要超市采光不受影响，两楼至少相距多少米？
8、如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直。⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为，cos∠AOE=，
求点E离地面AC的距离BE的长；
设人站立点C与点A的距离AC=53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长。
9、某海滨浴场的沿岸可以看做直线，如图，1号救生员在岸边的点A看到海中的点B有人求救，便立即向前跑到离点B最近的点D，再跳入海中游到点B救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是/s，在水中游泳的速度都是/s，∠BAD=45°。
请问1号救生员到达点B处的时间是多少？
若2号救生员从点A跑到点C，再跳入海中游到点B救助，且∠BCD=60°。请问谁先到达B点？
10、在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．
11、如图所示：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60° ，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45° ，已知OA=，山坡坡度为 ，（即tan∠PAB= ）且O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）．
12、如图，要在宽为的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为，且与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直。当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想。问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（结果保留根号）