反比例函数 反比例函数的图形和性质一周强化
一、一周知识概述
1、反比例函数
一般地，若变量y与x成反比例，则xy=k（k为常数，k≠0），即．把函数（k为常数，k≠0）叫做反比例函数．这里x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数，反比例函数的自变量x的值不能为零．
2、反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中，自变量x≠0，函数y≠0，所以它的图象与x轴和y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
主要性质列表如下：
3、反比例函数的图像的画法(描点法)．
(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两边取三对(或三对以上)相反数，如1和－1，2和－2，3和－3等等．填y值时，只需计算原点一侧的函数值，如分别计算出x=l，2，3的值，那么x=－1，－2，－3的函数值应是与之对应的相反数．
(2)描点：先画出反比例函数的图像的一侧，按照从左到右的顺序连接各点并延伸，另一侧可根据图像关于原点对称的性质来画，图象不与坐标轴相交．
4、用待定系数法求反比例函数的解析式
反比例函数图象上的点的坐标满足函数关系式；满足函数关系式的一对x、y值对应的点在其函数图象上，因此，已知反比例函数图象上一个点的坐标，就能用待定系数法确定其解析式．
二、重点难点疑点突破
1、正确认识反比例函数意义及其形式
当常数k≠0时，xy=k或y=kx－1是反比例函数的变形形式（隐函数形式）．
2、反比例函数中的比例系数k的几何意义
依反比例函数的表达式，我们不难得到k=xy(k≠0)，如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|．
即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线，则两垂线线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k|，且这个面积的值与取点的位置无关．
3、反比例关系与反比例函数的区别与联系
成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如y＋5与z＋2成反比例，则，但y不是关于z的反比例函数；再如y与x2成反比例，则，但y不是关于x的反比例函数，因为这里的分母中，x的指数不是1．
三、典型例题讲解
例1、k为何值时，y=(k2＋k)是反比例函数?
分析：
根据反比例函数解析式的一般式(k≠0)，也可写成y=kx－1(k≠0)，可知当此函数为反比例函数时，必须具备两个条件：k2－k－3=－1，且k2＋k≠0，二者缺一不可．
解：
∵k2－k－3=－1，∴k=2或k=－1．
当k=2时，k2＋k=4＋2=6≠0，符合题意；
当k=－1时，k2＋k=1－1=0，不合题意，舍去．
∴当k=2时，y=(k2＋k) 是反比例函数．
小结：反比例函数解析式，也可写成y=kx－1的形式，填空题中常出现对y=kx－1的考查，注意x的指数，以及比例系数k应不等于0，解题时切忌增解．
例2、已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x=1与x=2时，y的值都为6，求x=-4时，y的值。
解：
∵y1与x成正比例，∴y1=k1x
∵y2与x成反比例，∴y2=
∴y=k1x+
又∵x=1时，y=6，x=2时，y=6
依题意，有解得
∴y1=2x，y2=，即：y=2x+
当x=-4时，y=2×(-4)+=-8-1=-9
小结：两个变量的代数式之间成反比例关系时，也涉及到先确定其反比例的系数k的问题，一般用待定系数法来确定，这一点与正比例函数极其相似．在同一题目中，多个函数关系应用不同的待定系数k1、k2 ……表示；k虽然为常数，但不同的关系中，常数不一定相等。
例3、在函数(a为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2 C．y1 分析： ∵是反比例函数， 且－a2－1=－(a2＋1)<0， ∴双曲线分布在第二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大． ∵(－3，y1)和(－1，y2)在第二象限，且－3<－1， ∴y1 ∴y3 答案：D． 小结：描述函数的增减性，必须指出“在每一个分支（象限）内”，若在同一个象限内，则可直接比较，如果是跨象限比较时，只能根据图象进行比较，不能生搬硬套． 例4、如图所示，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= (m≠0)的图象在第一象限交于C点， CD垂直于x轴，垂足为D.若OA=OB=OD=1， (1)求点A、B、D的坐标; (2)求一次函数和反比例函数的解析式. 分析: (1)由OA=OB=OD=1可确定A、B、D三点坐标. (2)将A、B两点坐标分别代入y=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式， 由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入y=可确定反比例函数的解析式. 解: (1)∵OA=OB=OD=1，∴点A、B、D的坐标分别为A(-1，0)，B(0，1)，D(1，0). (2)∵点A、B在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y=x+1. ∵点C在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x轴， ∴点C的坐标为(1，2) . 又∵点C在反比例函数y=(m≠0)的图象上，m=2. ∴反比例函数的解析式为y=. 例5、（2006年·泉州）如图，在直角坐标系中，O为原点，A(4，12)为双曲线上的一点。 (1)求k的值； (2)过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为，试求点P的坐标。 (3)分别过双曲线上的两点P1、P2，作P1B1⊥x轴于B1，P2B2⊥x轴于B2，连结OP1、OP2。设Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周长分别为l1、l2，r1是Rt△OP1B1内一点M1到各边之和，r2是Rt△OP2B2内一点M2到各边之和，且点M1、M2分别到Rt△OP1B1、Rt△OP2B2各边的距离相等，若 分析： (1)由A(4，12)是双曲线上的一点，把A(4，12)代入中即可求出k的值； (2)Rt△OPB两直角边的比值为，即注意分两种情况讨论； (3)通过Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的面积关系寻找解决问题的方法。 解： (1)依题意得 (2)由(1)得双曲线解析式为设P(m，n)，即mn=48。 (3)在Rt△OP1B1中，设OB1=a1，P1B1=b1，OP1=c1， 则P1(a1，b1)，由(2)得a1b1=48； 在Rt△OP2B2中，设OB2=a2，P2B2=b2，OP2=c2， 则P2(a2，b2)，由(2)得a2b2=48。 反思：(3)正确理解是解决本题的关键。