昌平区2010—2011学年第一学期初三年级期末考试
数 学 试 卷 2011．1
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．已知，则锐角A的度数是
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若，
则∠C的度数等于
A． B． C． D．
4．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么tanB的值等于
A． B. C. D.
5．两个圆的半径分别是和，圆心距是，则这两个圆的位置关系是
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．如图，在中，，且，则等于
Ａ．10 Ｂ．16 Ｃ．12 Ｄ．
7．如图所示，直线l与半径为的⊙O相交于A、B两点，
且与半径OC垂直，垂足为H ，AB=，若要使直线l与⊙O相切，
则l应沿OC方向向下平移
A． B．
C． D．
8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回.点P在运动过程中速度始终保持不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，，，
那么弦的长是 ．
10．圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为 ．
11．将一副直角三角板（含45角的直角三角板ABC及含30角的直角
三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的
面积之比等于 ．
12．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点
C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则= ．
三、解答题（共10道小题，共50分）
13．（4分）计算：
14．（4分）已知: 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，
且∠AED =∠B.若AE=5，AB= 9，CB=6 ，求ED的长.
15. （5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径.
16. （6分）已知二次函数.
（1）用配方法把该函数化为的形式，并写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）在直角坐标系中，直接画出抛物线.（注意：关键点要准确，不必写出画图象的过程.）
（3）根据图象回答：
①取什么值时，抛物线在轴的上方？
②取什么值时，的值随的值的增大而减小？
17．（5分）如图，在中，是边上的高，为边的中点，
，，．
（1）求线段的长；
（2）求tan∠EDC的值．
18. （5分）如图，M为线段AB上的点，AE与BD交于点C，
∠DME＝∠A＝∠B，且MD交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形；
（2）选择（1）中的一个结论进行证明．
19．（5分）已知：如图，在中，，，，以为直径的交于点，点是的中点， OB，DE相交于点F．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求EF：FD的值．
20．（5分）小明利用所学的数学知识测量生活中一建筑物的高．他从自家楼房顶C处，测得对面直立的建筑物AB的顶端A的仰角为45，底端B的俯角为30，已量得米．
（1）在原图中画出从点C看点A时的仰角及看点B时的俯角，并分别标出它们的大小；
（2）请你帮助小明求出建筑物AB的高．
21．（5分）已知抛物线C1：，其中m≠0．
（1）求证：m为任意非零实数时，抛物线C1与轴总有两个不同的交点；
（2）求抛物线C1与x轴的两个交点的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）将抛物线C1沿x轴正方向平移一个单位长度得到抛物线C2，则无论m取任何非零实数，C2都经过同一个定点，直接写出这个定点的坐标．
注：答题卡上的直角坐标系为备用．
22. （6分）已知⊙O，半径为 ，⊙O外一点P，到圆心O的距离为 ，作射线PM，PN，使PM经过圆心O，PN与⊙O相切，切点为H．
（1）根据上述条件，画出示意图；
（2）求PH的长；
（3）有两动点A，B，同时从点P出发，点A以5米/秒的速度沿射线PM方向运动，点B以4米/秒的速度沿射线PN方向运动．设运动的时间为t（秒）．当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
四、解答题（共3道小题，共22分）
23.（7分）一家计算机专买店A型计算器每只进价12元，售价元，多买优惠：凡是一次买只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买只计算器，于是每只降价（元），因此，所买的全部20只计算器都按每只元的价格购买．但是最低价为每只16元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出专买店当一次销售（x＞10）只时，所获利润（元）与（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲买了只，乙买了只，店主却发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只16元至少提高到多少？
24．（8分）已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O,直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB,AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）． 设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．
（1）如图1，点P与点O重合；
（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；
（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．
25.（7分）已知，抛物线与x轴的两个交点分别为A（1,0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求出抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
昌平区2010—2011学年初三年级期末考试
数学试卷参考答案及评分标准 2011．1
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
三、解答题（共10道小题，共50分）
13．(4分)解：原式=………………………………3分
=1- ………………………………4分
14．（4分）
解：∵∠AED =∠ABC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC. ………………………………2分
∴. ………………………………3分
∵AE=5，AB= 9，CB=6,
∴,
∴ ………………………………4分
15. （5分）
解：连结OA，OB.
∵∠BAC=120°，AB=AC=4,
∴∠CBA=∠C=30°． ………………………………2分
∴ ∠O=60° ………………………………3分
∵OB=OA,
∴△OAB是等边三角形． ………………………………4分
∴OB=OA=4.
则⊙O的直径是8. ………………………………5分
16. （6分）
解：（1）y=x2-2x-3
= x2-2x+1-4
=(x-1)2-4 ……………………………… 1分
∴抛物线的对称轴是x =1，
顶点坐标是（1，-4）. ……………………………… 3分
（2）如图. ……………………………… 4分
（3）① x < -1或x >3； ……………………………… 5分
② x≤1. ……………………………… 6分
17．（5分）
解：（1）在中，，，，
． ……………………………1分
．
． ……………………………2分
（2）在中，，
． ……………………………3分
是斜边上的中线，
．
． ……………………………4分
∴tan∠EDC=． ……………………………5分
18．（5分）
（1）答：图中三对相似三角形是：
△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，
△EMF∽△EAM …………………………3分
（2）证明△AMF∽△BGM．
证明：∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠BMG＝∠A＋∠E，
又∵∠DME=∠A，
∴∠AFM＝∠BMG． …………………………………4分
∵∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM． …………………………………5分
19．（5分）
（1）证明：连结（如图）， …………………… 1分
∵AC是⊙O的直径，
∴．
是的中点，
．
∴
，
．
，
．
．
即．
∵点D在⊙O上，
∴是⊙O的切线 . ……………………………………………………………… 3分
（2）解：连结OE．
∵E是BC的中点，O是AC的中点，
∴OE∥AB，OE=AB.
∴△OEF∽△BDF.
在中，AC = 4，，
根据勾股定理，得 AB = 8，
∴OE= 4，
∵sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°．
∴∠A=60°．
∴ 是边长为2的等边三角形．
∴ ，BD= AB-AD =6．
∴ EF：FD = OE：BD = 4：6 = 2：3 ． ………………………………………… 5分
20．（5分）
（1）如图． ………………………………………… 1分
（2）据题意，得 四边形CDBG是矩形，CG=DB=21． …………… 2分
在中，∠AGC=90°，
．
． ………………………………………… 3分
在中，∠BGC=90°，
∴． …………………4分
∴ 建筑物的高AB=（21+）米． ……………………… 5分
21. （5分）
，
∴一元二次方程mx2+(+1)x+m+1=0有两个不相等的实数根．
即：m取任意非零实数，抛物线C1与轴总有两个不同的交点． ……………… 2分
（2）解：∵ mx2+(+1)x+m+1=0的两个解分别为：x1=－1，x2=－，
∴A(－1，0),B(－，0) ． ……………………………… 4分
(3) 解：∵抛物线C1与x轴的一个交点的坐标为A(－1，0),
∴将抛物线C1沿x轴正方向平移一个单位长度得到抛物线C2与x轴交点坐标为（0，0）,
即 无论m取任何非零实数，C2必经过定点（0，0）． ………………… 5分
22．（6分）
（1）如图． …………………………………… 1分
（2）连结OH．
∵PN与⊙O相切，切点为H，
∴OH⊥PN．
∴∠PHO =90°．
在Rt△PHO中，PO=10，OH=6，根据勾股定理，得
． ………………… 3分
（3）画图． …………………………………………… 4分
分两种情况，如图所示．
①当点A在点O左边时，直线A1B1切⊙O于M1．
连结O M1，则∠OM1 B1= 90°．
在△PB1和△PHO中，
，．
∴．
又∠P=∠P，
∴△PB1A1∽△PHO．
∴∠PB1A1=∠PHO =90°．
∴∠HB1M1= 90°．
∴四边形B1M1OH为矩形，
∴B1H=M1O．
∴8-4t = 6．
∴t = 0.5． ………………… 5分
②当点A在点O右边时．
同理，得 t = 3.5． ………………… 6分
即 当t为0.5秒或3.5秒时，直线AB与⊙O相切．
四、解答题（共3道小题，共22分）
23.（ 7分 ）
解：（1）设一次购买只，则20－16，解得．
∴一次至少买50只，才能以最低价购买 ． ………………… 2分
（2）当时， …………… 4分
当时，． ……………………………………5分
（3）．
① 当10＜x≤45时，随的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
② 当45＜x≤50时，随的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当时，y1=202.4，
当时，y2=200． ………………………………………………6分
y1＞y2．
即出现了卖46只赚的钱比卖50只嫌的钱多的现象．
当时，最低售价为（元）．
∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只16元至少提高到16.5元 . …………………………………………………………7分
24．（ 8分 ）
解：（1）当x变化时，y不变．
如图1，． ……………………………………… 2分
（2）当x变化时，y不变．
如图2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F． ……………………………………… 3分
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．。
∴四边形AFPE是矩形，PF=PE．
∴四边形AFPE是正方形． ……………………………………… 4分
∵∠ADC=90°，
∴PE∥CD．
∴△APE∽△ACD．
∴．
∵AP=2PC，CD=3，
∴．
∴PE=2．
∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，
∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，
∴△PEN≌△PFM． ……………………………………… 5分
∴． ……………………… 6分
（3）x变化，y变化．
如图3，，0＜x＜3． ……………………… 8分
25．（7分）
解：（1）据题意，有
解得
∴抛物线的解析式为：． ……………………… 2分
点C的坐标为：（0，-2）． ……………………… 3分
（2）答：存在点P（x，），使以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似．
∵∠COB=∠AMP=90°，
∴①当时，△OCB∽△MAP．
②当时，△OCB∽△MPA．
①，
∴．
解得：x1=8，x2=1（舍）．
②，
∴．
解得：x3=5，x4=1（舍）．
综合①，②知，满足条件的点P为：P1（8，-14），P2（5，-2）． ……………………… 7分