昌平区2012—2013年第一学期初三年级期末质量抽测
数 学 试 卷 2013．1
学校 姓名 考试编号
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．在Rt△ABC中，，，，则sin的值为
A． B． C． D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A = 50°，则∠BOC的度数为
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
3．在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是
A． B. C. D.
4．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，若O1O2= 8cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是
A．外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含
5．若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为
A. 15 B. 10 C. 9 D. 3
6．将二次函数化为的形式，结果为
A． B．
C． D．
7．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图. 已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m. 若灯泡离地面3m，则地面上阴影部分的面积为
A.m2
B.m2
C.m2
D.m2
8．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，以B为圆心，AB为半径作，
在扇形BAC内作⊙O与AB、BC、都相切，则⊙O的周长等于
A. B. C. D.
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为 .
10．当 时，二次函数有最小值．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC= 90°，若sinA=，则cos∠BCD的值为 ．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为8cm，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°. 当EF=8cm时，△AEF的面积是 cm2； 当EF=7cm时，△EFC的面积是 cm2．
三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15 -18题各5分，共28分）
13.计算：．
14.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.
15.已知二次函数的图象与x轴有交点，求k的取值范围.
16. 如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（-5，-1），点C（-1，-2）.
（1）以原点O为旋转中心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△. 请在图中画出△，并写出点A的对称点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△.
17.如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回.甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜. 请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同 .
18. 二次函数的图象与轴的一个交点为A，另一个交点为B，与轴交于点C.
（1）求的值及点B、点C的坐标；
（2）直接写出当时，的取值范围；
（3）直接写出当时，的取值范围．
四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）
19. 如图，AB为⊙O的直径，直线DT切⊙O于T，AD⊥DT于D，交⊙O于点C, AC=2，DT =，求∠ABT的度数.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，求的值．
21. 在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F，且∠ABE =∠DBC.
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）若，CD =2，求⊙O的半径.
22. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3 ，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
请你回答：图1中∠APB的度数等于 .
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于 ，正方形的边长为 ；
（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于 ，正六边形的边长为 ．
五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题8分，第25题9分，共24分）
23. 如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米 ．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30o，AC⊥PC于点C， P、A两点相距米．请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题.
（1）求水平距离PC的长；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A．
24．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动.
（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s. 经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求的值.
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（- 4，），且在x轴上截得的线段AB的长为6.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.
昌平区2012—2013学年第一学期初三年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准 2013．1
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15-18题各5分，共28分）
13．解：原式= ……………… 3分
=． …………………………… 4分
14．解：由题意，易知
. ………………………… 1分
∴， …………………… 2分
∴． ………………………… 3分
∴． ………………………… 4分
答：这棵树的高度为米．
15．解：依题意，得 ……………… 2分
解之，得 ……………………… 4分
∴ 且． ………………………… 5分
16．解：（1）点坐标为 （1，-5） . ……………………… 1分
如图所示. ………………………3分
（2）如图所示. ……………………………………5分
17．解：
. …………… 3分
∴ . …………………………… 4分
∴甲、乙获胜的机会不相同. ………………… 5分
18．解：（1）依题意得：0 = - 9 + 6 + m ,
∴m = 3. …………………… 1分
∴.
∴ 抛物线与x轴的另一交点B(-1，0), ………… 2分
与y轴交点C(0,3). ………………………… 3分
（2）当y﹥0 时，-1 < x < 3. …………………… 4分
（3）当-1≤x≤2时，0≤y≤4. ……………………………………5分
四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）
19． 解：连接OT、BC，相交于点E．
∵直线DT切⊙O于T ，
∴∠OTD = 90°．…………………………… 1分
∵AD⊥DT于D，
∴∠ADT = 90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°． ……………………………… 2分
∴∠DCB = 90°．
∴四边形CDTE是矩形． ……………………… 3分
∴∠CET = 90°, .
∴.
∵，
∴∠ABC = 30°． …………………………………… 4分
∴∠BOT = 60°．
∵OB = OT ,
∴△OBT为等边三角形．
∴∠ABT = 60°． …………………………………… 5分
20．解：过点D作.
∵∠BAC=90°，AD平分∠CAB ,
∴∠1=∠CAB=45°.
∵，
∴DE∥AC，∠2=45° .
∴DE=AE， ． …………………………… 2分
∵,
∴． ………………………………………… 3分
∴ . …………………………………… 4分
∴ . …………………………… 5分
21． （1）证明：连接OE. ………………………………… 1分
∵四边形ABC D是矩形，
∴AD∥BC, ∠C=∠A = 90°．
∴∠3 =∠DBC，∠A BE +∠1 = 90°．
∵OD=OE，∠ABE =∠DBC,
∴∠2=∠3=∠ABE．
∴∠2 +∠1 = 90°．
∴∠BEO=90° ．
∵点E在⊙O上，
∴BE与⊙O相切． ………………………… 2分
（2）解：∵∠ABE =∠DBC，
∴．
∵DC =2 ，∠C = 90°，
∴DB= 6． ………………… 3分
∵∠A = 90°，
∴BE=3AE.
∵AB = CD =2 ，
利用勾股定理，得，.
∴.
连接EF.
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DEF=∠A = 90°．
∴AB∥EF．
∴∽． …………………… 4分
∴ .
∴.
∴.
∴⊙O的半径为. …………………………………5分
22．解： . …………………………………………… 1分
（1）135°，. ……………………………………… 3分
（2）120°，. …………………………………… 5分
五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题8分，第25题各9分，共24分）
23．解：（1）依题意得：,
∵， ………………………………… 1分
∴ . ………………………… 2分
∴PC的长为12m .
（2）以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：
顶点B(9，12), 抛物线经过原点. …………………… 3分
∴设抛物线的解析式为. …4分
∴，求得.
∴. …………… 5分
（3）由（1）知C (12 , 0) , 易求得.
∴ . ……………………………… 6分
当x =12时，. ……………… 7分
∴小明不能一杆把高尔夫球从P点直接打入球洞A .
24．解：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=48 . ………………………………… 1分
又∵，
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=48.
∴BD的长为48cm . ………………………… 2分
（2）如图1，12秒后，点P走过的路程为8×12=96，
∴12秒后点P到达点D（M）.
又∵ 12秒后，点Q走过的路程为10×12=120，
∴12秒后点Q到达AB的中点N. …………… 3分
连结MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形，
∴MN⊥AB于点N.
∴.
∴△AMN是直角三角形. ……………………………4分
（3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3cm.
∴ 点E是BD的中点.
∴ DE = BE = 24. ……………………………5分
当点Q在NB上时（如图1），，
∴.
∵点E是BD的中点，
若EF1⊥DB，则点F1与点A重合，这种情况不成立.
∴EF1⊥AB时，∠EF1B=∠ANM = 90°.
由（1）知∠ABD =∠A = 60°,
∴△EF1B∽△MAN.
∴.
∴.
∴，. ………………………… 6分
如图2，由菱形的轴对称性，当点Q在BC上时，.
∴点Q走过的路程为36cm.
∴. …………… 7分
如图3，当点Q与点C重合时，即点F与点C重合.
由（1）知，△BCD是等边三角形，
∴EF3⊥BD于点E，∠E B F3 =∠A = 60°.
∴△F3EB∽△MNA.
此时，BF3 = 48，
∴点Q走过的路程为72cm.
∴ . …………………………… 8分
综上所述，若△BEF∽△ANM ，则的值为4cm/s或12cm/s或24cm/s.
25．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴ A(-1 , 0 )，B( -7 , 0 ) . ………………………1分
设抛物线解析式为，
∴.
解得，.
∴ 二次函数的解析式为 . ……………2分
（2）作点A关于轴的对称点，可得 （1.0）.
连接C交轴于一点即点M，此时MC + MA的值最小.
由作法可知，MA = M.
∴MC + MA = MC + M=C.
∴当点M在线段C上时，MA + MC取得最小值. ……………3分
∴线段C与轴的交点即为所求点M.
设直线C的解析式为(k≠0)，
∴
∴. ……………4分
∴直线C的解析式为.
∴点M的坐标为( 0，). …………………5分
（3）由（1）可知，C(－4，)，设对称轴交x轴于点D，
∴AD = 3.
∴在Rt△ADC中，.
∴∠CAD = 30o，
∵AC = BC，
∴∠ABC = ∠CAB = 30o.
∴∠ACB = 120°. …………………………………6分
①如果AB = A N1= 6，过N1作E N1⊥x轴于E.
由△ABC∽△BA N1得∠BA N1 = 120o，
则∠EA N1 = 60o .
∴N1E = 3，AE =3.
∵A(-1 , 0 )，
∴OE = 2.
∵点N在x轴下方，
∴点N2(2，). ………………………………………7分
②如果AB = B N2，由对称性可知N2(-10，). ……………………8分
③如果N3A = N3B，那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N.
经检验，点N1 (2，)与N2 (-10，)都在抛物线上 . …………9分
综上所述，存在这样的点N，使△NAB∽△ABC，点N的坐标为(2，)或(-10，).