昌平区2017-2018学年第一学期初三年级期末质量抽测
数 学 试 卷 2018．1
学校： 班级: 姓名:
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．正方体
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．如图，点B是反比例函数（）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为
A．3 B．6 C．-3 D．-6
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =，则∠BOC的大小为
A．40° B．30° C．80° D．100°
5．将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是
A． B．
C． D．
6．如图，将ΔABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是
（第6 题图） （第7 题图）
A．60° B．65° C． 70° D．75°
7．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是
A．25° B．40° C．50° D．65°
8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点．
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度．
C. 小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次．
D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式 ．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（，），
（，），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为
（，），则点A的对应点的坐标为 ． (第10题图)
11．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任
意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则
△PDE的周长为 ．
抛物线经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称
轴为 ． (第11题图)
13．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为 ．
14．如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的E点,那么AE的长度是 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程： ．
(第13题图) (第14题图) (第15题图)
16.阅读以下作图过程：
第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；
第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；
第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.
请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________.
(第16题图)
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．计算：．
18．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
19．如图，在△ABC中， AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cos A=，求BC的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
21．尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
22．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点用高米的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行m到达点处，在处测得塔顶的仰角为．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果精确到m，参考数据：，，）
四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）
23．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图），
你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B点坐标是______，
求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
24．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长.
25．小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m= ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程有 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2 >x1>2时，比较y1和y2的大小关系为：
y1 y2 (填“>”、“<”或“=”) ；
③若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是 .
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3 五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分） 27．已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点. （1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形； （2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE； （3）若AC= ，BF=1，连接CF，则CF的长度为 . 28．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离. 例如：点P（，）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P的最大距离为. （1）①点A（2，）的最大距离为 ； ②若点B（，）的最大距离为，则的值为 ； （2）若点C在直线上，且点C的最大距离为，求点C的坐标； （3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出⊙O的半径r的取值范围. 昌平区2017-2018学年度第一学期初三年级期末质量抽测 数学参考答案及评分标准 2018. 1 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．解： ………………………………………………………… 4分 ． ………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（，）．………………………………… 1分 设二次函数的解析式为：………………2分 把点（0，3）代入得 ∴…………………………………3分 （2）如图所示 ……………………………………………………… 5分 19．解：∵AC=AB，AB=10， ∴AC=10．…………………………………………… 1分 在Rt△ABD中 ∵cos A= = ， ∴AD=8，…………………………………………………………………… 2分 ∴DC=2.…………………………………………………………………………… 3分 ∴.………………………………………………………… 4分 ∴.…………………………………………………… 5分 20．（1）证明：∵ 直径AB⊥弦CD， ∴弧BC=弧BD. …………………… 1分 ∴.…………………… 2分 （2）解：连接OC ∵ 直径AB⊥弦CD，CD=8， ∴CE=ED=4. …………………… 3分 ∵ 直径AB =10， ∴CO =OB=5. 在Rt△COE中 …………………… 4分 ∴.…………………… 5分 21．（1）如图所示…………………… 2分 （2）解： ∵ 直径AC =4， ∴OA =OB=2. ……………………… 3分 ∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形， ∴∠AOB=90°，……………………… 4分 ∴…………………… 5分. 22．解：由题意:AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∵ ∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∴∠AMB=30° ∴∠AMB=∠MAB ∴ AB=MB=40．………………………… 1分 在Rt△ACD中， ∵ ∠MCB=90°，∠MBC =60°， ∴ ∠BMC =30°． ∴ BC ==20．………………………… 2分 ∴………………………………… 3分.， ∴ MC34.6． ……………………………………………… 4分 ∴ MF= MC+CF=36.1.………………………………………………………… 5分 ∴ 塔的高约为36.1米． …………………………………… 5分 23． 解：方案1：（1）点B的坐标为（5,0）…………… 1分 设抛物线的解析式为：…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得： ∴抛物线的解析式为：…………… 3分 （2）由题意：把代入解得：=3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m…………… 6分 方案2：（1）点B的坐标为（10,0）…………… 1分 设抛物线的解析式为：…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为（5,5），代入解析式可得： ∴抛物线的解析式为：…………… 3分 （2）由题意：把代入解得：=3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m…………… 6分 方案3：（1）点B的坐标为（5, ）…………… 1分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,0） 设抛物线的解析式为：…………… 2分 把点B的坐标（5, ），代入解析式可得： ∴抛物线的解析式为：…………… 3分 （2）由题意：把代入解得：=…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m…………… 6分 24．（1）证明：连接， ∵点C为弧BF的中点， ∴弧BC=弧CF． ∴．…………… 1分 ∵， ∴． ∴．……………………2分 ∵AE⊥DE， ∴． ∴． ∴OC⊥DE． ∴DE是⊙O的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tanD==，OC=3， ∴CD=4．…………………………… 4分 ∴OD==5． ∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sinD===， ∴AE=．……………………………6分 25． （1）m=0,…………… 1分 （2）作图,……………2分 （3）图像关于y轴对称, (答案不唯一) ……………3分 （4） （5） 26．解：（1）∵抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)与y轴交于点A， ∴点A的坐标为；…………………… 1分 ∵抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)的对称轴为直线， ∴点B的坐标为．…………………… 2分 （2）∵∠ACB=45°， ∴点C的坐标为，…………………… 3分 把点C代入抛物线y=mx2－2mx－3 得出， ∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3． …………………… 4分 （3） ……………………6分 27．（1）补全图形…………………… 2分 （2）证明： ∵ΔCBE由ΔCAD旋转得到， ∴ΔCBE≌ΔCAD，……………… 3分 ∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，……………4分 ∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E， ∴∠BCE=∠AFE=90°， ∴AF⊥BE．……………………………………5分 （3）………………………………………………7分 28．解：（1）①5……………………… 1分 ②……………………… 3分 （2）∵点C的最大距离为5， ∴当时，，或者当时，. ………………4分 分别把，代入得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴点C（，）或（，）.……………………… 5分 （3）.…………………………………7分