昌平区2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测
数 学 试 卷 2016．1
学校 姓名 考试编号
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．在平面直角坐标系中，将点 A（﹣2，3）向右平移3个单位长度后得到的对应点 A′的坐标是
A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，6） D．（﹣2，1）
2．下面四个几何体中，主视图是圆的是
A B C D
3．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为
A． B． C． D．
4. 已知⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，那么下列结论正确的是
A. OP＞5 B. OP=5 C. 0＜OP＜5 D. 0≤OP＜5
5．如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则的值等于
A． B． C． D．
6．已知是y关于x的二次函数，那么m的值为
A．-2 B. 2 C. D. 0
7．如右图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于
A．120° B． 140° C．150° D． 160°
8．二次函数的最小值为
A. 5 B. 0 C. -3 D. -4
9．如右图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A1B1C．若∠A=40°， ∠B1=110°，则∠BCA1的度数是
10. 如右图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为
A. B. C. D.
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
11．如果，那么锐角的度数为 .
12．如右图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°， 则∠DCE的度数是 .
13．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，
5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为 .
14．如右图，AB是⊙O的直径，弦于点E，,
则阴影部分的面积为 .
15．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2,则AB的长为 cm.
16. 如右图，我们把抛物线y＝－x(x－3)（0≤x≤3）记为C1，
它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，
交x 轴于另一点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴
于另一点A3；……；如此进行下去，直至得C2016．①C1的对
称轴方程是 ；②若点P（6047，m）在抛物线C2016
上， 则m = .
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．计算：．
18．如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， △ABC的顶点均在格点上.
（1）画出将△ABC向右平移2个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
19．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．
20. 如下图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长.
21.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．
（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）：
试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少．
22. 如右图，二次函数的顶点坐标为M(1，-4).
（1）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P（点P与点M不重合），使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
23．如右图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径．
24．某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称.
（1）求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）如果身高为1.5米的小华站在CD之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围.
25．如图，⊙O的半径为20，A是⊙O上一点，以OA为对角线作矩形OBAC，且OC=12. 直线BC与⊙O交于D，E两点，求CE-BD的值.
26. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值．
小娟是这样给小芸讲解的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α， 则sinα= = ．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC=x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α== ．
【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ = ，求sin2β的值.
五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）
27．阅读下列材料：
春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实. 春节回家一般都要给父母、亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多. 这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用，出现了很多的租赁公司.
某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元. 当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.
根据以上材料解答下列问题：
设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益=日租金收入-平均每日各项支出） .
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为 元（用含x的代数式表示）；
（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元?
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利?
28. 已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
（1） 如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是 ；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2） 设∠AOB=α，∠BOC=β.
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.
29. 在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(0，3)，B(1，0)，现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点C.
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且.
①求点C的坐标及该抛物线的表达式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO. 若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D(2，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO. 若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围.
昌平区2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测
数学参考答案及评分标准 2016. 1
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．解：
………………………………………………………… 4分
． ………………………………………………………………… 5分
18．解：（1）如图所示. ………………………………………………………… 4分
（2）∵点C1所经过的路径为一段弧，
∴点C1所经过的路径长为 ………………………………… 5分
19．解：（1）由表得，抛物线过点(0，6),
∴c = 6．…………………………………………………………………………… 1分
∵抛物线过点(-1，4)和(1，6),
∴ …………………………………………………………………… 2分
解得，
∴二次函数的表达式为．…………………………………………………… 3分
∵抛物线过点(0，6)和(1，6),
∴抛物线的对称轴方程为.
∵当时， ,
∴抛物线的顶点坐标为. …………………………………………………………4分
（2）当y＜0时x的取值范围是x＜-2或x＞3. …………………………………………………… 5分
20．解： 过点C作CD⊥AB于点D. …………………………………………………………………1分
在Rt△ADC中，，
∴，………………………2分
. ………………3分
在Rt△CDB中，∠B=45°，
∴∠DCB=∠B=45°.
∴. …………………………………………………………………4分
∴. …………………………………………………… 5分
21．解：（1）画树状图或列表为
∴ P(垃圾投放正确)=. ………………………………………………………………… 4分
(2)∵，
∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为. …………………………… 5分
22．解：（1）∵二次函数的顶点坐标为M(1，-4)，
∴抛物线的表达式为.
令y=0，得.
∴抛物线与轴的交点坐标为A(-1，0)，B(3，0). ………………………………… 2分
（2）∵A(-1,0), B(3,0), M(1，-4),
∴AB=4.
∴. ……………………………………………………………………… 3分
∵AB=4,
∴点P到AB的距离为5时，.
即点P的纵坐标为.
∵点P在二次函数的图象上，且顶点坐标为M(1，-4)，
∴点P的纵坐标为5. …………………………………………………………………… 4分
∴.
∴ x1=-2，x2=4.
∴点P的坐标为(4，5）或（-2，5）. ……………………………………………………… 5分
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
23．（1）证明：连接OA．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°．
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°．……………………1分
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°．
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°．
∴OA⊥PA．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线．………………………………………………………………2分
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，，
∴，CE=3．…………………………………………………3分
∵，
∴．
∴在Rt△ACE中，．………………………………4分
∴AP=AC=5．
∴在Rt△PAO中，．
∴⊙O的半径为． …………………………………………………………… 5分
24．解：（1）如图所示建立平面直角坐标系.
由题意可知：，，顶点.
设抛物线G的表达式为. ……………………………………………… 2分
∵在抛物线G上，
∴，求得.
∴. ……………………………………………………………………… 3分
自变量的取值范围为-4≤x≤4. ……………………………………………………… 4分
（2）. ………………………………………………… 5分
25．解：过点O作于点F.
∴． …………………………………… 1分
在矩形ABOC中，OA=20，
∴，. ……………………… 2分
在Rt△BOC中，OC=20 ，
∴cos∠.
在Rt△OCF中，cos∠，
∴.
∴. ………………………………………………………………………………3分
. …………………………………………………………………4分
∴. ……………………………… 5分
26．解：． ……………………………………………………………………… 1分
sin2α==． ……………………………………………………………… 2分
如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作于点R．
在⊙O中，∠NMQ=90°．
∵ ∠Q=∠P=β，
∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分
在Rt△QMN中，
∵ sinβ =，
∴ 设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=．
∴ MQ=．
∵ ，
∴ ．
∴ MR=． ………………………………………………………………………… 4分
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON =． …………………………… 5分
五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）
27．解：（1）1500-50x（0≤x≤20, x为整数）. …………………………………………………… 1分
（2）∵日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，
∴日租金收入＝x(1500-50x). …………………………………………………………… 2分
又∵日收益＝日租金收入-平均每日各项支出，
∴y＝x(1500-50x)-6250
＝－50x2+1500x-6250＝－50(x－15)2+5000. …………………………………… 3分
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴ 0≤x≤20.
∴当x＝15时,y有最大值5000.
∴当日租出15辆时, 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元. ………………… 4分
（3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即y＝0.
∴－50(x－15) 2 + 5000＝0，解得x1＝25，x2＝5. …………………………………… 5分
∴当5＜x＜25时，y＞0. ……………………………………………………………… 6分
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴当每日租出5＜x≤20（x为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利.…………… 7分
28．解：（1）①90°. …………………………………………………………………………………… 1分
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是.
如图1，连接OD.
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°.
∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB.
∴△OCD是等边三角形.
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°.
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°.
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°.
∴∠DAO=90°.
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴.
∴. ……………………………………………………………… 3分
（2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值.
作图如图2的实线部分. ……………………………………………………… 4分
如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A’O’C，连接OO’.
∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°.
∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC,
∠A’O’C =∠AOC.
∴△OC O’是等边三角形.
∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60°.
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC =∠A’O’C=120°.
∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.
∴四点B，O，O’，A’共线.
∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 时值最小. …………………………………… 6分
②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A’B=. ………………… 7分
29．解：（1）①如图1，过点C作CD⊥x轴于点D.
∴.
∵∠ABC=90º，
∴.
又∵，
∴.
∵AB=BC，
∴△AOB≌△BDC.
∴BD=OA，CD=OB.
∵A(0，3)，B(1，0)，
∴C(4，1). ………………………………1分
∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，且，
∴. ……………………………………………………………………2分
又∵抛物线经过点C(4，1)，
∴.
∴该抛物线的表达式为. ……………………………………………… 3分
② 当点P在第一象限时，过点P作PG⊥x轴于点G,连接OP.
∵∠POB=∠BAO，
∴.
设P(3m，m)，m>0. ……………………………………………………………………… 4分
∵点P在上，
∴.
解得：，(舍去).
∴.…………………………………………………………………………… 5分
当点P在第四象限时，同理可求得. ………………………………… 6分
当点P在第二、三象限时，∠POB为钝角，不符合题意.
综上所述，在抛物线上存在使得∠POB=∠BAO的点P，点P的坐标为或.
（2）的取值范围为或. ………………………………………………… 8分