北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试
九年级数学试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母填在下面的表格中．
1. 下列事件中，必然事件是
A. 把4个球放入3个抽屉中，其中至少有1个抽屉中有2个球
B. 明天是晴天
C. 若将一枚硬币抛掷10次，其中能有5次国徽向上
D. 随意购买一张体育彩票能够中奖
2.下列水平放置的几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率为
A． B． C． D．
4.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，若AB=10，OE=3，则弦CD的长为
A．4 B． C． D．
5.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是
A． B． 课 标第 一 网
C． D．
6. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠C的度数为
A．58° B．42° C．32° D．29°
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是
A． B． C． D．
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=，AD=，
∠A=60°，动点E自A点出发沿折线AD—DC以/s的速度运动，设点E的运动时间为x（s），0 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9. 如图所示，CB∥DE，BD、CE相交于点A，若AE=，则△ABC与△ADE的面积比是 10.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 则此二次函数的对称轴为 . 11. 若圆锥的底面周长为2πcm，将其展开后所得扇形的半径为，则圆锥的侧面积 为 cm2. 12. 如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共13道题，13-21每题5分，22-23每题6分，24题7分，25题8分，共72分） 13．计算. 14.已知二次函数y=x2-6x+5. （1）解析式化为y=a(x-h)2+k的形式； （2）求出该函数图像与x轴、y轴的交点坐标.. 15. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE>CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长. 16. 在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB=4． （1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形△OA’B’； （2）求点A在旋转过程中经过的路径长． 17. 某班新年联欢会设计了即兴表演节目的游戏，在两个不透明的袋子中分别装入一些牌，甲袋内的4张牌分别标记数字1、2、3、4；乙袋内的3张牌分别标记数字2、3、4,这些牌除了标数外其余都相同. 游戏规则是：参加游戏的同学从甲、乙两个袋子里分别随机摸出一张牌，若两张牌上的标数相同，就要给大家即兴表演一个节目．用列表法或树形图法求出联欢会上参加该游戏的某位同学即兴表演节目的概率. 18. 如图，在直角坐标系xoy中，梯形的顶点A、C分别在坐标轴上，且AB∥OC，将梯形沿对折，点恰好落在BC边的点处，已知. 求：（1）∠AOB的度数；（2）点的坐标. 19．已知抛物线与轴有两个不同的交点． （1）若点（1，5）在此抛物线上，求此抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，直接写出当y<0时，x的取值范围； （3）若此抛物线与x轴有两个不同的交点，.求的取值范围. 20. 如图，抛物线经过A（-4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点， 直线 y=mx+n经过A（-4，0）、C（0，3）两点. （1）写出方程的解；. （2）若＞mx+n，写出x的取值范围. 21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF. （1）求证:BF是⊙O的切线; （2）若, DE=9，求BF的长． 如图，矩形ABCD中，AB=，AD=，点P、Q分别从A、B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值. 23．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有的距离(B、F、C在一条直线上)．求教学楼AB的高度. (参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈) 如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上， 且OB=1,OC=3,将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F. （1）若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线的解析式; （2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积; （3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点的坐标. 25.已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点M为⊙O上一点，且在弦BC下方. （1）如图①，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，则AM的长为 ； （2）如图②，若∠ABC=45°，BM=1，CM=3，则AM的长为 ； （3）如图③，若∠ABC=30°，BM=1，CM=3，则AM的长为 ； （4）如图④，若∠ABC=n°，，（其中），求出AM的长(答案用含有a，b及n°的三角函数的代数式表示). 图① 图② 图③ 图④ 北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试 九年级数学试卷答案及评分标准 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9. 10. x=-1 11. 6π 12. 三、解答题（共13道题，13-21每题5分，22-23每题6分，24题7分，25题8分，共72分） 13. 解：= ……………………………….4分 =0 ………………………………. 5分 14.(1)y=(x-3)2-4 ……………………………….2分 (2)与x轴交点(1,0),(5,0) ……………………………….4分 与y轴交点(0,5) ……………………………….5分 15.解：∵四边形ABCD是正方形 ∴CD=AD=BC=AB=9，∠D= ∠C=90° ∴CF=BC-BF=2 ……………………………….1分 在Rt△ADE中，∠DAE+ ∠AED=90° ∵AE⊥EF于E ∴∠AED+ ∠FEC=90° ∴∠DAE=∠FEC ……………………………….2分 ∴△ADE∽△ECF ……………………………….3分 ∴ 设DE=x，则EC=9-x ∴ ……………………………….4分 解得x1=3，x2=6 ∵DE>CE ∴DE=6 …………………….5分 （1）画图正确（如图）； …………………….3分
（2）∵等腰直角△ABO，OB=4， ∴OA= ……………………………….4分 ∴点A的路径长为π．……………………………….5分 17. 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 ……………………………….4分 P（即兴表演节目）= ……………………………….5分 18.解：（1）在Rt△ABO中，tan∠BOA= w W w . ∴∠BOA=30° ……………………………….2分 （2）过点A1作A1D⊥AO，垂足为D ∵将梯形沿对折，点恰好落在BC边的点处 ∴△ABO≌△A1BO ∴∠BOA=∠BOA1 ,AO=A1O= ∴∠DOA1=∠BOA+∠DOA1=60° ∴DO=， ……………………………….3分 A1D= ……………………………….4分 ∴A1（-，） ……………………………….5分 19. （1）∵点（1，5）在此抛物线上 ∴k-1+2k+k-2=5 ……………………………….1分 解得k=2 ∴抛物线解析式为y=x2+4x ……………………………….2分 （2）当x<-4或x>0时，y>0. ……………………………….3分 （3）∵抛物线与轴有两个不同的交点 ∴b2>0 ----------------------------------------------------------4分 k-1≠0 解得k>且k≠1 ……………………………….5分 20. （1）方程的解为x1=-4，x2=1……………………………….3分 （2）-4 21.（1）证：连接OF、OB ∵CE与⊙O相切 ∴∠OEF=90°---------------------------------1分 ∵OB=OE=r BF=EF OF=OF ∴△OBF≌△OEF ∴∠OBF=∠OEF=90° ∴BF是⊙O的切线 ……………………………….2分 法二：连接EB，可证∠OBE+∠EBF=90°，从而可证BF是⊙O的切线. （2）解：连接BE ∵DE是⊙O直径 ∴∠DBE=90° ∴∠EBF+∠FBC=90° ∠BEF+∠C=90° ∵EF=BF ∴∠EBF=∠BEF ∴∠FBC=∠C ∴BF=FC=EF=CE ……………………………….3分 在Rt△DEC中，cosC= 设EC=4x，DC=5x ∵DC2=EC2+DE2 ∴（5x）2=(4x)2+92 解得x=3 ∴EC=12 ∴BF=6 ……………………………….5分 22.（1）解：∵四边形ABCD是矩形 ∴BC=AD=4 根据题意，AP=2x，BQ=x ∴PB=16-2x ……………………………….2分 ∵S△PBQ= ∴y=-x2+8x ……………………………….3分 自变量取值范围：0 （2）当x=4时，y有最大值，最大值为16 ∴△PBQ的面积的最大值为2 ……………………………….6分 23. 解:过点E作EM⊥AB， 垂足为M. ………………………1分 设AB为x. Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x， ∴BC=BF+FC=x+13 ……………………….2分 在Rt△AEM中，∠AEM=22°， AM=AB-BM=AB-CE=x-2，……………………….3分 ∴tan22°= ，……………………….4分 = ，……………………….5分 x=12. 即教学楼的高为. …………………………6分 24. 解：(1)∵OB=1，OC=3 ∴C(0，-3)，B(1，0) ∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE ∴A(-3,0) 所以抛物线过点A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0) ……………………………… 1分 设抛物线的解析式为，可得 解得 ∴过点A,B,C的抛物线的解析式为 ……………………………… 2分 (2) ∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE， △OBC沿y轴翻折得到△COD ∴E（0，-1），D（-1,0） 可求出直线AE的解析式为 |标|第 |一| 网 直线DC的解析式为 ∵点F为AE、DC交点 ∴F（，） ……………… 3分 S四边形ODFE=S△AOE-S△ADF= ………… 4分 （3）连接OM，设M点的坐标为 ∵点M在抛物线上，∴ ∴ = = ……………………………… 6分 因为，所以当时，，△AMA’的面积有最大值 所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值……… 7分 25.（1）4 ……………………………… 1分 （2） ……………………………… 2分 （3） ……………………………… 3分 （4）过点A作AE⊥MC，垂足为E， 过点A作AD⊥BM，垂足为D. ∵AB=AC ∴ ∴∠AMD=∠AMC ∴MA是∠CMD的角平分 4分 ∴AD=AE 又∵AB=AC ∴Rt△ADB≌Rt△AEC 5分 ∴DB=CE 同理可证Rt△ADM≌Rt△AEM 6分 ∴DM=ME== 7分 在Rt△ADM中， ∴ ……………………………… 8分 法二： 延长MB至点E，使BE=CM，连接AE， 过点A作AD⊥EB于点D. 可证△AEB≌△AMC ∴AE=AM,EB=MC ∴EM=BM+MC=a+b ∴DM== ∴ 如有其他正确解法，请参考评分标准给分.