北京市朝阳区2015～2016学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用） 2016.1
（考试时间120分钟 满分120分） 成绩______________
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1.下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
2.下列事件为必然事件的是
A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 篮球运动员投篮，投进篮筐
C. 一个星期有七天 D. 打开电视机，正在播放新闻
3.在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点的对称点的坐标为
A. （3，－1） B. （－3，1） C. （－1，－3） D. （－3，－1）
4.如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC的长度是
A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 6
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是
A. B. C. D.
第4题图 第5题图 第6题图
6.如图，反比例函数的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，则是
A. B. 1 C. 2 D. 4
7.如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于
A. 100° B. 50° C. 40° D. 25°
8.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A’OB’，若∠AOB=15°，则∠AOB’的度数是
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
9.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：
①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤，
使△ADE与△ACB一定相似的有
10.小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O-M-N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的
A. 点Q B. 点P C. 点M D. 点N
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11.在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是 ．
12.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为 ．
13.已知y是x的反比例函数，且在每个象限内，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．
14.如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于 ．
15.如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是 ．
16.如图，已知反比例函数的图象上有一组点B1，B2，…，Bn，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1．“①，②，③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S1=①-②，S2=②-③，…，则S7的值为 ，S1+S2+…+Sn= （用含n的式子表示）．
三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17.计算：．
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．
19.如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：
①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；
②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1∶2，且点A2在第三象限．
（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；
（2）请直接写出点A2的坐标：__________．
20.党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如右图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．
(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ；
(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．
21.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC的面积是△ABC面积的一半，请直接写出点P的坐标．
22.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=______寸，CD=____寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
23. 如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．，）．
24. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E．
（1）求证：DE 是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF 的长度．
25.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A’B’C，旋转角为，且0°<<180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB的中点处，如图②．
（1）求∠A的度数；
（2）当点C到AA’的距离等于AC的一半时，求的度数．
26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是___________；
(2)列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=__________；
(3)请在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
27. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
图①
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
28.如图①，在平面直角坐标系中，直径为的⊙A经过坐标系原点O（0，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，）．
（1）求点B的坐标；
（2）如图②，过点B作⊙A的切线交直线OA于点P，求点P的坐标；
（3）过点P作⊙A的另一条切线PE，请直接写出切点E的坐标．
29.在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．
在平面直角坐标系中，若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系？
同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．
小勇说：我们可以从特殊入手，取进行研究（如图①），此时我发现AD=BC．
小攀说：在图①中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时 ，这一结论仍然成立，即_______的面积=_______的面积，此面积的值为____．
小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是 ．
图① 图②
（1）请完成以上填空；
（2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD=BC；
小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，总是成立的，但我发现当k的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？
（3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
北京市朝阳区2015～2016学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷答案 2016.1
（考试时间120分钟 满分120分） 成绩______________
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 解：2
…………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………5分
18.解：∵，，
∴． …………………………………………………………………………1分
又∵，
∴∽． ……………………………………………………………………………2分
∴． ……………………………………………………………………………………3分
又∵，，，
∴． ………………………………………………………………………………………4分
∴． ………………………………………………………………………………………5分
19.（1）每个三角形2分 …………………………………………………………………………4分
（2）点的坐标为……………………………………………………………………5分
20. 解：（1） ……………………………………………………………………………………2分
（2）
…………………4分
共有12种情况，其中符合题意的有8种，
∴ ………………………………………………………………………………5分
21. 解：（1）将代入中，得．
∴点坐标为． …………………………………………………………………1分
∵点A在反比例函数的图象上，
∴． ………………………………………………………………………2分
∴反比例函数的表达式为． ……………………………………………………3分
（2）或． ……………………………………………………………5分
22.解：（1）1；10 ………………………………………………………………………………2分
（2）连接，
∵，
∴．………………………………………………………3分
设，则，
在Rt中，，
∴．
∴．……………………………………………………4分
解得，
∴⊙的直径为26寸．…………………………………………………………………………5分
23. 解：过作于点，……………………………………………………………1分
∴．由题意可知，，．
∴．
∴．……………………………………………2分
在Rt中，． ………3分
∵，
∴．
∴……………………………………………………………………………………4分
（是否进行分母有理化可能造成差异，27.2～27.4均正确）………………5分
答：河流宽度约为米．
24.（1）证明：连接，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．…………………………………………………………………………1分
∵，
∴．
∴．
∴．
∴于点．
∵点在⊙上，
∴是⊙的切线． ……………………………………………………………………………2分
（2）连接，，
∵为⊙直径，
∴．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，． ………………………………………………………3分
∵，
∴．………………………………………………………………………………4分
∴． …………………………………………………………………………5分
（说明：其它方法请相应对照给分）
25.解：（1）将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，
∴ ． ……………………………………………………………………………………1分
∵点可以恰好落在的中点处，
∴点是的中点．
∵，
∴．……………………………………………………………………………2分
∴．
即是等边三角形．
∴．
∵，
∴． ……………………………………………………………………………………3分
（2）如图，过点作于点，
点到的距离等于的一半，即．
在Rt中，，，
∴．…………………………………………4分
∵，
∴．
∴，即． ………………………5分
26. （1） ……………………………………………………………………………………1分
（2）…………………………………………………………………………………………2分
（3）如图所示：
………………………………………3分
（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．………………………………………………………………………………………………5分
27（1）如图所示：
……………………2分
（2）锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可． ………………………………………………………4分
（说明：写出三角形的最小覆盖圆是其外接圆，或是以其最长边为直径的圆，各给1分）
（3）结论：的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置． …………………………… 5分
研究思路：
a．手机信号基站应建在四边形的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；
b．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究； …………………………………………………………………………………6分
c．若沿分割，因为，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；
d．若沿分割，因为，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为，所以的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖，因此的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置． ……7分
（说明：1.学生的答案只要涉及到将四边形问题转化为三角形问题，可以给第6分；
2.若学生答案含有以下情况之一，并借此分析沿分割和沿分割的差异性，均可以给第7分：
①比较四边形对角和的数量关系；
②同弧所对的圆周角的度数关系；
③画出四个三角形的最小覆盖圆，通过观察或测量，比较大小后发现的外接圆的圆心为手机信号站所在位置．
3.重在判断学生思维的方向，不过多的要求语言的规范和思维的严谨．）
28.解：（1）如图①，连接．
∵，
∴是⊙的直径． ……………………………1分
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．………………………………………2分
（2）如图②，过点作轴于点．
∵为⊙的切线，
∴．
在Rt中，，，
∴．
∴．…………………………………3分
∴．
∴．
∴． ………………………………………………………………………4分
在Rt中，，，，
∴，．
∵，
∴．
∴．…………………………………………………………………………5分
（3）． ……………………………………………………………………7分
29. （1）四边形，四边形，……………………………………………………1分
（说明：其它答案，如三角形也可以）
6………………………………………………2分
……………………………………………3分
（2）成立，证明如下：
如图①，连接，，，
∵点，是反比例图象上的点，
∴．
∴．
∴．
∴点，到的距离相等．
∴∥． ……………………………………………………………………………………4分
∴四边形和四边形都是平行四边形．
∴，． ……………………………………………………………………5分
即．
（3）画出图形，得到， ……………………………………………………………………6分
∵点，是反比例图象上的点，
∴．
∴．
∴．
∴点，到的距离相等．
∴∥． ………………………………………7分
∴四边形和四边形都是平行四边形．
∴，．
即．…………………………………………8分