河南省郑州市第九中学2009九年级上学期联考数学试卷
考生注意：本卷共八大题，计 23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1、一元二次方程–5x+3x2 =12 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 【 】
A 、－5，3，12 B、 3，－5，、3，－5，－12 D、－3，5，－12
2、使有意义的x的取值范围是【 】
A、x ≥3且x≠－1 B、x ≤3且x≠－、 x ≤3 D、x ＜3
3、在一次游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样。小芳看了后，很快知道哪一张扑克牌没有旋转【 】
A、黑桃Q B、梅花、梅花6 D、方块9
4、下列事件中,不是随机事件的是【 】
A、篮球队员在罚球线上投蓝一次,未投中
B、经过城市某一个有交通信号灯的路口,遇到红灯
C、小伟掷六次骰子,每次向上的一面都是6点
D、度量三角形的内角和,结果是360°
5、⊙O1和⊙O2的圆心距为7，有4个完全一样的小圆球，分别标有数字2、3、4、5，从4个球中任意取2个球（无放回），以球上的数字作为两圆的半径，则两圆相切的概率为【 】
A 、 B、 C、 D、
6、在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有4个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是【 】
A、16 B、C、4 D、3
7、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为【 】厘米．
A、 B、 C、 D、
8、如图，量角器外缘上有A、B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为【 】
A 、 25° B、15° C、 30° D、50°
9、工人师傅设计了一个如图所示的工件槽, 工件槽的两个底角均为90°,尺寸如图(单位cm)将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有如图所示的A,B,E三个接触点,则该球半径的大小是【 】
A、 B、 C、 D、
10、如图，四条直线围成正方形。现掷一个均匀且各面上标有1、2、3、4、5、6的立方体，每个面朝上的机会是均等的。连掷两次，以面朝上的数为点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点落在正方形面上（含边界）的概率是 【 】
A、 B、 C、 D、
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
11、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 。
12、计算：=
13、如图：半径为2的⊙P的圆心P在直线y = 2x－1上运动，当⊙P与y轴相切时圆心P的坐标为
14、如左图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝1，OC＝3，将扇形OAB绕O点旋转，得到右图，分别连结AC、BD，则右图中阴影部分的面积为__________。
三．（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15、计算：
16、阅读下面的解题过程：解方程：（4x-1）2-10(4x-1)+24=0
解：把4x-1视为一个整体，设 4x-1=y
则原方程可化为：y2-10y+24=0
解之得：y1=6,y2=4
∴4x-1=6 或4x-1=4
∴x1=,x2=
这种解方程的方法叫换元法。
请仿照上例，用换元法解方程：(x-2)2-3(x-2)-10=0
四、（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17、如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题：
（1）求线段AB的长及⊙C的半径；（4分）
（2）求B点坐标及圆心C的坐标；（4分）
18、如图，C是射线 OE上的一动点，AB是过点 C的弦，直线DA与OE的交点为D，现有三个论断： ①DA是⊙O的切线；②DA ＝DC；③ OD⊥OB．
请你以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，用序号写出一个真命题,用“○○
○”表示。并给出证明；
我的命题是： 。
证明：
五、（本题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19、在元旦游园会上，小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏。游戏规则是：从两个图形靶中任选一个进行投掷飞镖，命中阴影部分就可以得到奖品（图形靶一是正方形ABCD，图形靶二是菱形ABCD，所有的圆都是半径为1的等圆，相邻的圆都相切）。小张选择了图靶一和小李选择了图靶二，通过计算回答：谁更有可能获得奖品？
20、如图是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作：
⑴ 请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(－2，4)，B点坐标为(－４，2)；
⑵ 在第二象限内的格点上画一点C, 使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C点坐标是 ， △ABC的周长是 (结果保留根号)；
⑶ 画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C,；
（4）连结AB′和A′B,四边形ABA′B′是一种特殊四边形,直接写出这种特殊四边形的名称： 。
六、（本题满分 12 分）
21、已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）发现与证明：
发现：①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是： ．
②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是： ．
证明：请你选择上述两个发现中的任意一个加以证明，选择①、②证明的满分分别为4分和6分．（注意：证明前要注明选择了哪一个发现）
（2）引申与运用：
引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），△ABE与△ADG的面积关系是： ．
运用：已知△ABC，AB＝，BC＝，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是 cm2．
证明：我选择 进行证明．
七、（本题满分 12 分）
22、有一种转盘游戏,如下图，两个转盘一个被平均3等分, 分别标有1、2、3这3个数字；另一个被平均4等分，分别标有1、2、3、4这4个数字，转盘上有指针，同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字。游戏规则如下：两个人参加游戏，一人转动转盘，另一人猜数。若猜出的数字与转出的两个数字之和所表示的特征相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜，方法从下面三种方案中选一种：
(A)猜“是奇数”或“是偶数”；
(B)猜“是3的整数倍”或“不是3的整数倍”
(C)猜“是大于3的数”或“不是大于3的数”
阅读后请回答问题：
(1)如果你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数的方案，并且怎样猜?为什么?（用树状图或列表法解答）（6分）
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选择哪种猜数的方案?为什么?（3分）
(3)请你再设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．（3分）
八、（本题满分 14 分）
23、为了探究夹角为60°的V形架中放置正多边形钢板的稳定性问题（正多边形的重心就是它的中心，重心越低越稳定），请按以下放置的方式进行计算和猜想：
（1）将一个边长为 的正三角形钢板（用△ABC表示）按图23-1，图23-2，图23-3，的三种方式进行放置。已知在图23-3中，重心距地面的距离为，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？（6分）
（2）若将（l）中的正三角形钢板换成边长为 的正方形钢板（如图23-4，图23-5，图23-6）。已知在图23-6中，重心距地面的距离约为，请通过计算或证明说明，三种放法中，哪一种放法最稳定？（可能用到的数据：≈1.4；≈1.7；≈2.4）（6分）
（3）通过上述计算，若将一个边长为 的正六边形钢板放置于架中（如图23-7，图23-8，图23-9），你认为 的重心最低（只须填图形的编号，不必计算）。（2分）
九年级联考数学答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
三、15、解：原式=3+2-+-=5+
16、解：把x-2视为一个整体，设 x-2=y
则原方程可化为：y2-3y-10=0 解之得：y1=5,y2=-2 ……4分
∴x-2=5 或x-2=-2 ∴x1=7,x2=0 ……8分
四、17、解：连接AB
（1）∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°∴∠OAB=60°
∵∠AOB是直角∴AB是⊙C的直径，∠OBA=30°
∴AB=2OA=4 ∴⊙C的半径r=2 ……4分
（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+ OA2= AB2
∴OB= ∴B的坐标为：（，0） ……6分
过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F
由垂径定理得： OE=AE=1，OF=BF=
∴CE=，CF=1 ∴C的坐标为：（，1） ……8分
18、我的命题是： ①② ③ ……2分
证明：连接OB
∵DA是⊙O的切线 ∴OA⊥DA∴∠BAD +∠OAB =90°
∵DA ＝DC，OA=OB ∴∠BAD=∠ACD，∠OAB=∠OBA ……4分
∵∠ACD=∠OCB ∴∠BAD=∠OCB ……6分
∴∠OCB+∠OBA= ∠BAD +∠OAB =90° ∴ OD⊥OB ……8分
如学生选择其他命题，可参考给分。
五、19、图靶一：S正方形=4，S阴=4－，∴P（小张获得奖品）==1－…4分
图靶二：S菱形=，S阴=－，∴P（小李获得奖品）==1－8分
∵4＞ ∴1－＞1－
即：P（小张获得奖品）＞P（小李获得奖品）
所以：小张更有可能获得奖品 ……10分
20、（1）（本小题2分）如图；
（2）（本小题3分）C点坐标是（－1，1）， △ABC的周长是
（3）如图（本小题3分）；（4）平行四边形（本小题2分）
21、（1）发现：①当E点旋转到DA的延长线上时△ABE与△ADG的面积关系是： 相等．（本小题1分）
②当E点旋转到CB的延长线上时△ABE与△ADG的面积关系是：相等（本小题1分）
证明：我选择 ② 进行证明
过B点作BM⊥AE于M，过D点作DN⊥GA交GA的延长线于N
∴∠AMB=∠AND=90°
∵∠BAN+∠DAN=∠MAB+∠BAN=90°∴∠MAB=∠DAN
又∵AB=AD ∴△AMB≌△AND ∴BM=DN
∵S△ABE=×AE×BM，S△ADG=×AG×DN ∴S△ABE= S△ADG
（证明过程共6分，如选择①证明，给4分）
（2）引申与运用：
引申：△ABE与△ADG的面积关系是： 相等．（本小题2分）
运用：则图中阴影部分的面积和的最大值是 2．（本小题2分）
七、22、（1）（6分）（数状图或列表略）
方案A： P（和为奇数）==；P（和为偶数）==
方案B： P（和是3的整数倍）==；P（和不是3的整数倍）==
方案C： P（和是大于3的数）==；P（和不是大于 3的数）==
所以，我选择方案C，并且猜“和是大于3的数”，此时获胜的概率为，最大。
（2）（3分）为了保证游戏的公平性，应该选择方案A，此时双方获胜的机会一样。
（3）（3分）答案不唯一。例如：猜“是大于4的数”或“不是大于 4的数”等。
八、23、（1）图23-1中重心距地面的距离为cm，图23-2中重心距地面的距离为，
所以图23-3的方式最稳定。
（2）图23-4中重心距地面的距离为≈，图23-5中重心距地面的距离为≈，所以图23-6的方式最稳定。
（3）图23-9的方式最稳定。