初三第一学期期末学业水平调研
数学
2019．01
学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为
A． B．
C． D．
3．方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
4．如图，一块含30°角的直角三角板绕点顺时针旋转到△，当，，在一条直线上时，三角板的旋转角度为
A．150° B．120°
C．60° D．30°
5．如图，在平面直角坐标系中，B是反比例函数的图象上的一点，则矩形OABC的面积为
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，
若，则△和△的面积之比等于
A．B．C．D．
7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘54cm，且与闸机侧立面夹角30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
图1 图2
A．cm B．cm
C．64cm D． 54cm
8．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是
A． B.
C． D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．方程的根为．
10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．
11．已知抛物线的对称轴是，若该抛物线与轴交于，两点，则的值为．
12．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象有两个交点，则的取值范围是．
13．如图，在平面直角坐标系中，有两点，，以原点为位似中心，把△缩小得到△.若的坐
标为，则点的坐标为．
14．已知，是反比例函数图象上两个点的坐标，且，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，判断在四点中，满足到点和点的距离都小于2的点是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，⊙的半径为1，直线切⊙于点，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）
17．计算：．
18．如图，与交于点，，，，，求的长．
19．已知是关于的一元二次方程的一个根，若，求的值．
20．近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：
（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；
A． B．
C． D．
（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米．
21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，
作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．
22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离的长．
参考数据：°，°，°，
°，°，°．
23．在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的一个交点是．
（1）求的值；
（2）设点是双曲线上不同于的一点，直线与轴交于点．
①若，求的值；
②若，结合图象，直接写出的值．
24．如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点顺时针旋转，交⊙O于点D，连接BD．若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间距离为cm，两点间的距离为cm．
小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：
（2）在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为cm．
25．如图，AB是⊙O的弦，半径，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE 与AB交于点F．
（1）求证：PC=PF；
（2）连接OB，BC，若，，，求FB的长.
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：，．
（1）当时，
①求抛物线G与轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段只有一个交点，求的取值范围；
（2）若存在实数，使得抛物线G与线段有两个交点，结合图象，直接写出的取值范围．
27．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）如图1，
①求证：点在以点为圆心，为半径的圆上.
②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为___________.
（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出的值．
图1 图2 图3
28．在平面直角坐标系中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形，则称正方形为点，的逆序正方形．例如，当，时，点，的逆序正方形如图1所示．
图1 图2
（1）图1中点的坐标为；
（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为；
（3）已知正方形ABCD为点，的逆序正方形.
①判断：结论“点落在轴上，则点落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；
②⊙的圆心为，半径为1.若，，且点恰好落在⊙上，直接写出的取值范围.
备用图
初三第一学期期末学业水平调研
数学试卷答案及评分参考
2019．01
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第8题：二次函数a的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a︳越大，开口越小，显然a1 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．， 10． 11． 2 12． 13． 14．答案不唯一，如： 15． 16． 第16题：OQ2=OP2-1,OP最小时，OQ最小，OPmin=2，∴OQmin= 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分） 解：原式= ………………………………………………………………3分 =．…………………………………………………………………………5分 18．（本小题满分5分） 证明：∵，， ∴． …………………………………………………………3分 ∴． ∵， ∴．……………………………………………………………………… 5分 19．（本小题满分5分） 解：依题意，得．…………………………………………………… 3分 ∴． ∵， ∴．∴．……………………………………… 5分 20．（本小题满分5分） 解：（1）B．……………………………………………………………………………… 3分 （2）．………………………………………………………………………… 5分 21．（本小题满分5分） （1）补全的图形如图所示： ………………………………………3分 （2）直径所对的圆周角是直角；……………………………………………………… 4分 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………… 5分 22．（本小题满分5分） 解：在中， ∵， ∴．…………………………………………………………2分 在中， ∵， ∴．……………………………………………………….. 4分 ∴． ∵，°，°， ∴．………………………………………………………………………5分 答：此时观光船到大桥段的距离的长为千米． 23．（本小题满分6分） 解：（1）∵直线经过点， ∴．……………………………………………………………………… 1分 ∴ 又∵双曲线经过点， ∴．……………………………………………………………………… 2分 （2）①当时，点的坐标为． ∴直线的解析式为．………………..………………………. 3分 ∵直线与轴交于点， ∴．……………………………………………………...4分 ②或．………………………………………………………………… 6分 24．（本小题满分6分） 解：本题答案不唯一，如： （1） …………………………………………………………………………………………… 1分 （2） …………………………………………………………………………………………… 4分 （3）或．……………………………………………………………... 6分 说明：允许（1）的数值误差范围；（3）的数值误差范围 25．（本小题满分6分） （1）证明：如图，连接． ∵， ∴°． ∵与⊙相切于点， ∴°．……………… 1分 ∴°． ∵， ∴．………………………………………………………… 2分 ∴． 又∵， ∴． ∴．……………………………………………………………… 3分 （2）方法一： 解：如图，过点作于点． ∵，， ∴． ∵， ∴°． ∴°． 在中，， 可得°，°．…………...… 4分 在中，， 可得．…………………………………………………….. 5分 ∴． ∴． ∴． ∴．…………………………………………6分 方法二： 解：如图，过点作于点． ∵，， ∴°． ∵， ∴°． 在中，， 可得°．……………………………………………… 4分 ∴． ∵，， ∴． 在中，，． ∴，．…………………………………………………… 5分 ∴． 在中，，． 设，则，． ∵， ∴． ∵，， ∴∽ ∴． ∴． ∴．…………………………………………………… 6分 方法三： 解：如图，过点作于点，连接． ∵，， ∴． ∴°．…………………………… 4分 在中，， 设，则，． 在中，°，， ∴，． ∴．………………………………………………… 5分 ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴，，． ∵， ∴． ∴．…………………………………………………… 6分 方法四：解：如图，延长CO交AP于点M． ∵，， ∴． 在中，，， 可得．…………………………4分 ∵，， ∴． 在中，， 可得，． ………………………………………..5分 ∴． 在中，， 可得，． ∴，． ∴．…………………………………………………… 6分 26．（本小题满分6分） 解：（1）①当时，．…………………… 1分 当时，， 解得，． ∴抛物线与轴的交点坐标为，． …………………………………………………………………2分 ②当时，抛物线与线段有一个交点． 当时，抛物线与线段有两个交点． 结合图象可得．……………………… 4分 （2）或．……………………………………………………………… 6分 （2）解析： y=4x2-8ax+4a2-4，y=2(x-a)2-4, ∴顶点(a,-4)，x1=a+1，x2=a-1 若抛物线与x轴交于E、F两点，则EF= ∣x1- x2∣=2 AN=∣xA- xN∣=∣n+1∣ AN≥EF时，线段AN与抛物线G有两个交点，即n≤-3或 n≥1。 27．（本小题满分7分） （1）①证明：连接，如图1． ∵点与点关于直线对称， ∴． ……………………… 1分 ∵， ∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上．………………… 2分 ②． ……………………………………………………………………………3分 （2）证法一： 证明：连接，如图2． ∵°， ∴°． ∵， ∴°°． ∵点与点关于直线对称， ∴． ∴是等边三角形． …………………………………………………………………………………………… 4分 ∴，°． ∵，°， ∴是等边三角形． ∴，°． ∵，， ∴． ∴． ∴．……………………………………………………………… 5分 证法二： 证明：连接，如图2． ∵点与点关于直线对称， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴°． ∴． ∵°， ∴是等边三角形． ∴． ∴≌………………………………………………………4分 ∴．……………………………………………………………… 6分 （3）．………………………………………………………………………………… 7分 （3）解析： 方法一：O是AC中点，BO+OF≥BF,设BC=4，BO=√10,OF=√2，即BFmax=√10+√2， 此时tan∠FBC=1/3。 方法二：以AC为直径作圆O，∠AFC=90o, ∴F必在⊙O上，又，圆外一点到圆上最长距 离经过圆心，∴B、O、F三点共线时BF最长。计算如上。 28．（本小题满分7分） 解：（1）图1中点的坐标为．…………………………………………… 1分 （2）改变图1中的点的位置，其余条件不变，则点的纵坐标不变， 它的值为3．………………………………………………………………3分 （3）①判断：结论“点落在轴上，则点落在第一象限内．”错误． 反例如图所示： …………………………………………………………………………………………… 5分 ．…………………………………………………………… 7 方法一： 可证:C点坐标（b+a,b）A、B、C三点共圆，圆心为AC中点Q点，若C点落在⊙T上，又b>0,则⊙T所在极限位置为⊙T1与⊙T2(⊙T2与直线相切）所在位置。 T1（3，0） a=4时，C(4+b,b)， △ABB1≌△B1HC1 C1H=B1B=b CH=BH-BC=b ∴C1H= CH 设C点所在直线y=mx+n ∴m=1 过点C(4+b,b) ∴y=x-4 ⊙T2与直线相切 ∴CT2=√2 ∴T2（4+√2，0） ∵b>0 ∴ 方法二： 方法三： 方法四：