2015-2016学年海淀区九年级第一学期期末练习
数 学 试 卷
（分数：120分 时间：120分钟） 2016.1
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.
1．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是
A． B． C． D．
2．如图，△ABC内接于⊙O，若，则∠ACB的度数是
A．40° B．50° C．60° D．80°
3．抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
4. 若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab-4的值为
A． B． C． D．1
5．如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，
则△BEF与△DCF的面积比为
A． B． C． D．
6．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为
A． B．
C． D．
7．已知点（）、（）、（）在双曲线上，当时，、、
的大小关系是
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点.若BC=8，，
则AB的长为
A． B． C． D．12
9．在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）.若
△AOB的面积为6，则点A的坐标为
A．（，） B．（4，）
C．（，3）或（2，） D．（，2）或（3，）
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、
B两点.若AB=3，则点M到直线l的距离为
A． B． C． D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式 ．
12．已知关于x 的方程 有两个不相等的实数根，则m
的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△顶点的横、 纵坐标都是整数．若△ABC与△是位似图形，则位似中心的坐标是 .
14．正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若
点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是___________．
15．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有
个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，
谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为 ．
16．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上.
（1）如图，若，则的值为 ；
（2）将△绕点D旋转得到△，连接、.
若，则的值为 .
三、解答题（本题共72分,第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）
17．计算：．
18．解方程：.
19．如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
求证：△ABC∽△DAE．
20．已知是方程的一个根，求代数式的值．
21．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，求点B的坐标．
22．如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成.设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米.
（1）y与x之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）求矩形ABCD的最大面积．
23．如图，在△ABC中，∠ACB=，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．
（1）求的值；
（2）当时，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线
交于点A（3，1）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）直线与x轴交于点B，点P是双曲线 上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线于点D．若DC=2OB，直接写出点的坐标为 ．
25．如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在、两点测得塔顶的仰角 为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：取0.8，取0.6，取1.2）
26．如图，△内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．
（1）求证：；
（2）若⊙O 的直径为5，，，求的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，定义直线与双曲线的交点（m、n为
正整数）为 “双曲格点”，双曲线在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行
于轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”.
（1）①“双曲格点”的坐标为 ；
②若线段的长为1个单位长度，则n= ；
（2）图中的曲线是双曲线的一条“派生曲线”，且经过点，则的解析式为
y= ；
（3）画出双曲线的“派生曲线”g（g与双曲线不重合），使其经过“双曲格
点”、、.
28．（1）如图1，△ABC中，，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=2，
BC=1，则△BCD的周长为 ；
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长
等于AD的长.
①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在图3中补全图形，求的度数；
③若，则的值为 .
29．在平面直角坐标系中，定义直线为抛物线的特征直线，
C 为其特征点．设抛物线与其特征直线交于A、B两点（点A在点B
的左侧）．
（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为 ；
（2）若抛物线如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；
（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐
标为（1,0），DE∥CF.
①若特征点C为直线上一点，求点D及点C的坐标；
②若，则b的取值范围是 .
海淀区九年级第一学期期末数学练习
答案及评分标准
2016.1
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三、解答题（本题共72分,第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）
17．（本小题满分5分）
解：原式 ……………………………3分
……………………………4分
．……………………………5分
18．（本小题满分5分）
解法一：.
. ……………………………2分
. ……………………………3分
.
.
∴，. ……………………………5分
解法二：.
==. …………………………2分
∴
……………………………3分
.
∴，. ………………………………5分
19．（本小题满分5分）
证明：∵DE//AB，
∴∠CAB =∠EDA． ………………………………3分
∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE． ………………………………5分
20．（本小题满分5分）
解：∵是方程的一个根，
∴． ………………………………1分
∴．
∴ ………………………………3分
． ………………………………5分
21．（本小题满分5分）
解：∵二次函数的图象与x轴交于点A ，
∴． ………………………………1分
∴． ………………………………2分
∴二次函数解析式为． ………………………………3分
即 ．
∴二次函数与x轴的交点B的坐标为． ……5分
22．（本小题满分5分）
解：（1）； ………………………………2分
（2）∵，
∴． ………………………………4分
∵，
∴当时，的最大值为64．
答：矩形ABCD的最大面积为64平方米． ………………………………5分
23．（本小题满分5分）
解：解法一：如图，（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°．
∴∠A+∠ADE=90°．
∵∠ACB=，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠ADE=∠B． ………………………………1分
在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，
∴AB=13．
∴．
∴． ………………………………2分
（2）由（1）得，
设为，则．………………………………3分
∵ ，
∴ . .………………………………4分
解得.
∴ . …………………………5分
解法二：(1) ∵，
∴.
∵，
∴△∽△.
∴. ………………………… 1分
在Rt△中，∵，
∴
∴
∴ …………………………2分
(2) 由(1)可知 △∽△．
∴ ………………………………3分
设，则．
∴． .………………………………4分
解得．
∴．…………………………5分
24．（本小题满分5分）
解：（1） ∵直线过点A（3，1），
∴．
∴．
∴直线的解析式为． ………………………………2分
∵双曲线过点A（3，1），
∴．
∴双曲线的解析式为． ………………………………3分
（2）或． ………………………………5分
25．（本小题满分5分）
解：如图，依题意，可得
，，．
在Rt△中，∵=50，,
∴．
在Rt△中，∵=45，
∴． ………………………2分
∵,
∴.
∴. ……………………4分
∴.
答：塔的高度为米. ………………………………5分
26．（本小题满分5分）
解：如图，（1）连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC．
∴∠A=∠M，∠MCB=90°．
∴∠M+∠MBC=90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠CBE+∠MBC=90°．
∴．
∴． ………………………………2分
(2) 过点作于点.
∴ .
由(1)得，.
∴.
在Rt△中,
∵，
∴. ………………………………3分
在Rt△中，
∵，
∴. .………………………………4分
∵，
∴.
在Rt△中，
∵，
∴. …………………………5分
27．（本小题满分6分）
解：（1）①（2，）； ………………………………1分
②7； ………………………………2分
（2）； ………………………………4分
（3）如图. ………………………………6分
28． （本小题满分8分）
解：（1）； ………………………………1分
（2）①如图，△即为所求； ………………………………3分
②在AD上截取AH，使得AH=DE，连接OA、OD、OH.
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴，，.
∴△≌△. ………………………………4分
∴，.
∴.
∵△的周长等于的长，
∴. ………………………………5分
∴△≌△.
∴. ………………………………6分
③. ………………………………8分
29．（本小题满分8分）
解：（1）（3，0）； ……………………1分
（2）点、点的位置如图所示；…………………………3分
（3）①如图，∵特征点C为直线上一点，
∴.
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴对称轴.
∴点D的坐标为. ……………………………4分
∵点F的坐标为（1,0），
∴.
∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，
∴点E的坐标为.
∵点C的坐标为，
∴CE∥DF.
∵DE∥CF，
∴四边形DECF为平行四边形.
∴.………………………………5分
∴.
∴特征点C的坐标为. ………………………………6分
②或. ………………………………8分