立体图形与平面图形
一、立体图形
1. 柱体
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.
圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.
2. 锥体
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.
圆锥：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
3. 球体
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面所围成的几何体叫球体.
4. 多面体
围成棱柱和棱锥的面是平的面，像这样的立体图形叫多面体.
棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.棱锥也有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.
二. 画立体图形
1. 三视图法
从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图，这样就把一个物体转化为平面的图形.
从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面看到的图形称为侧视图，按观察方向不同，有左视图，右视图.
注:⑴正视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”；
⑵ 正视图与侧视图的高度相等，且相互平齐，即“高平齐”；
⑶ 俯视图与侧视图的宽度相等，即“宽相等”.
2. 欧拉公式
多面体具有的顶点数，棱数和面数满足欧拉公式：
顶点数＋面数－棱数＝2
三、柱体、锥体的展开
四、常见几何体的主视图
【典型例题】
例1. 下列说法是否正确？正确的打“√”，不正确的打“×”，并简要说明理由.
（1）柱体的上、下两个面一样大
（2）圆柱和圆锥的底面都是圆，圆柱的侧面是长方形，圆锥的侧面是三角形
（3）棱柱的底面是四边形，侧面可能是三角形
（4）棱锥的侧面都是三角形
（5）球体、圆柱、圆锥都不是多面体.
分析：要对以上各种说法作出正确的判断，应从熟悉柱体、锥体、球体这些立体图形入手，把握它们各自的特征，弄清它们之间的区别.
解：（1）√.柱体包括圆柱和棱柱.圆柱的两个底面都是大小一样的圆，棱柱两个底面都是一样大的三角形或多边形.
（2）×.圆柱和圆锥的侧面都是弯曲的面.而长方形、三角形都是平的面，两者显然有区别.
（3）×.棱柱的底面除了四边形以外，还可以是三角形等其它图形，棱柱的侧面都是四边形.
（4）√.棱锥的所有棱都交于一点，侧面都是三角形.
（5）√.多面体都是由平的面围成的立体图形，而球体、圆柱、圆锥并不都是由平面围成的.
说明：留心生活中的物体，并能从中抽象出立体图形，除了注意不同类立体图形的区别，更应注意同类立体图形的细微差别.
例2. 能否组成一个22条棱，10个面，15个顶点的棱柱或棱锥？为什么？
分析：本题很难利用图形作出判断、考虑到棱柱或棱锥都是多面体，多面体都应满足“欧拉公式”.
解：根据欧拉公式，顶点数＋面数－棱数＝2
当顶点数为15，面数为10时，棱数应为：
因此，不能组成一个棱数为22，面数为10，顶点数为15的棱柱或棱锥.
说明：欧拉公式体现了多面体中顶点数、面数与棱数之间的关系，已知其中的两个数就可以求出第三个数.另外，还可以用它来判断具有某些条件的多面体是否存在.
例3. 填空
正方体是由_________个顶点，_________条棱，_________个面组成的，它还具有以下特点（写出三个）___________________________.
解：正方体是由8个顶点，12条棱，6个面组成的，它还具有以下特点：所有的棱都相等，所有的面都是正方形，它是一个多面体.（或柱体、四棱柱等）
例4. 用火柴摆出正方形，用多少根火柴才能摆出6个正方形？尽可能多地设想各种方案.并画出你的图形.（要求摆出的6个正方体的边长限于一根火柴的长）
解：第一种方法：摆平面图形
需要用17根火柴.
第二种方法：摆三棱柱
需要用15根火柴.
第三种方法：摆正方体
需要用12根火柴.
例5.如图，下面是一个物体的三视图，试描述该物体的形状.
分析：由物体的三视图想象物体的形状，要几个视图联系起来看.从正视图中可看出它是由两个部分叠加或是左边挖掉了一个形体，再对照俯视图，左视图便可知道右边上面加了半个圆柱体，圆柱下面是一个长方体，并且圆柱体的左面与长方体左面平齐，柱体的底面直径与长方体的宽一样.
解：该物体的形状如图所示：
说明：由视图想象物体的形状一般按以下步骤进行：
（1）分线框，把几个视图联系起来看，把物体大致分成几部分；（2）识形体，定位置，根据每一部分的视图想象出它的形体，并确定它们的相互位置；（3）综合起来想整体，确定各个部分的形体及相互位置后，整个物体的形状也就清楚了.
例6. 如图所示是一个几何体的两个视图，求该几何体的体积（取3.14，长度单位cm）
正视图 俯视图
分析：从所给两个视图可以确定，设几何体是由两部分组成的，下面是一个长方体，它的长、宽、高分别是、、.上面是一个圆柱体，底面圆的直径是，长为，所以该几何体的体积是这两部分体积之和.
解：长方体体积为：30×25×40=3
圆柱体体积为：3.14×102×32=3 30000+10048=3
答：几何体体积为.
例7. 如图所示的立方体，将其展开得到的图形是（ ）
（例8图）