章丘市第二实验中学2014—2015学年度第一学期期中考试
九年级数学试题
（时间：120分钟，120分）
一、单项选择题:(每小题3分,共45分)
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是
A． B．
C． D．
2、抛物线的顶点坐标是（ ）
A、(-1,1) B、(1,-1) C、(-1,-1) D、(1,1)
3、若，则下列等式中不正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
4、如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
5、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
6、如图，空心圆柱的左视图是（ ）
7、抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标（ ）
（A）（0，8） （B）（0，-8） （C）（0，6） （D）（-2，0）（-4，0）
8、双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A．1 B．．3 D．4
△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，
则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等边三角形
10、 函数y=-x2-4x+3图象顶点坐标是（ ）
A.（2，-7） B.（2，7） C.（-2，-7） D.（-2，7）
11.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．3
12、如图，在△ABC中，EF∥BC，，，则【 】
A．9 B．10 C．12 D．13
第12题图
13、若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤l
14、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为( )
（A）78° （B）75° （C）60° （D）45°
15、如图，一次函数与反比例函数的图象交点A（m，4）和B（-8，-2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
二、填空题:(每小题3分,共18分)
16．为了估计池塘里有多少条鱼,从池塘里捕捉了100条鱼,做上标记, 然后放回池塘里,经过一段时间后,等有标记的鱼完全混合于池塘中鱼群后, 再捕第二次样本鱼200条,发现其中有标志的鱼25条,你估计一下,该池塘里现在有鱼__ __条.
17、我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和是 .
18、在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手。有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有多少人？若参加聚会有名同学，可列方程 。
19、反比例函数的图象上有一点A(x, y)，且x, y是方程的两个根，则
20、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB相交于点F，则= 。
第20题图 第21题图
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。已知△A1B1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）。若△ABC与△A1B1位似，则△A1B1的第三个顶点的坐标为 .
三、解答题(要有必要的解答过程和相应的文字说明)
22、（1）（3分）解方程
(2)、（4分） 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，且AEAF．
求证：CE=CF．
23、（1）(3分)计算：
（2）（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC=，点D是BC上一点，且DC=AC．
求BD的长；
24、(本小题满分8分) 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
25．(本小题满分8分) 甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
26、(本小题满分9分)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=.
(1)求边AB的长；
(2)求反比例函数的解析式和n的值；
(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长.
27、（本小题满分9分）如图，抛物线经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)求证: △ABC是等腰三角形.
(3)动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动.当Q到达点A时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似.
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
28、(本小题满分9分) 如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t<49时，求S与t的函数关系式．
参考答案
1～5、CCDBA 6～10、CABDD 11～15、AACBB16、800 ; 17、10 ; 18、 ; 19、-1 ;20、; 21、(3，4)或(0，4).
（1）解：，……………………………………………………1分
，…………………………………………… 2分
；…………………………………………………3分
(2)、证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴……………………………………………………1分[来源:学.科.网Z.X.X.K]
又∵AE=AF，AC为公共边
∴△ACE ≌ △ACF……………………………………………………3分
∴CE=CF ………………………………………………………………4分
（1）解：……………………………………………………2分
……………………………………………………3分
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，…………………………………………………1分
∵AB=AC，
∴BE=CE，…………………………………………………2分
在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C=，
∴AE=6，…………………………………………………3分
∴CE==8，
∴CD=2CE=16，
∴BD=BC﹣BD=BC﹣AC=6．…………………………………………………4分
24、
25、解：（1）∵三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，
∴从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：； 2分
（2）这个游戏不公平． 3分
画树状图得：
6分
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．
∴P（甲胜）≠P（乙胜）， 7分
∴这个游戏不公平． 8分
26、解：(1)∵在Rt△BOA中，点E(4，n)在直角边AB上，
∴OA=4， 1分
∴AB=OA×tan∠BOA=2. 2分
(2)∵点D为OB的中点，点B（4，2），
∴点D（2，1）， 3分
又∵点D在的图象上，
∴k=2，
∴， 4分
又∵点E在图象上，
∴4n=2，
∴n=. 5分
(3)设点F（a，2），
∴2a=2，
∴CF=a=1 ， 6分
连结FG，设OG=t，
则OG=FG=t ，CG=2－t， 7分
在Rt△CGF中，GF2=CF2＋CG2 ， 8分
∴t2=（2－t)2＋12 ，
解得t =，
∴OG=t=． 9分
27.解：(1)把A（1，0）和B（3，0）代入得：
， 1分
解得：，
∴抛物线的函数解析式是. 2分
(2)方法一：抛物线的对称轴是，
∵点C（m,）在抛物线对称轴上
∴m=2
∴点C（2,）， 3分
∴CA==4, CB==4，
∴CA= CB
∴△ABC是等腰三角形 4分
方法二：抛物线的对称轴是，
∴A（1，0）和B（3，0）关于对称轴是对称， 3分
∵点C（m,）在抛物线对称轴上，
∴CA= CB，
∴△ABC是等腰三角形. 4分
(3)∵∠A是公共角
当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB， 5分
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t，
∴，
∴t=， 6分
当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ACB， 7分
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t，
∴，
∴t=， 8分
∴当t=或t=时，△APQ与△ABC相似. 9分
28、（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP……………………………………………1分
∴△AEF∽△ABC……………………………………………………………………2分
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴=； ……………………………………………3分
（2）解：由（1）得=，∴AH=x ∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣x …………4分
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣5）2+20 …………………………5分
∵﹣＜0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20； ………………………………………6分
（3）解：如图1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9 ……………………………………………7分
如图2，当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t ……………………………………………8分
∴S=S矩形EFPQ﹣SRt△MFN=20﹣t2=﹣t2+20 ……………………………………………9分
．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]