第23章 一元二次方程测试卷
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．方程x2－2x=0的根是（ ）．
A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=－．x=0 D．x=2
2．若x1，x2是一元二次方程3x2+x－1=0的两个根，则的值是（ ）．
A．－1 B．．1 D．2
3．已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2－1）－2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．一元二次方程x2－3x－1=0与x2－x+3=0的所有实数根的和等于（ ）．
A．2 B．－．4 D．3
5．某农场粮食产量是：2003年为1 200万千克，2005年为1 452万千克，如果平均每年增长率为x，则x满足的方程是（ ）．
A．1200（1+x）2=1 452 B．2000（1+2x）=1 452
C．1200（1+x%）2=1 452 D．12 00（1+x%）=1 452
6．方程=2的根是（ ）．
A．－2 B． C．－2， D．－2，1
7．方程的增根是（ ）．
A．x=0 B．x=－．x=1 D．x=±1
二、填空题（每小题3分，共24分）
8．x2+8x+_______=（x+_____）2；x3－x+______=（x－______）2．
9．如果x2－5x+k=0的两根之差的平方是16，则k=________．
10．方程2x2+x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．
11．若2x2－5x+－5=0，则2x2－5x－1的值为_________．
12．若x1，x2是方程x2－2x+m的两个实数根，且=4，则m=________．
13．已知一元二次方程x2－6x+5－k=0的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．
14．设方程2x2+3x+1=0的两个根为x1，x2，不解方程，作以x12，x22为两根的方程为______．
15．若一个两位正整数，它的个位数字与十位数的和是5，数字的平方和是17，求这个两位数．
解：设这个两位数的十位数字是x，则它的个位数字为__________，所以这两位数是_______，根据题意，得__________________________________．
三、解答题（共75分）
16．（24分）解下列方程
（1）用配方法解方程3x2－6x+1=0； （2）用换元法解（）2+5（）－6=0；
（3）用因式分解法解3x（x－）=－x；（4）用公式法解方程2x（x－3）=x－3．
17．（10分）某采购员到察尔汗钾盐厂购钾盐36t运往内地，如果租用甲种货车若干辆刚好装满，租用乙种货车，可少租1辆并且最后1辆还差4t才能装满，已知甲种货车的载重量比乙种货车少2t，求甲、乙两种货车的载重量各是多少吨？
18．（14分）阅读材料：x4－6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程变为x2－6y+5=0①，解这个方程，得y1=1，y2=5；当y1=1时，x2=1，x=±1；当y=5时，x2=5，x=±，所以原方程有四个根x1=1，x2=－1，x3=，x2=－．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了_______的数学思想．
（2）解方程（x2－x）－4（x2－x）－12=0．
19．（14分）已知：关于x的方程x2+（8－）x+=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
20．（13分）如图，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点（ ）
A．在线段AB上 B．在线段BC上
C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？
答案与提示
一、
1．A 分析：直接提公因式x．
点拨：分解因式得到两个因式的积等于0，即是每个因式分别等于0．
2．C 分析：由根与系数关系得出x1+x2和x1x2的值，再将代数式进行化简．
3．D 分析：根据b2－的大小来判断根的情况．
点拨：应用b2=a2+c2．
4．D 分析：方程x2－3x－1=0有两实根x1，x2，
∴x1+x2=3，方程x2－x+3=0无实数根，∴所有实数根的和为3．
点拨：求方程两根之和必须先考虑方程是否有实数根．
5．A 分析：原基数为1 200万千克，设平均每年增长率为x，则有1 200（1+x）2=1452．
点拨：增长率=×100%．
6．C 分析：本题是可化为一元二次方程的分式方程，先化为整式方程，再求整式方程的解．
点拨：分式方程的根一定要检验．
7．C 分析：方程的增根就是使最简公分母为0的数，即x－1=0x=1．
点拨：增根不是原方程的根．
二、
8．16 4 分析：利用配方法配成完全平方式．
点拨：配方法就是加上一次项系数一半的平方．
9． 分析：（x1－x2）2=16（x1+x2）2－4x1x2=16，25－4k=16，k=．
点拨：（x1－x2）2转化成（x1+x2）2，然后根据根与系数的关系代入求值．
10．m< 分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以1－>0，∴m<．
点拨：根据b2－的大小来判断根的情况．
11．0或2 分析：设a=2x2－5x，则原方程为a+－5=0，
整理，得a2－+3=0，解得a1=1，a2=3；
当a=1时，2x2－5x－1=0；当a=3时，2x2－5x－1=3－1=2．
点拨：用a替换2x2－5x是解本题的关键．
12． 分析：由x1+x2=2，x1x2=m，∵=4，∴=4，m=．
点拨：在方程有两个实根的情况下，应用x1+x2=－，x1x2=．
13．x1=4，x2=2 分析：∵△=4，∴b2－=4，即x=，
∴x1=4，x2=2．
点拨：直接应用求根公式求出根来．
14．4x2－5x+1=0
分析：求方程的关键是找出所求方程的两根与已知方程的两根之间的关系．
∵x1+x2=－，x1x2=．
∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=－1=．
x12x22=（x1x2）2=．
∴所求方程为x2－x+=0．
即4x2－5x+1=0．
点拨：对于一元二次方程x2+px+q=0，所求方程两根之和等于－p，两根之积等于q．
15．（5－x） 10x+（5－x） x2+（5－x）2=17
分析：设十位数字为x，则个位数字为5－x，故这个两位数为10x+（5－x）．
由题意，得x2+（5－x）2=17．
点拨：一个两位数的表示方法是：设个位数字为b，十位数字为a，则有+b．
三、
16．解：（1）3x2－6x+1=0，
x2－2x+=0，
（x－1）2=，
x－1=±，
x=1±．
x1=1+，x2=1－．
（2）设=a，则原方程a2+－6=0，解得a1=1（舍去），a2=－6．
当a=－6时，=－6，－7x=6，x=－．
（3）3x（x－）=－x．
3x（x－）=－（x－）．
3x（x－）+（x－）=0．
（x－）（3x+1）=0．
x1=，x2=－．
（4）2x（x－3）=（x－3）．
2x2－6x－x+3=0．
2x2－7x+3=0．
∵a=2，b=－7，c=3，b2－=49－24=25>0．
∴x=．
∴x1=3，x2=．
点拨：（1）用配方法解方程，将二次项系数化为1，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方；（2）用换元法降低方程的次数，使分式方程转化为整式方程；（3）将－x移到方程的左边，再提公因式；（4）应用求根公式求解，首先要考虑b2－的值，大于或等于0才能应用公式x=求根．
17．分析：如果我们设甲种货车的载重量为xt，则由条件“已知甲种货车的载重量比乙种货车少2t”，可得乙种货车的重量为（x+2）t，再分析条件“租用乙种货车，可少租一辆”，于是得到等量关系：甲种货车辆数－乙种货车辆数＝1．
解：设甲种货车的载重量为xt，则乙种货车的载重量为（x+2）t，
根据题意，得=1，解得x1=6，x2=－12，
经检验，x1=6，x2=－12都是所列方程的根，但x=－12不合题意，舍去，
∴x+2=8．
答：甲、乙两种货车的载重量分别是6t，8t．
点拨：解答此类问题的关键是梳理条件，理清思路，寻求一个等量关系，列出方程求解．
18．解：（1）换元 转化
（2）设x2－x=y，则原方程为y2－4y－12=0，解得y1=6，y2=－2．
当y=6时，x2－x－6=0，解得x1=3，x2=－2；当y=－2时，x2－x+2=0，
∵△<0，∴此方程无实数根，∴原方程的根是x1=3，x2=－2．
点拨：本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，也可以把x2－x看成一个整体，则原方程是以x2－x为未知数的一元二次方程．
19．解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有（8－）2－=0，解得m=1．
当m=1时，原方程为x2+4x+4=0，x1=x2=－2．
（2）不存在．假设存在，则有x12+x22=136．
∵x1+x2=－8，x1x2=，
（x1+x2）2－2x1x2=136．
（－8）2－2×=136．
m2－－9=0．
（m－9）（m+1）=0．
m1=9，m2=－1．
∵△=（8－）2－=64－≥0，
∴m≤1，m1=9，m2=－1都不符合题意，
∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．
点拨：根据b2－=0，再求m值．
20．解：（1）B
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，
过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x，AB+BE=2x，
∵D点是AC的中点，∴DF=AB=100，EF=400－100－2x，
在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300－2x）2，x=200±．
∵200+>100，∴DE=200－．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200－）海里．
点拨：当三角形中有中点时，常作三角形的中位线．