第一章证明（二）单元测试题（B）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________．
2．一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________．
3．如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=，则点M到AB的距离是_________．
4．如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE：EC=_________．
5．如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=，AC=，则△ACD的周长为_________．
6．如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=，则AD=_________cm．
图4
7．如图5，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________．
8．等腰直角三角形一条边长是，那么它斜边上的高是_________cm．
9．如图6，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图中共有_________对全等三角形．
10．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题．
二、选择题（每题3分，共24分）
11．直角三角形两直角边分别是、，其斜边上的高是（ ）
A． B．cm
C．cm D．
12．等边三角形的高为2，则它的边长为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．5
13．等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）
A． B．90－
C． D．90°－n°
14．下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=5 B．a=1，b=，c=
C．a=9，b=12，c=15 D．a=，b=2，c=
15．直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ）
A．6 B．7.5
C．10 D．12
16．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=，最长边AB的长是（ ）
A． B．
C．cm D．
17．如图7，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（ ）
A．55° B．45°
C．36° D．30°
18．等腰△ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（ ）
A．15 B．12
C．15或12 D．以上都不正确
三、解答题（共42分）
19（6分）. sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°．
20.（8分） 在△ABC中， sinB·cosA=0，且sinC，cosB是方程4x2＋kx＋1=0的两根，求k的值和∠C的度数．
21.（8分）等腰三角形底边为20，面积为，求各角的大小．
22．（10分）如图8，四边形BCDG为矩形，∠ABG=45°，GB=20，BC=4，tanE=，求EC的长度．
23．（10分）已知：如图9，在△ABC中，BC=6，AC=6，∠A=30°，求AB的长．
四、自主探索题（共24分）
24.（12分）如图10， ABC中，AB=AC，在AB上取点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于G点，求证：DG=GE。
25.（12分）①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小．
②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．
③你感到存在什么样的规律性？试证明．（请同学们自己画图）
④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？
参考答案：
一、1．55°，55°或70°，40° 2．18或21 3． 4． 1：3 5． 6．6 7．75° 8．或 9．4 10．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真
二、11．C 12．A 13．C 14．D 15．A 16．D 17．B 18．B
三、19．解：原式=（sin21°＋sin289°）＋（sin22°＋sin288°）＋…＋sin245°
=（sin21°＋cos21°）＋（sin22°＋cos22°）＋…＋（）2
=＋=44．
20．解：∵sinB·cosA=0，而sinB≠0，∴cosA=0．∴∠A=90°．∴∠B＋∠C=90°．∴sinC=cosB．
∴方程有两个相等的实数根，即△=0，∴k2－16=0，k=±4．
∵sinC＋cosB=－＞0，∴k＜0．∴k=4舍去，即k=－4．
∵sinC·cosB=，且cosB=sinC，∴sinC=，∴∠C=30°．
21．解：如图，作AD⊥BC交BC于D点，则AB=AC，BC=20，
S△ABC=，∴AD==×=．
又∵BD=BC=10，在Rt△ABD中，tanB==×=，
∴∠B=30°．∴∠C=∠B=30°．∴∠BAC=180°－（∠B＋∠C）=120°．
22．解：在Rt△AGB中，∠ABG=45°，GB=20，∴AG=20．
又∵BC=4，四边形BCDG为矩形，∴DG=4，CD=20．∴AD=AG＋GD=24．
在Rt△ADE中，tanE=，∴ED==×24=8．
∴EC=ED＋DC=8＋20．
23．解：作CD⊥AB于D．∵在Rt△CAD中，∠A=30°，AC=6，
∴CD=AC·sinA=AC=3＜6=BC．
∴BC＜CD，点D在线段AB上或在线段AB的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，如图1．
∵在Rt△ADC中，AC=6，∠A=30°，
∴AD=CD/tan30°=9．
在Rt△CDB中，DB==3，
∴AB=AD＋BD=9＋3=12．
（2）当点D在线段AB的延长线上时，如答图2，由（1）有AD=9，BD=3，∴AB=AD－BD=9－3=6，故AB的长是12或6．
24.证明：过点D作DF // AC交BC于F点，
∵DF // AC（已作），∴∠DFB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）
又∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角）
∴∠B=∠DFB，∴DF=DB（等角对等边）
∵BD=CE（已知），∴DF=CE。
∵DF // CE（已作），∴∠DFG=∠ECG（两直线平行，内错角相等）
在DFG和ECG中，
∴DFG≌ECG（AAS）
∴DG=GE（全等三角形对应边相等）
25．①15° ②35° ③AB的垂直平分线与底边BC所夹的锐角等于∠A的一半 ④不需要修改