2016—2017学年度上期期末调研
九年级 数 学
一、选择题 （每小题3分，共24分）
1．方程x2﹣4 = 0的解是 【 】
A．x = ±2 B．x = ±．x = 2 D． x =﹣2
2．下列图形中，不是中心对称图形的是 【 】
A． B． C． D．
3．下列说法中正确的是 【 】
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件” ”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1= 0有两个不相等的实数根，
则a的取值范围是 【 】
A．a＞2 B．a ＜C． a ＜2且a ≠ l D．a ＜﹣2
5．三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，三角板
绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′ 落在AB边的
起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为【 】
A．2π B． C． D．3π
6．一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是【 】
A． 1 B． C． D．
7．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为 【 】
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，
将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的
最小值是 【 】
A．6 B．．2 D．1.5
二、填空题（ 每小题3分，共21分）
9．抛物线y = x2+2x+3的顶点坐标是 ．
10．m是方程2x2+3x﹣1= 0的根，则式子++2016的值为 ．
11．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为
直线 ．
12．在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是r = ．
第12题图
13．在一个不透明的盒子中装有n个规格相同的乒乓球，其中有2个黄色球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到黄色球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
14．矩形ABCD中，AD = 8，半径为5的⊙O与BC相切，且经过A、D两点，则AB = ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，
E为边AB的中点，点D是BC边上的动点，把△ACD
沿AD翻折，点C落在C′处，若△AC′E是直角三角形，
则CD的长为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：
17．（9分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
18．（9分）如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，
∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
19．（9分）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？
请用列表或画树状图的方法说明理由．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以O为圆心，OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
21．（10分）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．
（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写表格：
（2）若商店预计要在第二个月的销售中获利2000元，则第二个月销售定价每套多少元？
（3）若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少元？此时第二个月的最大利润是多少？
22．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为，对角线AE、DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
23．（11分）如图①，抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
九年级数学2016—2017学年度上期期末参考答案及评分标准
选择题（每题3分 共24分）
填空题
9．（- 1，2） 10．2018 11．x =2 12．R 13．10 14．2或8 15．2或
三、解答题
16．解：原式= ……………………3分
=
= ……………………5分
∵，∴ ……………………7分
∴原式=． ……………………8分
17．解：（1）把x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，解得：a=，……………………2分
∴原方程即是，
解此方程得：，
∴a=，方程的另一根为； ……………………5分
（2）证明：∵，
不论a取何实数，≥0，∴，即>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． ……………………9分
18．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴AB=，设AC的长为x，
则AB=2x，在Rt△ACB中，，∴
解得x=，∴AB=． ……………………5分
（2）连接OD．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=90°，
AO=AB=，
∴S△AOD =
S 扇AOD =
∴S阴影 = ……………………9分
19．解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，
指针指向1的概率为； ……………………3分
（2）列表得：
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
……………………7分
∴P（小明获胜）= ，P（小华获胜）=，
∵＞，
∴该游戏不公平． ……………………9分
20．（1）证明：连接OD；∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线． ……………………4分
（2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：，
在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED ≌ Rt△ACD
∴AC=AE，设AC=x，则AE=x，AB=x+4，在Rt△ABC中 ，
即，解得x=6，∴AC=6． ……………………9分
21．解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，由题意可得，
……………………4分
（2）若设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意得：
（52+x﹣40）（180﹣10x）=2000，
解得：x1=﹣2（舍去），x2=8，
当x=8时，52+x=52+8=60．
答：第二个月销售定价每套应为60元． ……………………7分
（3）设第二个月利润为y元．
由题意得到：y=（52+x﹣40）（180﹣10x）
=﹣10x2+60x+2160
=﹣10（x﹣3）2+2250
∴当x=3时，y取得最大值，此时y=2250，
∴52+x=52+3=55，
即要使第二个月利润达到最大，应定价为55元，此时第二个月的最大利润
是2250元． ……………………10分
22．
证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
∴△BAD ≌ △CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；
…………………… 4分
（2）CFCD=BC …………………… 5分
（3）①CDCF =BC． …………………… 6分
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
∴△BAD ≌ △CAF（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠ABC=45°，∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O，
∴DF=AD=4，O为DF中点．
∴OC=DF=2． ……………………10分
23．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0），
，解得，
∴抛物线的表达式为．……………………3分
（2）存在．M1（，），M2（，）
……………………5分
（3）存在．如图，设BP交轴y于点G．
∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，
∴当x=2时，m=．
∴点D的坐标为（2，3）．
把x=0代入，得y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
∴CD∥x轴，CD = 2．
∵点B（3，0），∴OB = OC = 3
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，
∴△CGB ≌ △CDB（ASA），∴CG=CD=2．
∴OG=OCCG=1，∴点G的坐标为（0，1）．
设直线BP的解析式为y=kx+1，将B（3，0）代入，得3k+1=0，解得k=．
∴直线BP的解析式为y=x+1． ……………………9分
令x+1=．解得，．
∵点P是抛物线对称轴x==1左侧的一点，即x<1，∴x=．把x=代入抛物线中，解得y=
∴当点P的坐标为（，）时，满足∠PBC=∠DBC．……………………11分
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