北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）
九年级数学 2011.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 抛物线的对称轴为（ ）.
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，
则∠BOC =（ ）.
A．60° B．45° C．30° D．15°
3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都
是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则
tan∠ACB的值为（ ）.
A．1 B． C． D．
4．用配方法将化成的形式为（ ）.
A． B．
C． D．
5．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△
（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的
位似图形，则P点的坐标是（ ）.
A． B．
C． D．
6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这
种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价（元）满足关系：.
若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程
正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
7. 如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，
切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD.
若CD等于，则扇形OCED的面积等于（ ）.
A．π B．π C．π D．π
8. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，
OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在
⊙O上时，cos∠OQB的值等于（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，
若AD=2，CD=3，则△CDE与△CAB的周长比为 .
10. 两圆的半径分别为和，若圆心距为，则这两圆的位置关系为 .
11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A，以OA为半径作⊙O，
若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB为菱形，则点P的坐标
为 .
12．抛物线（a ≠ 0）满足条件：（1）；（2）；
（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；
②；③；④，其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）
13．计算：．
14．若关于x的方程 有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．
15．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
AC=，D为CB延长线上一点，且BD=2AB．
求AD的长．
16．右图为抛物线的一部分，它经过A，
B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
求平移后的抛物线的解析式．
17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B
的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高
楼的水平距离AD为，求这栋楼的高度.（取1.414，
取1.732）
18．对于抛物线 .
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程
（t为实数）在＜x＜的范围内有
解，则t的取值范围是 ．
四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）
19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，
D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．
20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角（） ，将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于 ，= °；
（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，= °．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于
点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tanB =，求AD的长.
22．请阅读下面材料：
若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线 为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：
证明：∵ ，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，
∴ 且 ≠.
①-②得 .
∴ .
∴ .
又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
∴ 直线为此抛物线的对称轴.
（1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的
两点，直线 为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知关于x的一元二次方程 .（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k = m时，求m的值；
② 若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.
24. 已知抛物线（其中a ≠ c且a ≠0）.
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，
求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，若
，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N， 则N关于n的函数关系式为 .
25. 含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且≠ 90°），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，连接BE.
（1）如图1，当边经过点B时，= °；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3） 设 BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=
时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系.
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）
九年级数学参考答案及评分标准 2011.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9.. 10. 相交. 11. ，.（每个2分）
12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）
三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）
13．解：
……………………………………………………………3分
. ……………………………………………………………………………5分
14．解：（1）.…………………………………………………… 1分
∵ 该方程有实数根，
∴ ≥0．…………………………………………………………………2分
解得a≥．……………………………………………………………………3分
（2）当a为符合条件的最小整数时，a = ． ………………………………… 4分
此时方程化为，方程的根为．…………………5分
15．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，
∴ ，BC=1．……………………2分
∵ D为CB延长线上一点，BD=2AB ，
∴ BD=4，CD=5． …………………………………………………………………4分
∴ ．……………………………………………………5分
16．解：（1）∵ 抛物线经过A，B两点，
∴ ……………………………………………………………1分
解得 …………………………………………………………………2分
∴ 抛物线的解析式为． ……………………………………3分
（2）∵ 抛物线的顶点坐标为，
∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为．
∴ 平移后的抛物线的解析式为．…………5分
17．解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，
∴ BD=AD=50(m)． …………………………………………2分
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，
∴ (m) ． ………………………………4分
∴ BC= BD+CD=(m)．……5分
答：这栋楼约高．
18．解：（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为； ………………………………………3分
（2）列表：
……………………………4分
图象如图3所示． ……………………………5分
（3）t的取值范围是．……………………6分
四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）
19．（1）证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C．……………………………1分
∵ ∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD，
∠ADE=∠C，
∴ ∠BDE =∠CAD． ………………………………………………………2分
∴ △BDE∽△CAD． ………………………………………………………3分
（2）解：由（1）得．…………………………………………………………4分
∵ AB=AC= 5，BC= 8，CD=2，
∴ ．
∴ ． ………………………………………………5分
20．解：（1）∠DCE= 60 °，点C到直线l的距离等于，= 30 °； …………………3分
（2）= 45 °． ………………………………………………………………………4分
21．（1）证明：∵ OD⊥AC于点E，
∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．
∴ OA⊥AD于点A．………………………1分
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线． ……………………2分
（2）解：∵ OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴ ．………………………………………………………3分
∵ ∠B=∠C，tanB =，
∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．
∴ ．
设⊙O的半径为r，则．
在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，即 ．
解得 r =5．……………………………………………………………………4分
∴ 在Rt△OAE中，．
∴ 在Rt△OAD中，． ………………………5分
22．解：（1）结论：自变量取，时函数值相等． ……………………………………1分
证明：∵ ，为抛物线上不同的两点，
由题意得 且≠．
①-②，得 .
……………………………………………………………2分
∵ 直线是抛物线（a ≠ 0）的对称轴，
∴ .
∴ .
∴ ，即.………………3分
（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而
没有用代数方法进行证明的不给分）
（2）∵ 二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，
∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.
∴ ，.
∴ 二次函数的解析式为. …………………………………4分
∵ ，
由（1）知，当x = 2012的函数值与时的函数值相等.
∵ 当x =时的函数值为，
∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.解：（1）∵ k为的实数根，
∴ .※ …………………………………………1分
① 当k = m时，
∵ k为非零实数根，
∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m，得.
整理，得 .
解得 ，. ………………………………………………………2分
∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ m ≠ 2.
∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分
（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）
② ∵ k为原方程的非零实数根，
∴ 将方程※两边都除以k，得.…………………4分
整理，得 .
∴ .……………………………………………5分
（2）解法一： .………6分
当＜m＜2时，m＞0，＜0.
∴ ＞0，＞1＞0，Δ＞0.
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分
解法二：直接分析＜m＜2时，函数的图象，
∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点. …………………………6分
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分
解法三：.…………6分
结合关于m的图象可知，（如图6）
当＜m≤1时，＜≤4；
当1＜m＜2时，1＜＜4.
∴ 当＜m＜2时，＞0.
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
…………………………………………7分
24.解：（1）抛物线与x轴交点的横坐标是关于x的方程（其中a ≠ 0，a ≠c）的解.
解得 ，. ………………………………………………………… 1分
∴ 抛物线与x轴交点的坐标为，.……………………………… 2分
（2）抛物线的顶点A的坐标为.
∵ 经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，
由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分
将其代入①、② 得
解得 .
∴ 所求抛物线的解析式为 .…………………………………… 4分
（3）作PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F.（如图7）
抛物线的顶点A的坐标，
点B的坐标为，点C的坐标为.
设点P的坐标为.
∵ 点P在x轴上方的抛物线上，
∴ ，且0＜m＜1，.
∴ ，.
∵ ，
∴ .
解得 m=2n，或（舍去）. ………………………………………………5分
将m=2n代入，得.
解得，（舍去）.
∴ .
∴ 点P的坐标为. …………………………………………………………6分
（4）N关于n的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分
说明：二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，
∴ ＜y≤，
其中的整数有，，….
.
25.（1）当边经过点B时，= 60 °； ………………………………………… 1分
（2）猜想：①如图8，点D在AB边上时，m=2；
②如图9，点D在AB的延长线上时，m=4.
（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）
证明：① 当时，点D在AB边上（如图8）.
（阅卷说明：①、②两种情况没写的取值范围不扣分）
∵ DE∥，
∴ .
由旋转性质可知，CA =，CB=，∠ACD=∠BCE.
∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ……………2分
∴ ∠A =∠CBE=30°.
∵ 点D在AB边上，∠CBD=60°，
∴ ，即 m=2. ………………………………………3分
② 当时，点D在AB的延长线上（如图9）.
与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.
∵ 点D在AB的延长线上，，
∴ ，即 m=4. ……………………………………4分
（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴ AB = 2 ，，.
由 △CAD∽△CBE 得 .
∵ AD=x，
∴ ，.
①当点D在AB边上时，AD=x，，∠DBE=90°.
此时，.
当S =时，.
整理，得 .
解得 ，即AD=1.…………………5分
此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如图10）
∴ EC = EB.
∵ ，点E在边上，
∴ 圆心E到的距离EC等于⊙E的半径EB.
∴ 直线与⊙E相切. …………………………………………………6分
②当点D在AB的延长线上时，AD=x，，∠DBE=90°.（如图9）.
.
当S =时，.
整理，得 .
解得 ，（负值，舍去）.
即.……………………………………………………………… 7分
此时∠BCE=，而，∠CBE=30°，
∴ ∠CBE＜∠BCE .
∴ EC＜EB，即圆心E到的距离EC小于⊙E的半径EB.
∴ 直线与⊙E相交. ……………………………………………………8分