通州区初三数学期末考试试卷
2013年1月
考生须知：
1．本试卷共有四个大题，24个小题，共6页，满分100分．
2．考试时间为90分钟，请用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔答卷．
一、精心选一选：（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分）
1．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且OM : OP=4 : 5，则cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP=10，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．不确定
3. 若两圆的半径分别是和，圆心距为，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
4．如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为（ ）
A． 70° B． 50° C．40° D．35°
5．若一个正多边形的一个内角是144°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 12 B. C.10 D. 9
6．如图，在△OAB中， CD∥AB，若OC: OA =1:2，则下列结论：（1）；
（2）AB =2 CD；（3）. 其中正确的结论是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
7. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切
8． 如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，⊙O的半径为3厘米，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA.动点P从点A出发，以π厘米/秒的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为（ ）秒时，BP与⊙O相切．
A．1 B．C．0.5或5.5 D． 1或5
二、细心填一填：（每题3分，共18分）
11．计算：tan45°+cos45°= ．
12. 如图，⊙O的弦AB=8，OD⊥AB于点D，OD= 3，则⊙O的半径等于 ．
13．如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是________ ，___________.
14. 如图，在⊙O中，半径 OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是________.
15．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为，母线长为的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为________cm2 .（结果保留）
16．图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m =__________（用含n的代数式表示）．
三、认真做一做：（共22分）
17. （4分）如图，在△ABD和△AEC中，E为AD上一点，若∠DAC =∠B，
∠AEC =∠BDA. 求证：.
证明：
18.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆
经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A +∠B =．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．
（1）证明：
（2）解：
19. （6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象过A（-1，-2）、
B（1，0）两点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围．
解：（1）
（2）
20．(6分) 如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡AC的坡度是，在与滑沙坡底C距离的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
解：
四、解答题：（共30分）
21. （6分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接等边三角形ABC.黄皓、李明两位同学的作法分别是：
黄皓：1. 作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点，
2. 连结AB，AC，△ABC即为所求的三角形.
李明：1. 以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点，
2. 连结AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形.
已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，并证明△ABC是等边三角形.
解：我选择___________的作法.
证明：
22.（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，BC 23.（8分）将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示. （1）请直接写出抛物线c2的表达式； （2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E. ①用含m的代数式表示点A和点E的坐标； ②在平移过程中，是否存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）抛物线c2的表达式是__________________； （2）①点A的坐标是（______，______）， 点E的坐标是（______，______）. ② 24.（9分）在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CP∥y轴. （1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标； （2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上，求点C的坐标． 解：（1） （2） 通州区初三数学期末考试参考答案及评分标准 2013．1 一、精心选一选：（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B 9. B 10. D 二、细心填一填：（每题3分，共18分） 11. 2； 12. 5； 13. ，； 14. ； 15. ； 16. . 三、认真做一做：（共22分） 17. 证明：∵∠DAC =∠B，∠AEC =∠BDA， ……………… 2分； ∴△AEC∽△BDA. ……………… 3分； ∴. ……………… 4分. 18．（1）证明：连结OC. ………… 1分； ∵， ∴， ∵， ∴. ……………… 2分； 在△OCB中， ∴， ∴BC是⊙O的切线 . ……………… 3分； （2）解： 在⊙O中， ∴OC=OA=OD=6， ……………… 4分； ∵， ∴. ∴. ……………… 5分； ∴. ……………… 6分. 19．解：（1）把A（-1,-2）、B（1,0）分别代入中， ∴ ……………… 2分； 解得： ……………… 3分； ∴所求二次函数的解析式为. ……………… 4分； （2）. ……………… 6分. 20. 解：由题意可知：米，26.6°，. 在Rt△ABC中， ∵， ……………… 1分； ∴设，， ……………… 2分； 在Rt△ABD中， ∴， ……………… 3分； ∴， ……………… 4分； 解得：， ……………… 5分； ∴. 答：滑坡的高AB为. ……………… 6分. 四、解答题：（共30分） 21. 解：我选择黄皓的作法. 如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结OB、OC. ∵AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线， ∴，， ， ……………… 3分； ∴. ……………… 4分； 在Rt△OEC中， ∴ cos， ∴， ……………… 5分； ∴. ∴. ∴△ABC是等边三角形. ……………… 6分. 我选择李明的作法. 如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结DB、DC. 由作图可知： DB=DO=DC， 在⊙O中， ∴OB=OD=OC， ∴△OBD和△OCD都是等边三角形， ……… 3分； ∴ ， ……… 4分； ∵，， ∴， ， ……………… 5分； ∴△ABC是等边三角形. ……………… 6分. 22.解： 在CD上截取CF=CB，连结AF. 过点A作AE⊥CD于点E. …… 1分； ∵CA平分∠BCD ，∠BCD=60º， ∴， 在△ABC和△AFC中 ∵ ∴△ABC≌△AFC. ……………… 2分； ∴ AF=AB ， ∵， ∴. ……………… 3分； 在Rt△ADE中，，， ∴ sin， ∴AE=ED=2 . ……………… 4分； 在Rt△AEC中，， ∴ tan， ∴. ……………… 5分； ∵AE⊥CD ， ∴FE=ED=2 . ……… 6分； = . ……………… 7分. 注： 另一种解法见下图，请酌情给分. 23. 解：（1）抛物线c2的表达式是； ……………… 2分； （2）①点A的坐标是（，0）， ……………… 3分； 点E的坐标是（，0）. ……………… 4分； ②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形. 由题意得只能是. 过点M作MG⊥x轴于点G. 由平移得： 点M的坐标是（，），……… 5分； ∴点G的坐标是（，0）， ∴，， ， 在Rt△AGM中， ∵ tan， ∴， ……………… 6分； ∵ ， ∴， ∴tan， ∴ ， ……………… 7分； ∴. ……………… 8分. 所以在平移过程中，当时，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形. 24. 解：（1）过点D分别作DG⊥x轴于G， DH⊥PC于H. ……………… 1分； ∴， ∵△ODE是等腰直角三角形， ∴OD=DE，， ∵CP∥y轴， ∴ 四边形DGCH是矩形， ……………… 2分； ∴，DH=GC. ∴， ∴， ∴△ODG≌△EDH. ……………… 3分； ∴DG=DH. ∴DG=GC， ∴△DGC是等腰直角三角形， ∴， ……………… 4分； ∴tan， ∴OC=OB=3. ∴点C的坐标为（3,0） ……………… 5分； 分两种情况： 当时， 过点D分别作DG⊥x轴于G， DH⊥PC于H. ∴， ∵△ODE是直角三角形， ∴tan， ， ∵CP∥y轴， ∴ 四边形DGCH是矩形， ∴，DH=GC. ∴， ∴， ∴△ODG∽△EDH. ……………… 6分； ∴. ∴， ∴tan， ∴， ∴tan， ∴OC=. ……………… 7分； 当时， 过点D分别作DG⊥x轴于G， DH⊥PC于H. ∴， ∵△ODE是直角三角形， ∴tan， ， ∵CP∥y轴， ∴ 四边形DGCH是矩形， ∴，DH=GC. ∴， ∴， ∴△ODG∽△EDH. ……………… 8分； ∴. ∴， ∴tan， ∴， ∴tan， ∴OC=. ……………… 9分. ∴点C的坐标为（,0）、（,0）. 备注：点E在x轴下方，证法一样，不须分类讨论. （以上答案供参考，其它证法或解法酌情给分）