鄂州市梁子湖区2016年秋季九年级月考数学试卷
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
3．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=yC．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3
4．已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
5．若关于x的方程4x2﹣（2k2+k﹣6）x+4k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A． B．﹣C．﹣2或 D．2或
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（ ）
A．2 B．C．4 D．12
8．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②+2b+c＞0
③﹣b2＜
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
二．填空题（共7小题，每题3分，共21分）
11．如图1，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
图1 图2 图3
12．如图2，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是 ．
13．如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=，点D从点A开始沿边AB以/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发 秒时，四边形DFCE的面积为2．
14．如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是 ．
15．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．
16．如图5，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．则AB= ．
17．如图6，抛物线y=x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1＜0＜x2，当x=x1+2时，y 0（填“＞”“=”或“＜”号）．
三．解答题（共7小题，共69分）
18．（12分）解方程
（1）（x﹣1）（x+3）=12 （2）（x﹣3）2=3﹣
23（10分）．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，设每千克降价x元每天销量为y千克．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如何定价，才能使每天获得的利润为200元，且使每天的销量较大？
24．（12分）如图：对称轴x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P点坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2016年12月九年级月考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．B．2．B．3．D．4．C．5．B．6．B．7．B．8．A．9．B．10.D．
二．填空题（共7小题）
11．． 12．． 13．1或5． 14． +． 15．＜a＜﹣2．
16．6． 17．＜．
三．解答题（共7小题）
18．
（1）解得：x1=3，x2=﹣5；（2）解得：x1=3，x2=2；
（3）∴x==．
19．解：（1）∵良有70人，占70%，
∴统计图共统计了的空气质量情况的天数为：70÷70%=100（天）；
（2）如图：条形统计图中，空气质量为“优”的天数为100×20%=20（天），
空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是：20%×360°=72°，
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能情况，其中符合一男一女的有8种，
∴恰好选到一名男同学和一名女同学的概率是=．
故答案为：（1）100，（2）72°，（3）．
20．解：（1）方程有不相等的实数根，
△=b2﹣=﹣4（m﹣3）（m+1）＞0，
解得
∵两个根又不互为相反数，
解得m≠0，
故m且m≠0且m≠3．
（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，
m=2时，方程是：﹣x2+4x+3=0
解得
21．解：（1）DE与⊙O相切．
证明：连接OD、AD，
∵点D是的中点，
∴=，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．
（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC， ==，
∴=，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
∴OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH=8．
22．证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2=QE2，
则EF2=BE2+DF2．
23．解：（1）∵每千克降价x元每天销量为y千克，
∴y=200+，即y=200+400x；
（2）设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．
根据题意，得[（3﹣2）﹣x]（200+）﹣24=200．
原式可化为：50x2﹣25x+3=0，
解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．
为使每天的销量较大，应降价0.3元，即定价2.7元/千克．
答：应将每千克小型西瓜的售价定为2.7元/千克．
24．
解：（1）因为抛物线的对称轴为x=﹣1，A点坐标为（﹣3，0）与（2，5）在抛物线上，则：
，
解得：．
所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．
（2）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；
当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得，
解得：．
即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣，
∴当x=﹣时，QD有最大值．
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