门头沟区2010—2011学年度第一学期初三期末考试
数 学 试 卷
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“答题卡”上
对应题目答案的相应字母处涂黑．
1. 已知 那么下列等式中成立的是
A． B． C． D．
2．如图，点A、B、C都在上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的
度数为
A．18° B．30° C．36° D．72°
3. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O 外 D．无法确定
4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，
若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是
A．8 B．．4 D．3
5. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BAC=20°，
，则∠DAC的度数是
A．30° B．35° C．45° D．70°
6. 桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是
A． B． C． D．
7. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则
新抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在CD边上
运动，联结AP，过点B作BE⊥AP，垂足为E，设AP＝，
BE＝，则能反映与之间函数关系的图象大致是
A． B． C． D．
二、填空题（共4道小题，每题4分，共16分）
9. 如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是 ．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 5，AC= 4，
则cosA= ．
11. 已知抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ．
12. 如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，
按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△的
位置．若BC＝1，AC＝，则顶点A运动到点的
位置时，点A经过的路线的长是 ．
三、解答题（共4 道小题，共20分）
13. (本小题满分5分)
计算：
14. (本小题满分5分)
已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB.
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.
15. (本小题满分5分)
已知二次函数.
（1）将化成y =a (x - h) 2 + k的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
16.（本小题满分5分）
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， 且AB⊥CD，垂足为E，联结OC， OC=5．
（1）若CD=8，求BE的长；
（2）若∠AOC=150°, 求扇形OAC的面积．
四、解答题（共2道小题，共12分）
17. (本小题满分6分)
已知反比例函数的图象经过点A（1，3）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）当=2时, 求y的值；
（3）当自变量从5增大到8时，函数值y是怎样变化的？
18.（本小题满分6分）
已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
五、解答题（共2道小题，共10分）
19. (本小题满分5分)
已知：如图，在△ABC中，∠A=30°, tanB=，AC=18，求BC、AB的长.
20. (本小题满分5分)
如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，求建筑物AB的高度.
六、解答题（共2道小题，共8分）
21.（本小题满分4分）
甲口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1、2，乙口袋中装有3个小球，它们分别标有数字3、4、5．现分别从甲、乙两个口袋中随机地各取出1个小球，请你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的两个小球上的数字之和为5的概率.
22.（本小题满分4分）
如图，已知每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形. 图中的△ABC是一个格点三角形.
（1）请你在第一象限内画出格点△AB1， 使得△AB1∽△ABC，且△AB1与△ABC的相似比为3：1；
（2）写出B1、C1两点的坐标.
七、解答题（本题满分7分）
23. 如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=4，AC=，点P在BC边上运动，PD∥AB，交AC于D. 设BP的长为x，△APD的面积为y .
（1）求AD的长（用含x的代数式表示）；
（2）求y与x之间的函数关系式，并回答当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）点P是否存在这样的位置，使得△ADP的面积是△ABP面积的？若存在，请求出BP的长；若不存在，请说明理由.
八、解答题（本题满分7分）
24. 在平面直角坐标系xOy中,反比例函数的图象与抛物线
交于点A(3, n).
（1）求n的值及抛物线的解析式；
（2） 过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数（）的图象于点C，且AC=2AB，求B、C两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标.
九、解答题（本题满分8分）
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的对称轴是，并且经过（－2，－5）和（5，－12）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；
（3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.
2010—2011学年度第一学期初三数学期末试卷评标
一、选择题（共8道小题，共32分）
1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. A 7. B 8. D
二、填空题（共4道小题，共16分）
9. 1：2 10. 11. m＜1 12.
三、解答题（共4道小题，共20分）
13. （本小题满分5分）
解： tan60°－ sin30°×tan45°＋ cos 60°
…………………………………………………………………4分
. ……………………………………………………………………5分
14. （本小题满分5分）
（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB, ……… 1分
∴△ABD∽△ACB. ………………… 2分
（2）解: ∵△ABD∽△ACB，
∴. ……………………………3分
∴. ………………………………4分
∴. ……………………………5分
15. （本小题满分5分）
解：（1） ……………………………………………… 1分
. ……………………………………………………… 2分
（2）对称轴为， ………………………………………………………3分
顶点坐标为（2，1）. ……………………………………………4分
（3）当x＞2时，随x的增大而增大. ………………………………5分
16. （本小题满分5分）
证明：（1）∵AB为直径，AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，CE=DE. ……………………1分
∵CD=8，
∴. ………………… 2分
∵OC=5，
∴OE=. …………3分
∴BE=OB－OE=5－3=2. …………………………………………………4分
（2） ………………………………………5分
四、解答题（共2道小题，共12分）
17. （本小题满分6分）
解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），
. …………………………………………………………………1分
∴k=3. ……………………………………………………………… 2分
∴反比例函数的解析式为． ……………………………… 3分
（2） 当时，. .……………………………………………4分
（3） 在第一象限内，由于k=3 ＞0，所以随x的增大而减小.
当时，；当时，.
所以当自变量从5增大到8时，函数值y从减小到.………6分
18.（本小题满分6分）
解: （1）由二次函数的图象经过（－1，0）和（0，－3）两点，
得 …………………………………………………… 1分
解这个方程组，得 ……………………………………… 2分
∴抛物线的解析式为…………………………………3分
（2）令，得.
解这个方程，得，．
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）. ………5分
（3）当时，y＜0. ………………………………………… 6分
五、解答题（共2道小题，共10分）
19. （本小题满分5分）
解：过点C作CD⊥AB于D.
∴∠ADC =∠BDC=90°.
∵∠A=30°，AC=18，
∴CD= AC= ×18=9. ……………………………………………………1分
∴………………………………2分
∵
∴
∴BD=12. ………………………………………………………………………3分
∴ …………………………………4分
∴AB=AD+BD=9+12. ………………………………………………5分
∴BC=15, AB=9+12.
20. （本小题满分5分）
解：设建筑物AB的高度为x米.
在Rt△ABD 中，∠ADB=45°,
∴AB=DB=x.
∴BC=DB+CD= x+60.
在Rt△ABC 中，∠ACB=30°,
∴tan∠ACB=……………………………1分
∴.………………………… 2分
∴. ……………………………3分
∴x=30+30. ……………………………4分
∴建筑物AB的高度为（30+30）米. …5分
六、解答题（共2道小题，共8分）
21. （本小题满分4分）
解：正确画出树状图或列表 ………………………………………………………3分
P（数字之和为5）= ………………………………………………………4分
22. （本小题满分4分）
解：（1）正确画出△AB1………………………………………………………… 2分
（2）点B1（4，1）， ………………………………………………………… 3分
点C1（7，7）. ……………………………………………………… 4分
七、解答题（本题满分7分）
23．解：（1）∵PD∥AB，
∴…………………………1分
∵BC=4，AC=，BP的长为x，
∴
∴ ……………………… 2分
（2）过点P作PE⊥AC于E.
∵∠C =60°,
∴……………………………………3分
∴ …………………4分
∴当时，的值最大，最大值是 ……………………………5分
（3）点P存在这样的位置.
∵△ADP与△ABP等高不等底，∴
∵△ADP的面积是△ABP面积的，∴
∴
∵PD∥AB，∴△CDP∽△CAB. ∴
∴ ∴
∴
∴ …………………………………………………………… 7分
八、解答题（本题满分7分）
24. 解：（1）∵点A(3, n)在反比例函数的图象上，
.……………………………………………………………………1分
∴A(，).
∵点A(，)在抛物线上，
∴ .
∴抛物线的解析式为． …………………………2分
（2）分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，
∴AD∥CE.
∴△ABD∽△CBE.
∴ ．
∵AC＝2AB，∴.
由题意，得AD＝,
∴.
∴CE＝4．……………………3分
即点C的纵坐标为4.
当y＝4时，x＝1，
∴C(1，4) ………………… 4分
∵ DE＝2,
∴
∴BD＝1．
∴B(4，0). ……………………………………………………………5分
（3）∵抛物线的对称轴是，
∴P在直线CE 上.
过点P作PF⊥BC于F.
由题意，得PF＝PE.
∵∠PCF =∠BCE, ∠CFP =∠CEB =90°,
∴△PCF ∽△BCE.
∴ ．
由题意，得BE=3，BC=5.
①当点P在第一象限内时，设P(1，a) (a＞0).
则有 解得
∴点P的坐标为. ……………………………………………6分
②当点P在第四象限内时，设P(1， a) (a＜0)
则有 解得
∴点P的坐标为.……………………………………………7分
∴点P的坐标为或.
九、解答题（本题满分8分）
25．解：（1）由题意，得
解这个方程组，得 …………………………………… 1分
∴ 抛物线的解析式为y =－x2+2x＋3. ……………………………2分
（2）令，得.
解这个方程，得. ．
令，得．．
．
过点作轴于点．
∵．
要使或，
已有，则只需或成立．
若成立，
则有．
在中，由勾股定理，得
．
∴．
．
点的坐标为． ……………………………………………4分
若成立，则有
在中，由勾股定理，得．
∴．
．
点的坐标为． ……………………………………………5分
点的坐标为或．
（3）点M的坐标为或或． ……………………8分