2.6 应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
基础题
知识点 利用一元二次方程解决几何问题
1．(天水中考改编)一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是( )
A．6 B．3
C．4 D．12
2．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )
A．2x·x＝24
B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24
D．(10－2x)(8－x)＝48
3．(咸宁中考)用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
4．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
[来源:学,科,网]
A．7 m
B．8 m
C．9 m
D．10 m
5．(济南中考)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( )
A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm
6．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．
(1)请找出上述问题中的等量关系：________________________________；
(2)若设大矩形空地的宽为x m，可列出的方程为____________________________，方程的解为____________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为____________．
7．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.
9．如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是1∶2，其中小正六边形的边长为(x2－4)cm，大正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x＞0)．求这根铁丝的总长．
中档题
10．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．0.5 cm
B．1 cm
C．1.5 cm
D．2 cm
11．如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)．现有砌60米长的墙的材料．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
12．甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1 h，甲往东走了4 km，乙往南走了6 km.
(1)这时甲、乙两人相距多少千米？新_课_标第_一_网
(2)按这个速度，他们出发多少小时后相距13 km?
综合题
13．小明和同桌小聪在课后复习时，对下面的一道思考题进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时点B到墙AC的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动米？
解完【思考题】后，小聪提出了如下两个问题：
(1)在【思考题】中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
(2)在【思考题】中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
参考答案
基础题
1．A 2.D 3.D 4.A 5.D 6.(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积 (2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312 x＝14或x＝－11(宽应为正数，故舍去) 28 m、14 m 7.5.1 8.2或4
9.由题意，得2(x2－4)＝x2＋2x，整理，得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2(舍去)．
∴x2－4＝12，x2＋2x＝24.则铁丝长为12×6＋24×6＝216(cm)．
中档题
10．B
11.(1)设矩形花园的长BC为x米，则其宽为(60－x＋2)米，依题意列方程，得(60－x＋2)x＝300，整理，得x2－62x＋600＝0，解得x1＝12，x2＝50.∵28＜50，∴x2＝50不合题意，舍去．∴x＝12.答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．(2)由题意得(60－x＋2)x＝480，整理，得x2－62x＋960＝0，解得x1＝32，x2＝30.∵28＜30＜32，∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去．答：不能围成480平方米的矩形花园．
12.(1)如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，∵OA＝4 km，OB＝6 km，∴AB2＝AO2＋BO2＝42＋62＝52.∴AB＝2 km.∴甲、乙两人相距2千米．
(2)设出发x小时后相距13 km，则AB＝13 km，AO＝4x，BO＝6x，∴16x2＋36x2＝132.解得x＝.∴按这个速度，他们出发 h后相距13 km.
综合题
13．0.8
(1)不会是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6，1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A1C2＋B1C2≠A1B，∴该题的答案不会是0.9米．
(2)有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得x＝1.7或x＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．