专题训练(七) 相似三角形的基本模型
下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．
模型1 X字型及其变形
(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.
1．(恩施中考)如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于( )
A．1∶4 B．1∶3
C．2∶3 D．1∶2
(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是________．
3．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
[来源:Zxxk.Com]
模型2 A字型及其变形
(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.
4．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长．[来源:Zxxk.Com]
5．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.
6.如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.
模型3 双垂型
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为( )
A．3 B．15
C．9 D．3＋3
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4, 那么CD＝________，AC＝________.
模型4 M字型
Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.
9．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．
[来源:学科网]
[来源:学科网]
10．(常州中考改编)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.[来源:Zxxk.Com]
(1)求证：△ABE∽△DEF；
若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
参考答案
1．D 2. 3.∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴＝，即＝.∴DF＝4. 4.∵BE＝2AB，AB＝3，∴BE＝6，AE＝9.∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AF.∴△EBC∽△EAF.∴＝.∴AF＝＝＝. 5.证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB.∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.∴＝. 6.证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB.∴＝.又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴＝.∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝. 7.B 8.6 3 9.∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴＝.又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∴＝.∴AB＝4. 10.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3.∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝.∴DE＝2.又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.∴＝，即＝.∴GC＝6.∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10.
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