专题训练(二) 特殊平行四边形的性质与判定
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的面积．
2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
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(2)若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．
3．(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
[来源:学§科§网]
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.
(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
(2)求菱形AFCE的边长．
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5．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：
(1)四边形CFEG是矩形；
[来源:学科网]
(2)AE＝FG.
[来源:Zxxk.Com]
6．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
参考答案
1.∵AE∥BC，DE∥AC， ∴四边形AEDC是平行四边形． ∴AE＝CD.在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴∠ADB＝90°，BD＝CD. ∴BD＝AE. ∴四边形AEBD是矩形．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝5，CD＝BC＝3， ∴AD＝＝4. ∴四边形AEBD的面积为BD·AD＝CD·AD＝3×4＝12.
2.(1)证明：连接BD，交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵AE＝CF， ∴OE＝OF. ∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形．
（2）∵∠DAB＝60°，四边形ABCD是菱形， ∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°.
∵AD＝6， ∴OD＝AD＝3.
∵AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°.
在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE＝2， ∴菱形BEDF的周长为4DE＝8.
3.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.
由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF， ∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°. ∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.
∵AD∥BC， ∴∠EDM＝∠FBN. ∴△EDM≌△FBN(ASA)． ∴ED＝BF.
又∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形．
（2）∵四边形BFDE是菱形， ∴∠EBD＝∠FBD.
∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝×90°＝30°. ∴AE＝BE.
由勾股定理得AB＝AE.
在Rt△ABE中，AB＝2， ∴AE＝，BE＝. ∴ED＝. ∴AD＝2. ∴S△ABE＝AB·AE＝，S矩形ABCD＝AB·AD＝4. ∴S菱形BFDE＝4－2×＝.
4.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO.
∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴OE＝OF.
∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形．
（2）∵四边形AFCE是菱形， ∴AF＝FC.设AF＝x cm，则CF＝x cm，BF＝(8－x)cm，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°. ∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， ∴AF＝5 cm，即菱形AFCE的边长为5 cm.
5.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD， ∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°. ∴四边形EFCG为矩形．
(2)连接EC.
∵四边形EFCG为矩形， ∴FG＝CE.
又∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ABE＝∠CBE.
在△ABE和△CBE中， ∴△ABE≌△CBE(SAS)． ∴AE＝CE. ∴AE＝FG.
6.(1)证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD.
（2）四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点， ∴AD＝BD.
∵CE＝AD， ∴BD＝CE.
∵BD∥CE， ∴四边形CDBE是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD. ∴四边形CDBE是菱形．
（3）当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴AC＝BC.
∵D为AB中点， ∴CD⊥AB. ∴∠CDB＝90°.
∵四边形CDBE是菱形， ∴四边形CDBE是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．
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