第1课时 矩形的性质
基础题
知识点1 矩形的定义
1．已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且∠A＝90°，则四边形ABCD为________．
知识点2 矩形的性质
2．下列命题是假命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．矩形的对边相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形的对角线互相垂直
3．(黄石中考)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．(益阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
5．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为________．
6．(济南中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长．
7．(钦州中考)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF.
[来源:学§科§网]
知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．小明、小强、小刚家在如图所示的点A、B、C三个地方，它们的连线恰好构成一个直角三角形，B，C之间的距离为5 km，新华书店恰好位于斜边BC的中点D，则新华书店D与小明家A的距离是( )
A．2.5 km B．3 km C．4 km D．5 km
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )
A．20 B．18 C．14 D．13
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB＝OA＝2 cm，则AD的长为________．
中档题
11．(鄂尔多斯中考)如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为( )
A．14 B．16 C．17 D．18
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为( )
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
13．(苏州中考)如图，在矩形ABCD中，＝，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·ED＝，则矩形ABCD的面积为________．
14．(宁夏中考)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.
15．(沈阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
综合题
16．(玉林、防城港中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
[来源:Zxxk.Com]
(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
参考答案
1.矩形 2.D 3.C 4.D 5.5
6.∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°.
∴△AOB是等边三角形．
∴AO＝AB＝4.
∴AC＝2AO＝8.
7.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE.
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF.
8.A 9.C 10.2 cm 11.D 12.C 13.5
14.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90°.[来源:学科网ZXXK]
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
又∵AD＝AE，
∴△ADF≌△EAB(AAS)．
∴DF＝AB.
又∵AB＝DC，
∴DF＝DC.
15.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC.
∴OD＝OC.
∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.
在△ODE与△OCF中，
∴△ODE≌△OCF(SAS)．
∴OE＝OF.
16.(1)当△CDQ≌△CPQ时，DQ＝PQ，CP＝CD＝5，
在Rt△BCP中，有PB＝＝＝4，
∴AP＝1.
在Rt△APQ中，设AQ＝x，则PQ＝DQ＝3－x.
根据勾股定理，得AQ2＋AP2＝PQ2，即x2＋12＝(3－x)2.[来源:Z*xx*k.Com]
解得x＝，即AQ＝.
（2）过M作EF⊥CD于F，交AB于点E，则EF⊥AB.
∵MD⊥MP，
∴∠PMD＝90°.
∴∠PME＋∠DMF＝90°.
∵∠FDM＋∠DMF＝90°，
∴∠MDF＝∠PME.
∵M是QC的中点，
∴DM＝PM＝QC.
在△MDF和△PME中，
∴△MDF≌△PME(AAS)．
∴ME＝DF，PE＝MF.
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD.
∵QM＝MC，
∴DF＝CF＝DC＝，
∴ME＝，FM＝3－＝.
∵FM是△CDQ的中位线，
∴DQ＝2×＝1.
∴AQ＝3－1＝2.
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