《一元二次方程》复习纲要及测验题
【意义建构】
一、一元二次方程的基础知识
从实际问题中抽象出一元二次方程
（1）我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格。某种药经过两次降价，由每盒60元调至52元。若设每次降价的百分率为x，则由题意义可列方程_________________________.
（2）一个矩形花园，它的长比宽的2倍少，若设宽为x m，面积为，则关于的方程为________________________________.
一元二次方程的概念及其一般式
（1）下列方程中，是一元二次方程的是 .
①3x2+(1+x) +1=0; ②3x2++1=0; ③ 4x2=ax(其中a为常数); ④ 2x2+3x
⑤=2x; ⑥=2x; ⑦｜x2+2x｜=4
（2）方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.
（3）关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x++3=0是一元一次方程，则x为 。
（4）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是－3，一次项系数是2： 。
二、配方法：用配方法解简单的数字系数的一元二次方程
1、填空:（1）若x2=9，则x1=__________,x2=__________.
（2）若2(x－2)2=50，则x1=__________,x2=__________.
（3）若x2－kx+4满足完全平方公式，则k= .
（4）若x2－6x－a满足完全平方公式，则a= .
2、选择题:
（1）方程4x2－0.3=0的解是( )
A. B.
C. D.，
（2）已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是（ ）
A.c=0 B.c=0或a、c异号
C.c=0或a、c同号 D.c是a的整数倍
（3）关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是
A.有两个解x=± B.当n≥0时，有两个解x=±－m
C.当n≥0时，有两个解x=±; D.当n≤0时，方程无实根
3、用配方法解下列各题:
（1）x2－2x－99=0 （2）2x2+4=6x
4、x2+ y2+4x–6y+13=0, x、y 为实数，求xy的值。
三、公式法：用公式法解简单的数字系数的一元二次方程（公式法实际上是配方法的一般化和公式化）
1、方程3x2－8=7x化为一般形式是__ ___________，a=___,b=____,c=___,
b2－= .方程的根x1=__________,x2=__________.
2、在方程中，b2－= ，当k 时，这个方程有解。
3.解方程：x2+5x=7(用公式法)
四、分解因式法：会用分解因式法（提取公因式法、公式法）解简单的数字系数的一元二次方程.
1、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A、x(x+2)=x ，两边同除以x，∴x+2=0
B、(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1
C、(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3
D、(2x－2)(3x－4)=0 ∴2－2x=0或3x－4=0
2、解下列方程：（用因式分解法）
(1) 2x2= 3x (2) x2－8x+16=0
五、体会“转化”、“整体”、“换元”的数学思想方法
1、“转化”：把一元二次方程转化为一元一次方程。
(x －1 ) (3x +1 ) = 0 x－1=0，3x +1 = 0
2、“整体”： (x+1)2=(2x－1)2
3、“换元”：(x2 －1 )2 － 5(x2 －1 ) + 4 = 0
六、列方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性
1、一矩形舞台长a米，主持人报幕时应站在舞台的黄金分割点处，主持人应站在舞台一端 米远的地方。
2、某农场计划修一条横断面为等腰梯形的渠道，横断面积为1.35平方米，上口宽比渠底宽多，渠深比渠底宽，则渠道的上口宽和渠深各是多少米？
【结构迁移】
一、填空题:
1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .
2、若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .
3、请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， .
4、关于x的方程(m－3)x－x=5是一元二次方程，则m=_________.
5、已知y=x2+x－6，当x是_________时，y的值等于24.
6、－1是方程x2+bx－5=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________.
7、已知方程ax2+bx+c=0的一个根是－1，则a－b+c=___________.
8、方程的根是___________；方程的根是___________。
9、在方程 中，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ；
10、若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .
11、一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为x，则可列出方程________________
12、将方程3x2+8x =3转化为的形式为 。
二、选择题:
1、方程2x2－3=0的一次项系数是（ ）
A.－3 B C.0 D.3
2、若一元二次方程(m－2)x2+3(m2+15)x+m2－4=0的常数项是0，则m为（ ）
A.2 B.± C.－2 D.－10
3、若代数式x2+5x+6与－x+1的值相等，则x的值为（ ）
A.x1=－1，x2=－5 B.x1=－6，x2=1; C.x1=－2，x2=－3 D.x=－1
4、已知y=6x2－5x+1，若y≠0，则x的取值情况是（ ）
A.x≠且x≠1 B.x≠ C.x≠ D.x≠且x≠
5、方程的根的情况是（ ）
（A）方程有两个不相等的实数根; （B）方程有两个相等的实数根;
（C）方程没有实数根; （D）方程的根的情况与的取值有关
6、若一元二次方程 2x（kx－4）－x2＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ）
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
7、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为 D.3y2-4y-2=0化为
8、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）．
A.若x2=4，则x＝2
B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1
C.若x2+2x+k=0的一个根为1，则
D.若分式的值为零，则x＝1，2
9、据（武汉市2002年国民经济和社会发展统计公报）报告：武汉市2002年国内生产总值达1493亿元，比2001年增长11.8％．下列说法：
① 2001年国内生阐总值为1493（1－11.8％）亿元；
②2001年国内生产总值为亿元；
③2001年 国内生产总值为亿元；
④若按11.8％的年增长率计算，2004年的国内生产总值预计为1493（1＋11.8％）亿元．其中正确的是（ ）
A.③④ B.②④ C.①④ D.①②③
三、解方程:
1、分别用下列方法解方程
（1）（直接开平方法） (2)4x2–8x+1=0（配方法）
（3）3x2+5(2x+1)=0（公式法）; （4）（因式分解法）
2、用适当的方法解方程:
（1）(x+3)(x－1)=5 （2）
（3）(t－3)2+t=3
四、解答题:（每小题7分，计35分）
1、求证：不论k取什么实数，方程x2–(k+6)x+4(k－3)=0一定有两个不相等的实数根.
2、（2007湖南株州）已知x＝1是一元二次方程的一个解，且，
求 的值.
3、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取≈1.41)
4、已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
2、3、4题答案:
2解：把x＝1代入方程，得：＋＝40，又
所以，＝＝＝20。
3.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2
∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)。
∴x≈0.41。
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。
4.解：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + = p2－（m + 2）p + ，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为=
=
=，
∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．