专题06 一元二次方程
新知预习
（一）一元二次方程的相关概念
（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
①只含有一个未知数；
②所含未知数的最高次数是2；
③整式方程。
（二）一元二次方程的解
（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
新知训练
考点1：一元二次方程的定义
典例1：（2025春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．（a，b，c均为常数）
C． D．
【变式1】（2025秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
【变式3】（2025秋·江苏镇江·九年级统考期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：利用一元二次方程的定义求字母的值
典例2：（2025秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．
【变式1】（2025春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）已知关于x的一元二次方程，则_____．
【变式2】（2025秋·河南开封·九年级统考期末）若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可）
【变式3】（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期末）是一元二次方程，则_____．
考点3：一元二次方程的一般式
典例3：（2025春·浙江·八年级专题练习）一元二次方程的一般形式是 _____________．
【变式1】（2025秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程化为一般形式为__________，其中________，________，________．
【变式2】（2025秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项是___________．
【变式3】（2025秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则______．
考点4：一元二次方程解的应用（代入）
典例4：（2025·山东济南·统考一模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于______．
【变式1】（2025·山东东营·统考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
【变式2】（2025秋·广东广州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是_______．
【变式3】（2025秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设，是方程的两个根，则__________．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·江苏淮安·九年级统考期中）一元二次方程x2＝2﹣3x化成ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A．0，2，﹣3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．1，3，﹣2
2．（2025秋·河北唐山·九年级统考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝2x+3 B．x2＋1＝2xy C．x2＋＝3 D．2x＋y＝1
4．（2025秋·广西桂林·九年级统考期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025秋·贵州铜仁·九年级统考期中）方程是关于的一元二次方程，则的值不能是（ ）
A．0 B．1 C． D．-1
6．（2025秋·江苏宿迁·九年级校考期末）下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025贵州安顺·中考真题）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
8．（2025秋·山东·九年级校考期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．4 B．1 C．0 D．−1
9．（2025秋·湖北荆州·九年级统考阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．（2025·全国·九年级专题练习）若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2018 B． C．2019 D．
二、填空题
11．（2025春·八年级单元测试）已知关于的一元二次方程有一个根为，则 _______．
12．（2025秋·山东滨州·九年级统考期中）若关于x的方程（m﹣1）﹣x＝1是一元二次方程，则m＝_____．
13．（2025秋·天津南开·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是__________．
14．（2025秋·九年级单元测试）已知代数式4x2－mx＋1可变为(2x－n)2，则mn＝________．
15．（2025·重庆万州·九年级校联考期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0(a≠0)的一个根，则代数式2015﹣2a+2b的值为_____．
16．（2025·江苏淮安·统考三模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则2﹣m﹣n的值为_____．
三、解答题
17．（2025秋·八年级课时练习）判断下列方程哪些是一元二次方程．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
18．（2025秋·九年级校考课时练习）a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
19．（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐八一中学校考期中）解方程
(1)；
(2)
20．（2025秋·福建龙岩·九年级阶段练习）关于x的一元二次方程有一根为0，求m的值．
21．（2025·广东·统考一模）已知关于的方程的一根为，求的值，并把多项式分解因式．
22．（2025春·八年级课时练习）当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
23．（2025秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：÷，其中m是方程的根．
24．（2025秋·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
25．（2025秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．