专题06 一元二次方程
新知预习
（一）一元二次方程的相关概念
（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
①只含有一个未知数；
②所含未知数的最高次数是2；
③整式方程。
（二）一元二次方程的解
（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
新知训练
考点1：一元二次方程的定义
典例1：（2025春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．（a，b，c均为常数）
C． D．
【答案】C
【分析】根据形如（a，b，c均为常数）的整式方程判断即可．
【详解】A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、是一元二次方程，故不符合题意；
C、整理得是一元二次方程，故符合题意；
D、整理得不是一元二次方程，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如（a，b，c均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式1】（2025秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A、当时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；
C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式2】（2025秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】A. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式3】（2025秋·江苏镇江·九年级统考期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可解答．
【详解】A．不是整式方程，故不符合题意；
B．方程化简可得不是一元二次方程，故不符合题意；
C．是二元一次方程，故不符合题意；
D．是一元二次方程，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是整式方程，只含有一个未知数且未知数的项的次数最高为2次是解题的关键．
考点2：利用一元二次方程的定义求字母的值
典例2：（2025秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．
【变式1】（2025春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）已知关于x的一元二次方程，则_____．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程的定义，列式计算即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，且，
解得．
故答案是：4．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是解题的关键．
【变式2】（2025秋·河南开封·九年级统考期末）若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，据此即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴
解得：，
∴的值可以是0（答案不唯一）．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【变式3】（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期末）是一元二次方程，则_____．
【答案】4
【分析】根据形如的方程为一元二次方程解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，，
∴或，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟记定义是解本题的关键．
考点3：一元二次方程的一般式
典例3：（2025春·浙江·八年级专题练习）一元二次方程的一般形式是 _____________．
【答案】
【分析】利用整式的乘法运算展开，然后整理即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
所以，一般形式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式1】（2025秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程化为一般形式为__________，其中________，________，________．
【答案】 1 1
【分析】根据等式性质将方程化为一般形式，得出a、b、c的值即可．
【详解】解：方程化为一般形式为，
∴，，．
故答案为：；1；；．
【点睛】本题主要考出了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式．
【变式2】（2025秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项是___________．
【答案】
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，
变为，
故常数项是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
【变式3】（2025秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则______．
【答案】
【分析】先化为一般形式，根据一元二次方程的一般形式，得出的值，进而即可求解．
【详解】解：
整理得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）．
考点4：一元二次方程解的应用（代入）
典例4：（2025·山东济南·统考一模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】把代入得，
解得，
而，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式1】（2025·山东东营·统考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
【答案】2025
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2025．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握定义是解题的关键．
【变式2】（2025秋·广东广州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是_______．
【答案】
【分析】把代入方程中得到，再把整体代入所求式子中进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，数值一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式3】（2025秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设，是方程的两个根，则__________．
【答案】4
【分析】首先根据题意得到，，然后代入求解即可．
【详解】∵，是方程的两个根，
∴，
∴，，
∴
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·江苏淮安·九年级统考期中）一元二次方程x2＝2﹣3x化成ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A．0，2，﹣3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．1，3，﹣2
【答案】D
【分析】先移项有x2+3x-2=0，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．
【详解】方程x2=2-3x化成一般式为x2+3x-2=0，
则a=1，b=3，c=-2，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
2．（2025秋·河北唐山·九年级统考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解: A. ,分母中含有未知数,是分式方程;
B. ,是一元二次方程;
C. ,是一元二次方程;
D. ,是一元二次方程.
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．（2025秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝2x+3 B．x2＋1＝2xy C．x2＋＝3 D．2x＋y＝1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”即可得.
【详解】B、D两项都含两个未知数，C项不是整式方程，因此这三项都不符合题意；A项符合题意
故答案为：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键.
4．（2025秋·广西桂林·九年级统考期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是二元二次方程；不符合题意；
B、是分式方程；不符合题意；
C、是一元二次方程；符合题意；
D、方程中，没有说明、为常数，所以该方程是三元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义；理解一元二次方程的定义内容是解题的关键．
5．（2025秋·贵州铜仁·九年级统考期中）方程是关于的一元二次方程，则的值不能是（ ）
A．0 B．1 C． D．-1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念可知，求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，根据题意得出是解本题的关键．
6．（2025秋·江苏宿迁·九年级校考期末）下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键．
7．（2025贵州安顺·中考真题）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
【答案】B
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【详解】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
8．（2025秋·山东·九年级校考期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．4 B．1 C．0 D．−1
【答案】C
【分析】把直接代入可得答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
9．（2025秋·湖北荆州·九年级统考阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程求解参数即可．
【详解】将代入原方程得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，理解“方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值”是解题关键．
10．（2025·全国·九年级专题练习）若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2018 B． C．2019 D．
【答案】A
【分析】把x=a代入，得，代入，即可求解．
【详解】∵a是方程的一个根，
∴，即：，
∴，
故选A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，用较低次幂代数式替换较高次幂代数式，进行降幂，是解题的关键．
二、填空题
11．（2025春·八年级单元测试）已知关于的一元二次方程有一个根为，则 _______．
【答案】0
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可求得a﹣b+c的值，变形即可得到结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根为﹣1，∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），∴（﹣1）2•a﹣b+c＝0，即a﹣b+c＝0，∴b-a-c=0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．（2025秋·山东滨州·九年级统考期中）若关于x的方程（m﹣1）﹣x＝1是一元二次方程，则m＝_____．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义可直接进行列式求解即可．
【详解】解：根据题意，得：m﹣1≠0且m2+1＝2，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
13．（2025秋·天津南开·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】若一元二次方程有两不等根二次项系数不为0，则根的判别式建立关于m的不等式，解关于m不等式即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，，
∴
∴，
解得，
∴实数的取值范围是且．
故答案为且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①⇔方程有两个不相等的实数根；②⇔方程有两个相等的实数根；③⇔方程没有实数根，要注意二次项系数不为0．
14．（2025秋·九年级单元测试）已知代数式4x2－mx＋1可变为(2x－n)2，则mn＝________．
【答案】4
【详解】(2x－n)2=4x2－4nx＋,
所以-4n=-m,=1,
所以n=,n=-1,m=-4, mn＝4.
n=1,m=4, mn＝4.
15．（2025·重庆万州·九年级校联考期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0(a≠0)的一个根，则代数式2015﹣2a+2b的值为_____．
【答案】2011
【分析】把代入方程即可求得的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个根，
，
，
．
故答案为2011．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
16．（2025·江苏淮安·统考三模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则2﹣m﹣n的值为_____．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0，即可求得m+n的值．
【详解】∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，
∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，
∴1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1，
∴2﹣m﹣n＝2﹣（m+n）＝2+1＝3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．正确理解方程的解的含义是解答此类题目的关键．
三、解答题
17．（2025秋·八年级课时练习）判断下列方程哪些是一元二次方程．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【答案】（1）（4）
【分析】本题根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】方程（1）符合一元一次二次方程的定义，故正确．
方程（2）为分式方程，故错误．
方程（3），为二元二次方程，故错误．
方程（4），符合一元二次方程定义，故正确．
方程（5）经化简为4x=0，该方程为一元一次方程，故错误．
故一元二次方程为（1）（4）．
【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
18．（2025秋·九年级校考课时练习）a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
【答案】a≠0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可得到a的值．
【详解】方程a(x+x)=x−(x+1)整理得：ax +(a+1−)x+1=0，
∵方程为一元二次方程，
∴a≠0
【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的定义
19．（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐八一中学校考期中）解方程
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的解法“配方法”求解即可．
（2）根据一元二次方程的解法“因式分解法”求解即可．
(1)
解：
移项得
配方
解得：．
(2)
解：
移项
或
解得：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的常见解法“直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法”以及能够根据方程的特点找准合适的解法是快速解决本题的关键．
20．（2025秋·福建龙岩·九年级阶段练习）关于x的一元二次方程有一根为0，求m的值．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得到关于m的方程，然后解方程即可．
【详解】解：把代入，得：
，
解得，
又，
解得，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．（2025·广东·统考一模）已知关于的方程的一根为，求的值，并把多项式分解因式．
【答案】
【分析】先将代入方程解出，再把m得值代入多项式，根据十字相乘法分解因式即可.
【详解】把代入方程得：，
解得：，
即．
【点睛】本题考查方程的解和用十字相乘法分解因式. 能利用十字相乘法进行分解因式是解决本题的关键.
22．（2025春·八年级课时练习）当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
【答案】（1）m≠±1；（2）m=﹣1；（3）m=．
【详解】【试题分析】（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2，化为一般式得： ，
（1）根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，即 ，解得m≠±1；
（2）根据一元一次方程的定义，要求二次项不存在，即二次项系数为0，且一次项系数不为0，即 ，解得：m=﹣1；
（3）根据方程的根的定义将x=﹣2代入 ，得： ， 解得：m1= ，m2=﹣1，又因为，所以m=．
【试题解析】原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4=0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时，是一元一次方程；
（3）x=﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，
解得，m1=，m2=﹣1（舍去）．即m=．
23．（2025秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：÷，其中m是方程的根．
【答案】
【分析】先将括号内的进行通分，再将除法转换成乘法，从而进一步将含m的式子进行化简，最后整体代入求值即可
【详解】原式===
又因为m为的根
所以
所以
所以原式=
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程根的意义，熟练掌握相关概念是关键
24．（2025秋·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
【答案】
【分析】首先把原式化简，再根据方差解得定义得到代数式a（a+4）=21，代入原式求解．
【详解】解：原式=
=
=
=
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a=21，
即a（a+4）=21，
原式=．
【点睛】本题考查整式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
25．（2025秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
【答案】(1)m＝3
(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
（1）
由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）
由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或，
解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，
当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．