专题04 一次函数
一、单选题
1．（2025春·湖北武汉·八年级统考期末）已知函数是正比例函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义可知k-1≠0，b-2=0，从而可求得k、b的值．
【详解】解：∵y=（k-1）x+b-2是正比例函数，
∴k-1≠0，b-2=0．
解得；k≠1，b=2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义得到k-1≠0，b-2=0是解题的关键．
2．（2025春·山东临沂·八年级统考期末）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图像可知, 当时，x的取值范围是.
故选A.
3．（2025秋·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义：对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数．再结合图象，可得到答案．
【详解】解：由函数的定义，可知B选项中，一个值，有两个值与之对应，不符合函数定义，
故选：B．
【点睛】本题考查函数的定义，理解函数的定义，一个只能对应一个，再结合函数图象解题是关键．
4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相等
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
【答案】C
【详解】A．根据图象可得，乙前4秒行驶的路程为12×4=48米，正确，不符合题意；
B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒，正确，不符合题意；
C．根据图象可得两车到第3秒时速度相同，但是行驶的路程不相等，故本选项错误，符合题意；
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度，正确，不符合题意；
故选C．
5．（2025秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知点（﹣6，y1），（8，y2）都在直线y=﹣x﹣6上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能比较
【答案】A
【分析】把点（﹣6，y1），（8，y2）代入y=﹣x﹣6可求出y1与y2的值，比较后即可得出结论
【详解】解：∵点（-6，y1），（8，y2）都在直线y=-x-6上，
∴y1=0，y2=-14．
∵0＞-14，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键．
6．（2025春·八年级课时练习）如图，线段AB对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的待定系数法，即可求解．
【详解】由题意得： ，
设线段AB所在直线对应的函数解析式为：，
把A与B的坐标代入得：，解得，
则线段AB对应的函数解析式为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的待定系数法，掌握待定系数法是解题的关键．注意：一次函数自变量的取值范围．
7．（2014·浙江温州·统考中考真题）一次函数的图像与y轴交点的坐标是（ ）
A．（0，-4） B．（0，4） C．（2，0） D．（-2，0）
【答案】B
【分析】根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标，由此即可得答案.
【详解】令x=0，得y=2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选B．
8．（2025秋·四川自贡·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x2+ax+ab=0的两实数根互为倒数，则函数y=ax+b不经过的象限有（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系及两实数根互为倒数可得，,可知两实数根同号，ab同号，可得a与b都为负数.
【详解】解：由一元二次方程x2+ax+ab=0的两实数根互为倒数，可得，，有当a为负数，b为负数满足条件，那么函数y=ax+b的图像即经过二、三、四象限，从而不经过第一象限.故选A.
【点睛】本题结合一元二次方程考查一次函数图像的判定，利用一元二次方程根与系数的关系以及一次函数图像性质进行分析求解.
9．（2025·陕西·九年级专题练习）如图，一次函数y＝x+6的图像与x轴，y轴分别交于点A、B．过点B的直线l交x轴于点C，BC平分△ABO的面积，则与直线l关于y轴对称的直线表达式为（ ）
A．y＝x+6 B．y＝x+6 C．y＝x+6 D．y＝﹣x+6
【答案】D
【分析】由一次函数y=x+6求得A、B的坐标，根据题意求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求得．
【详解】解：∵一次函数y=x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴令y=0，则求得x=-8，令x=0，求得y=6，
∴A（-8，0），B（0，6），
∵过点B的直线平分△ABO的面积，
∴AC=OC，
∴C（-4，0），
设直线的解析式为y=kx+6，
把C（-4，0）代入得-4k+6=0，
解得k=，
∴直线的解析式为y=x+6，
∴与直线关于y轴对称的直线表达式为y=-x+6，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
10．（2025春·全国·八年级专题练习）如图所示，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=（ ）
A．1 B．0 C．-4 D．-5
【答案】D
【分析】方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．
【详解】由图知：直线y=kx+b与x轴交于点(-5，0)，
即当x=-5时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=-5，
故选D.
【点睛】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．
11．（2025春·山东·八年级校考期中）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而增大
B．函数的图象不经过第一象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数的图象与轴的交点坐标是
【答案】C
【分析】根据一次函数的系数结合一次函数的性质，即可得知A、B选项不正确，代入y=0求出与之对应的x值，即可得出D不正确，根据平移的规律求得平移后的解析式，即可判断C正确，此题得解．
【详解】解：A、∵k=-2＜0，
∴一次函数中y随x的增大而减小，故 A不正确；
B、∵k=-2＜0，b=4＞0，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故B不正确；
C、根据平移的规律，函数的图象向下平移4个单位长度得到的函数解析式为y=-2x+4-4，即y=-2x，
故C正确；
D、令y=-2x+4中y=0，则x=2，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）故D不正确．
故选：C．
【点睛】此题考查一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
12．（2025·贵州贵阳·中考真题）若直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】∵直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），∴8=﹣2+a，8=2+b，
解得：a=10，b=6，∴a﹣b=4，
故选B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象交点，把点的坐标分别代入解析式求得a、b的值是解题的关键.
13．（2025秋·安徽宣城·八年级统考期末）下列图象中，y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可选出答案．
【详解】解：A、C、D选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，
只有B选项对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义．
故选：B．
【点晴】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
14．（2025·浙江·九年级专题练习）甲、乙两地高速铁路建设成功.试运行期间，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发.设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象分析出以下信息：①甲乙两地相距1000千米；②动车从甲地到乙地共需要4个小时；③表示的实际意义是动车的速度；④普通列车的速度是千米/小时；⑤动车到达乙地停留2小时后返回甲地，在普通列车出发后7.5小时和动车再次相遇.以上信息正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③⑤
【答案】A
【分析】①由x=0时y=1000的实际意义可得答案；②由拐点C得到答案；③拐点B表示两车相遇，表示两车的速度和；④拐点D表示普通列车到达终点共需12小时，速度为千米/小时；⑤
【详解】①由时，知，甲地到乙地相距1000千米，该信息正确；
②由拐点C得到：动车从甲地到达乙地需要4个小时，该信息正确；
③拐点B表示两车相遇，表示两车的速度和，该信息错误；
④拐点D表示普通列车到达终点共需12小时，速度为千米/小时，该信息正确；
⑤依题意，动车返回甲地追上普通列车只用了1.5小时，由③得动车的速度是：千米/小时，动车行驶的路程为：千米；而普通列车行驶的路程为：千米，该信息错误；
综上：①②④正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．
15．（2025秋·八年级课时练习）如图，直线与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，将直线沿轴向左平移，当点落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】先求出平移过B点的直线解析式，再求出其与x轴的交点坐标，交点记为C，把A点横坐标与C点的横坐标相减即可作答．
【详解】如下图，
过B作x轴垂线，垂足为D，记平移后的直线与x轴的交点为C，
对于直线，令y=0，解得x=4，∴A点坐标为(4,0)
∴OA=4
∵△OAB为等腰直角三角形，BD⊥x轴
∴易得OD=2，BD=2
∴B(2,2)；
设平移后的直线为：，把B(2,2)代入得2=1+b，解得b=1，
所以平移后的直线解析式为，令其y=0得
解之得x=-2
∴C(0,-2)，
∴OC=2
∴平移的距离为OA+OC=4+2=6．
故选：A．
【点睛】此题主要考查一次函数图象的平移的相关性质和求一次函数与x轴的交点坐标．其关键是要知道平移前后两直线解析式中的k相等
二、填空题
16．（2025春·辽宁大连·八年级统考期末）将正比例函数图象向上平移个单位．则平移后所得图图像的解析式是_____.
【答案】y=-2x+2
【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出结论．
【详解】解：正比例函数y=-2x的图象向上平移2个单位，则平移后所得图象的解析式是：y=-2x+2．
故答案为y=-2x+2．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
17．（2014秋·广东揭阳·八年级统考期末）一个正比例函数的图象经过点A（1，－2），B（a,2），则a的值为____________．
【答案】a=-1
【详解】试题分析：先用待定系数法求出正比例函数的解析式，再把B点坐标代入解析式即可求出a的值.
试题解析：设正比例函数的解析式为y=kx,
∵图象经过点A（1，－2），
∴k=-2
∴正比例函数的解析式为y=-2x,
把B（a,2）代入y=-2x,得a=-1
考点: 正比例函数图象上点的坐标特征.
18．（2025秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）函数的自变量的取值范围是___________.
【答案】x≠-3
【详解】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3．故答案为x≠﹣3．
19．（2012春·江苏苏州·九年级阶段练习）如图是函数y = 3−| x−2 |的图象，则这个函数的最大值是_____．
【答案】3
【详解】当x=2时，函数取得最大值3.
20．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是___________．
【答案】
【分析】当时，的函数图象与的函数图像相交，从而可得到方程的解．
【详解】解：一次函数和正比例函数的图象交于点，
当时，，
方程的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图像求解，解题的关键是数形结合．
21．（2025·八年级统考课时练习）将写成用的代数式表示的形式为______，那么______是______的函数，______是自变量.
【答案】
【分析】根据等式的性质将等式表示成左边为b右边为含a的代数式的形式即可，根据函数的定义填写后面三个空.
【详解】解：∵
移项可得：
将b的系数化为1得：.
根据函数的定义b是a的函数，a是自变量，b是因变量
故四个空依次填：，b，a，a.
【点睛】等式的性质和函数的定义.在用的代数式表示时可将a看成已知数，b看成未知数，解b的方程即可，理解函数的定义也是解决本题的关键.
22．（2025春·重庆铜梁·八年级统考期末）一次函数y=kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB═9，则k=__________
【答案】
【详解】分析：首先计算出与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．
详解：∵当x=0时，y=6，
∴与y轴的交点B(0,6)，
∵当y=0时，
∴与x轴的交点
∴△AOB的面积为：
解得：
故答案为
点睛：考查了利用一次函数解析式求直线与坐标轴的交点问题,并借助三角形的面积公式求系数，属于常见题型.
23．（2025春·辽宁鞍山·八年级校联考阶段练习）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第_____象限．
【答案】二、三、四
【详解】试题分析:根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．
解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．
故答案是：二、三、四．
考点：一次函数图象与系数的关系．
24．（2025春·黑龙江鹤岗·八年级校考期末）已知函数y=-3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则y1_____y2（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】＜.
【分析】分别把点A（-1，y1），点B（-2，y2）代入函数y=-3x，求出y1，y2的值，并比较出其大小即可．
【详解】∵点A（-1，y1），点B（-2，y2）是函数y=-3x上的点，
∴y1=3，y2=6，
∵6＞3，
∴y2＞y1．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
25．（2025·江苏无锡·统考一模）如图平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，4 ），B（8，0）．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=，则CE：DE的值是_____．
【答案】．
【详解】如图，过A作AF⊥OB于F，
∵A（4，4），B（8，0），
∴AF=4，OF=4，OB=8，
∴BF=8﹣4=4，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
∵tan∠AOB==，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△DBE，
∴ ，
设CE=a，则CA=a，CO=8﹣a，ED=b，则AD=b，DB=8﹣b，
∴ ，
∴32b=88a﹣11ab ①，
，
∴56a=88b﹣11ab ②，
②﹣①得：56a﹣32b=88b﹣88a，
∴，
即CE：DE=．
故答案为．
三、解答题
26．（2025秋·江苏·八年级专题练习）某种大米的单价是2.2元/，当购买大米时，花费为元．是的一次函数吗？是正比例函数吗？
【答案】，是的一次函数，也是的正比例函数
【分析】根据单价、数量、费用的关系可得函数关系式，然后结合正比例函数的标准形式判断即可．
【详解】解：根据题意：大米的单价是每千克2.2元，当购买x千克大米时，则所需要的费用为元，可得函数关系式为：
，
符合形式，
∴是正比例函数．
【点睛】题目主要考查正比例函数的应用及判断，理解题意，列出正比例函数是解题关键．
27．（2025·安徽宿州·八年级统考期末）为了减轻学生课业负担，提高课堂效果，我县教体局积极推进 “高效课堂”建设.
某学校的《课堂检测》印刷任务原来由甲复印店承接，其每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系如图所示：
⑴从图象中可看出：每月复印超过500页部分每页收费 元；
⑵现在乙复印店表示：若学校先按每月付给200元的月承包费，则可按每页0.15元收费.乙复印店每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为 ；
⑶在给出的坐标系内画出（2）中的函数图象，并结合函数图象回答每月复印在3000页左右应选择哪个复印店？
【答案】⑴0.2；⑵；⑶当每月复印3000页左右，选择乙店更合算.
【分析】(1) 根据题意可知, 在500页到1500页中间, 共有1000页要复印, 花费200元, 所以200每页需要==0.2元；
(2) 根据收费等于承包费加上复印费用列式即可.
(3) 根据函数图象选择3000页时费用低的复印店．
【详解】解：⑴0.2 ；
⑵ y=0.15x+200（x≥0）；
⑶画图象
由图像可知，当每月复印3000页左右，选择乙店更合算
【点睛】本题主要考查一次函数的应用.
28．（2025春·河北唐山·八年级统考期末）某市米厂接到加工大米任务，要求天内加工完大米.米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲、乙两车间各自加工大米数量与甲车间加工时间(天)之间的关系如图1所示；未加工大米与甲车间加工时间(天)之间的关系如图2所示，请结合图像回答下列问题
(1)甲车间每天加工大米__________；=______________；
(2)直接写出乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量与(天)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
【答案】解：(1)；； (2)，
【分析】（1）由图2可知，乙停工后，第二天均为甲生产的即186-165=20；第一天总共生产220-185=35，即a+20=35，所以a为15；
（2）由图1可知，函数关系式经过点（2，15）和点（5，120），即可得到函数关系式．且 2≤x≤5．
【详解】解：（1）由图2可知，乙停工后，第二天均为甲生产的，即186-165=20；
∴甲车间每天加工大米20t
第一天总共生产：220-185=35，
即a+20=35，所以a为15；
故答案为20（t），15
（2）设函数关系式y=kx+b
由图1可知，函数关系式经过点（2，15）和点（5，120），
代入得：y=35x-55，且 2≤x≤5．
【点睛】本题主要考查一次函数的知识点，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
29．（2025春·广东肇庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，．
(1)求直线的关系式；
(2)已知点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若，求点C的坐标．
【答案】(1)直线AB的解析式为
(2)点C的坐标为（2，2）．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据三角形的面积求得C的纵坐标为2，然后根据题意即可求得C的坐标．
（1）
解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）
∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴S△AOB＝＝4，
设C的纵坐标为n（n＞0），
∵点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，
∴C（n，n），
∵S△AOB＝2S△AOC，
∴S△AOC＝＝2，
∴n＝2，
∴点C的坐标为（2，2）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求求一次函数解析式，一次函数的性质，三角形面积，一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
30．（2025春·吉林长春·九年级长春外国语学校校考开学考试）一条公路经过A、C两个城市，甲车从A市到C市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y千米与甲车行驶的时间t小时的函数图像如图所示，结合图像信息解答下列问题：
(1)甲车的速度是______千米/时；
(2)求图像中线段MN所在直线的解析式．
【答案】(1)60
(2)
【分析】（1）由图像可知，两地距离为480千米，甲从到市共用8小时，，计算求解即可；
（2）由题意知，由得的值，进而得到点坐标，待定系数法求解一次函数解析式即可．
（1）
解：由图像可知，两地距离为480千米，甲从到市共用8小时
∴千米/时
故答案为：60．
（2）
解：由题意知
∴小时
∴
设MN所在直线的解析式为，
将，代入得
解得
∴
∴MN所在直线的解析式为．
【点睛】本题考查了函数图像，一次函数解析式等知识．解题的关键在于从图像上获取正确的信息．
31．（2025春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．直线m平行于x轴且经过C，D，E三点．直线l的关系式为．
(1)若是以AB为底的等腰三角形，当直线l过点D时，求b的值；
(2)当，且直线l与的边DE相交时，求点E的横坐标n的取值范围；
(3)若点F为的对角线BE与DA的交点，当直线l与线段EF有交点时，求点D的横坐标q的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件，先确定点D的坐标，然后把点D的坐标代入，即可得出b的值；
（2）根据平行四边形的性质，得出，用n表示出点D的坐标，根据直线，列出关于n的不等式组，解不等式组即可；
（3）表示出，，根据平行四边形的性质，中点坐标公式，求出点F的坐标，根据直线与EF有交点，列出不等式组，解不等式组，即可得出答案．
(1)
解：∵，，，
∴，
将，代入，得，
∴．
(2)
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
直线与边DE有交点，
∴，
解得
∴点E的横坐标n的取值范围为．
(3)
∵，
∴
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴
∵，
∴
∵直线与EF有交点，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，中点坐标公式，解不等式组，根据题意列出关于n的不等式组，是解题的关键．
32．（2025秋·陕西宝鸡·八年级统考期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）当为何值时，是的正比例函数？
【答案】（1）当时，是的一次函数；（2）当时，是的正比例函数．
【分析】（1）根据一次函数的定义可知当时，满足是的一次函数；
（2）根据正比例函数的定义即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，解得：，
所以当时，是的一次函数．
（2）由题意得：且，解得：，
所以当时，是的正比例函数．
【点睛】本题考查一次函数和正比例函数的定义，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题的关键．
33．（2025春·浙江·九年级期末）在新冠肺炎防疫工作中，某学校从商店购买测温枪和洗手液，已知测温枪的单价比洗手液单价多元，若用元购买测温枪的数量与用元购买洗手液的数量相同．
（1）求测温枪与洗手液的单价各是多少元?
（2）若该学校决定购进测温枪与洗手液数量共件，考虑到实际需求，要求购进洗手液的数量不超过测温枪的数量的倍，求该学校购买费用最少是多少元?
（3）该学校还需要购买口罩，口罩的单价每包元，若用元购买测温枪、洗手液与口罩这三种防疫用品，其中测温枪与洗手液的数量之比为，则该校至少可以购买这三种防疫用品共多少件?
【答案】（1）测温枪的单价为50元，洗手液的单价15元；（2）最小费用是4015元；（3）该校至少可以购买这三种防疫用品共280件．
【分析】（1）设洗手液的单价是x元，则测温枪的单价为（x＋35）元，根据题意列方程可得出答案；
（2）设购进测温枪a件，则购进洗手液（200−a）件，根据题意列不等式求出a的取值范围，再根据测温枪和洗手液的单价解答即可；
（3）设购进测温枪m件，则购进洗手液8m件，三种防疫用品共w件，根据题意求出w与m的关系式，并求出m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）设洗手液的单价是x元，则测温枪的单价为（x＋30）元，根据题意，
得： ，解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根，并符合题意，
15＋35＝50，
答：测温枪的单价为50元，洗手液的单价15元；
（2）设购进测温枪a件，则购进洗手液（200−a）件，根据题意，得：
200−a≤6a，
解得a≥28.6，且a为整数；
∵购买费用=50a＋15（200−a）＝35a＋3000，
∴当a取最小值，即a＝29时，购买费用最小，最小费用为：35×29＋3000＝4015（元）；
故购买29件测温枪，171件洗手液时费用最小，最小费用是4015元；
（3）设购进测温枪m件，则购进洗手液8m件，三种防疫用品共w件，根据题意，得：
w= ，即w＝−8m＋520，
又∵口罩数量=＞0，
∴m＜30.6，且m为整数，
由w＝−8m＋520，
∵−8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，w取最小值，w最小＝−8×30＋520＝280，
答：该校至少可以购买这三种防疫用品共280件．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．
34．（2025春·山东泰安·七年级校考期中）今年的全国助残日这天，某单位的青年志愿者到距单位6千米的福利院参加“爱心捐助活动”．一部分人步行，另一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往．如图，、分别表示步行和骑自行车的人前往目的地所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象．
(1)分别求、的函数表达式；
(2)求骑车的人用多长时间追上步行的人．
【答案】(1)，
(2)骑车的人用15分钟追上步行的人．
【分析】（1）可根据图象中的信息用待定系数法来确定，的函数式；
（2）骑车的人追上步行的人时，两人的路程正好相等，可根据（1）中得出的函数式，让两者相等求出时间．
（1）
解：设的表达式为，
由图象知过点（60，6），
∴60＝6，
∴，
∴，
即的表达式为，
设的表达式为，
由图象知过点（30，0）和（50，6）两点
∴，
解之得，
∴；
即的表达式为；
（2）
当骑车的人追上步行的人时，
，即x﹣9，
∴x＝45
∴45﹣30＝15（分钟）
答：骑车的人用15分钟追上步行的人．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一元一次方程的应用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
35．（2025·山东德州·统考一模）中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购头一批体育健身器材，已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．
(1)求篮球和排球的单价；
(2)某体育用品店有两种优惠方案，
方案一：每购买一个篮球就送一个排球；
方案二：购买篮球和排球的费用一律打七五折，该学校需要购买40个篮球和x个排球．
方案一的费用为元，方案二的费用为元．
①根据题目信息，直接写出与x的的函数表达式______；与x的函数表达式______；
②请根据购买排球的数量x设计一种比较省钱的购买方案．
【答案】(1)篮球和排球的单价分别为元，元．
(2)①（）；
②时，方案二省钱；，此时两种方案花钱一样多；，此时方案一省钱；
【分析】（1）设篮球和排球的单价分别为元，元，依题意列出方程组即可求解；
（2）①根据题意直接即可写出解析式；②分三种情况：；；即可找到比较省钱的购买方案．
(1)
解：设篮球和排球的单价分别为元，元，
依题意得 ，解得，
∴篮球和排球的单价分别为元，元．
(2)
根据题意得，（），
；
故答案为：（）；
若，则，解得，此时方案二省钱；
若，则，解得，此时两种方案花钱一样多；
若，则，解得，此时方案一省钱；
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，找到等量关系列出函数解析式是解题的关键．