专题01 二次根式
一、单选题
1．（2025春·天津津南·八年级统考期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得再解不等式即可．
【详解】解：由题意得
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．（2025春·山东淄博·八年级统考期末）二次根式中的x不能取下列哪个数？（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．3
【答案】D
【分析】根据二次根式（a≥0）进行计算即可判断．
【详解】解：由题意得：2-x≥0，
∴x≤2，
所以，上列数﹣3，0，，3中，x不能取3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
3．（2025春·全国·八年级专题练习）计算，结果为（ ）
A． B．1 C． D．11
【答案】A
【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．
【详解】
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．
4．（2025春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在、﹣、﹣、、中，最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：，，，最简二次根式有，，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2025秋·山西·九年级校联考期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】A、是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，不是最简二次根式；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
6．（2025春·云南普洱·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A. 利用幂的乘方与积的乘方运算即可；B. 先将化简，再将同类二次根式求和即可；C. 利用，注意要分类讨论；D.利用同底数幂的除法运算即可．
【详解】解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项错误；
C. ，当时，，当时，，故本选项错误；
D. ，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质以及加法运算，熟记运算法则是解答本题的关键．
7．（2025·全国·九年级专题练习）计算的结果是（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】先将被开方数约分化简，然后求算术平方根即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】此题主要考查二次根式的化简，灵活根据式子的特点选择方法是解题关键．
8．（2025春·河南洛阳·八年级统考期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】．根据算术平方根的算法进行求解即可得出答案；
．根据二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；
．根据二次根式加减运算进行计算即可得出答案；
．根据二次根式的除法法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：． ，
选项不符合题意；
． ，
选项不符合题意；
．，
选项不符合题意；
． ，
选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关建是熟练应用二次根式的混合运算法则进行求解．
9．（2025秋·广西钦州·八年级统考期中）若则等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：因为，且 ，（y + 2)2，所以=0， （y + 2)2 = 0，所以x-1=0，y+2=0，所以x=1，y=-2，所以=1，故选B．
考点：非负数的性质．
10．（2025春·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：若有意义，则，
解得，
所以，m能取的最小整数值是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
11．（2025·广东中山·校联考二模）下列计算正确的是（ ）
A．a B．a3÷a2=a3•a﹣2
C．2a2+a2=3a4 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质、同底数幂的除法法则、逆用同底数幂乘法法则、合并同类项的法则及完全平方公式，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：A. ，本选项计算错误；
B. ，本选项计算正确；
C. ，本选项计算错误；
D. ，本选项计算错误．
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的性质、同底数幂的除法法则、逆用同底数幂乘法法则、合并同类项的法则及完全平方公式，体现了数学运算的核心素养，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
12．（2025春·安徽阜阳·八年级校联考期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【详解】解：A. =3，故A不是最简二次根式；
B. ，是最简二次根式；
C. =2；故C不是最简二次根式；
D. =5；故D不是最简二次根式.
故选B.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．
13．（2025·全国·八年级假期作业）若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（ ）
A．1 B．﹣1 C．4+4 D．﹣2
【答案】A
【分析】将所求代数式利用配方法转化为2（a-2）2-9的形式，代入求值即可．
【详解】∵a=2-，
∴2a2-8a-1
=2（a-2）2-9
=2（2--2）2-9
=2×5-9
=1．
故选：A．
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
14．（2025春·八年级单元测试）估计的运算结果在哪两个整数之间？（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】先根据二次根式的混合运算法则计算出结果，再根据无理数的估算方法估算出范围即可得答案.
【详解】原式
∵，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，熟练掌握运算法则和估算方法是解题关键.
15．（2025秋·八年级单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用分母有理化进行计算即可.
【详解】由原式得：
所以，因为，,
所以.
故选C
【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.
二、填空题
16．（2025秋·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
17．（2025春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）使 成立的条件是_____________.
【答案】
【详解】解：由，
得6−x≥0，x-4≤0，
解得x≤4，
故答案为x≤4．
18．（2025秋·北京·八年级统考期中）若式子是二次根式，则的取值范围是_______________.
【答案】≥-4
【详解】解：根据题意得：x+4≥0．解得：x≥－4．故答案为x≥－4．
19．（2025春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）当__________时，式子有意义．
【答案】且
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x≥0，﹣2≠0，
解得，x≥0且x≠4，
故答案为：为任意实数；x≥0且x≠4．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
20．（2025春·全国·八年级专题练习）若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝___．
【答案】9
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
21．（2025春·江苏盐城·九年级阶段练习）在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣3
【详解】试题分析：因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．
解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
考点：函数自变量的取值范围．
22．（2025秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）化简：______.
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】∵9a3≥0，∴a≥0，∴ ．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，比较简单，熟记性质：|a|是解题的关键．
23．（2025·八年级课时练习）(2014河北)计算：．
【答案】2
【详解】由二次根式乘法法则得．
24．（2025春·浙江·八年级专题练习）当x取_____时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值_____．
【答案】 5 2
【分析】根据二次根式的性质可得的最小值，进而可得答案．
【详解】解：∵，∴当取最小值0时，代数式2﹣取值最大，此时5﹣x＝0，即x＝5时，代数式2﹣取值最大，这个最大值是2．
故答案为：5，2．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知二次根式是解答的关键．
25．（2025·全国·八年级假期作业）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____．
【答案】
【分析】根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键．
三、解答题
26．（2025春·上海·七年级校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
27．（2025春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行加减运算即可；
（2）先利用平方差公式和二次根式的除法进行计算，最后算减法即可.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式和二次根式的运算法则是解题的关键.
28．（2025春·河南安阳·八年级统考阶段练习）计算题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）先进行二次根式的化简，再进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算即可．
（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
29．（2025秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）计算：
（1）3+-
（2）．
【答案】（1）3﹣2；（2）﹣13．
【分析】（1）利用二次根式的加减混合运算即可；
（2）先计算立方、立方根、平方根再计算加减．
【详解】解：（1）原式=3+﹣5+2=3﹣2；
（2）原式=﹣8﹣2﹣3=﹣13．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的计算、二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
30．（2025春·安徽合肥·八年级校考期末）计算：+-
【答案】-1
【分析】根据零次幂，二次根式的性质与绝对值的性质，分母有理化进行计算即可求解．
【详解】解：+-
=1+-2-
=-1
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
31．（2025·湖北十堰·校联考一模）计算：
【答案】
【分析】依据有理数的乘方法则，零指数幂的性质，二次根式的性质进行计算和化简，然后再进行加减运算．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，乘方，零指数幂，二次根式的性质，结果化为最简二次根式．掌握相应的运算法则是解题的关键．
32．（2025春·河南安阳·八年级统考期中）计算：
(1)3×÷3；
(2)（+1）（﹣1）+．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再利用二次根式的乘除法来求解；
（2）利用平方差公式，分母有理化来化简，再利用二次根式的加减法运算法则求解．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，分理有理化，二次根式的加减法，乘除法的运算，理解运算法则和最简二次根式，分理有理化是解答关键．
33．（2025春·八年级课时练习）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）对原式化简后，根据二次根式减法运算法则计算即可；
（2）应用平方差公式和完全平方公式对原式化简，然后根据二次根式加减法运算法则计算即可；
（3）对原式化简后求值即可．
【详解】（1）原式==
（2）原式===
（3）原式==
故答案为（1）；（2）；（3）．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，负整数指数幂，零指数幂，和二次根式的混合运算，熟练掌握不同的运算法则是本题的关键．
34．（2025春·江苏无锡·八年级统考期中）计算或化简
(1)计算
(2)化简
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果；
（2）先把括号里的进行通分计算，然后再把除法转化为乘法，分解因式、约分即可得解．
【详解】（1）解：原式＝
=；
（2）解：原式=
=
=．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
35．（2025·福建泉州·统考一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】．
【详解】试题分析：本题考查了化简与代值计算，关键是正确进行化简，并准确代值计算．
试题解析：（本小题9分） 解：原式= 4分 = 6分
当时，原式= = 9分
考点：分式的化简求值．