期末复习——一元二次方程
1. 一元二次方程的概念：
（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。
（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），才能确定a、b、c的值。
2. 一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：
（2）配方法：
（3）公式法：
用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。
（4）因式分解法：
适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。
我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。
对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。
3. 一元二次方程根的判别式
根的判别式△＝b2－的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
4. 一元二次方程根与系数关系。
一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：
（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
……
运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。
5. 分式方程的解法
一般有两种：即去分母法和换元法。
解分式方程时，需要将方程的两边同时乘以各分式的最简公分母，从而约去各分母，把原来的分式方程转化为整式方程，在转化的过程中可能产生增根，所以在解分式方程时必须验根。
6. 二次三项式的配方
判断一元二次方程根的情况时常用
7. 十字相乘法
典型例题
例1. 判断下列方程是不是一元二次方程？
例2. 用直接开平方法一元二次方程：
1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3) ．
用配方法解一元二次方程：
1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．
用公式法解一元二次方程：
2．2x2+7x-4＝0； 3 .2y 2 -y=5 4．3x2+5(2x+1)=0
用因式分解法解一元二次方程：
1. 2.
3． 4．
四、用适当的方法解关于x的方程
1、 2、 3、
4、 5、 6、；
7、 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-）2+x2=5
10、 11、 12、
13、 14、
例3.当为何值时，关于的方程⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根。
例4.
求出这时方程的根。
例5.
解：
（6）由根的定义代进去，构成关于根的方程再降次。
例6.
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根。
（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。
解：
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根
（2）∵等腰三角形的一边长为1
∴要分类讨论
则底边为2
三边为1，1，2，不符合三角形两边之和大于第三边，舍去。
②当底边为1时，则两个腰为方程的两个根，即方程有两个相等的根
三边为2，2，1，符合三角形三边关系定理。
∴三角形的周长为5
选择题
1．2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
3．以3和为两根的一元二次方程是 （ ）
A． B．
C． D．
4．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份
平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C．50(1+2x)＝182 D．
5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
6．关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为( )
A．a=0 B．a=2 C．a=1 D．a=0或a=2
7．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．0或
8．设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（ ）
A． －4 B．－ C．1 D．0
9．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．一元二次方程有两个相等的实数根，则等于 （ ）
A． B．1 C．或1 D．2
12．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）
A．1 B． C．13 D．25
13．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
15．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ）
A．8 B． C．6 D．5
16．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）
A．6 B． C．8 D．9
17．设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2006 B． C．2008 D．2009
18．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
19．若方程的两根为、，则的值为（ ）
A．3 B．－ C． D．
20．方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
21．一元二次方程的解是（ ）
A．x1 = 0 ，x2 = B． x1 = 0 ，x2 =
C．x1 = 0 ，x2 = D． x1= 0 ，x2 =
22．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A．（ B． C． D．
23．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A． B．
C． D．
24．方程的两根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相同的实数根 D．不能确定
25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．＜1 B．≠0 C．＜1且≠0 D．＞1
26．对于一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定
27．方程根的情况是（ ）
A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
28．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
29．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．―1 D．3
30．如果方程有两个同号的实数根，则的取值范围是（ ）
A．＜1 B．0＜≤1 C．0≤＜1 D．＞0
31．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
32．一元二次方程的两个根为，，则等于（ ）
A.-2 B.2 C.-5 D.5
33．用换元法解方程，设，则原方程可化为 （ ）
A. B.
C. D.
34．用换元法解方程：.若设，则原方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
35．直角三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48 D．
36．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程的根，则的值为（ ）
A．-3 B．5 C．5 或-3 D．-5或3
37．用配方法将二次三项式变形，结果是（ ）
A. B.
C. D.
38．已知实数满足 ,那么的值为（ ）
A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2
39．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走千米，依题意得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
40．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本世纪的头二十年（2001年～2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（ ）
A．(1+x)2=2 B．(1+x)2=4 C．1+2x=2 D．(1+x)+2(1+x)=4
41．某学校用420元钱到商场去购买“消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
42．方程的解是 （ ）
A. B. C. D.
43．若关于z的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m
44．一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
45．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
46．关于x的方程的两根同为负数，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
47．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足．则k的值为（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
48．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0
49．某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200(1+a%)2=148 B．200(1－a%)2=148
C．200(1－%)=148 D．200(1－a2%)=148
50．下列方程中有实数根的是（ ）
A．x2＋2x＋3＝0 B．x2＋1＝0 C．x2＋3x＋1＝0 D．
51．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
52．解下面方程：（1）（2）（3），较适当的方法分别为（ ）
A．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
53．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
54．方程的根为（ ）
A． B． C． D．
55．已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ）
A． B． C． D．
56．下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
57．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
58．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A.＞ B.＞且 C.＜ D.且
59．关于方程式49x2－98x－1=0的解，下列叙述何者正确？( )
A.无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根
60．如果是方程的两个根，那么的值为（ ）
A．-1 B．2 C． D．
填空题
61当满足 时，关于的方程有两个不相等的实数根．
62．若关于x的方程的一个根是0，则 ．
63．已知一元二次方程的两根为，则___________．
64．一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
65．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
66．如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，那么常数b的值为 ．
67．定义新运算“”，规则：，如，。若的两根为，则＝ ．
68．若，则 ．
69．若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为____________．
70．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
71．请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．
72．若把代数式化为的形式，其中为常数，则= .
73．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
74．有一个两位数，如果用数字之和去除，则商8余7，如果用数字对调后的两位数去除原来的两位数，则商4余3，则这个两位数是 _________.
75．有一个两位数，如果用数字之和去除，则商8余7，如果用数字对调后的两位数去除原来的两位数，则商4余3，则这个两位数是 _________.
76．若关于的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的一组、的实数值可以是=______,=________.
77．如果、是方程的两个根，那么＝ .
78．已知、是关于的方程的两个实数根，且＋＝，则＝ .
79．已知一元二次方程的两个根是，，则 .
80．请写出一个根为，另一根满足的一元二次方程 .
81．一元二次方程的根的情况是 .
82．一元二次方程的两根之和为，则两根之积为_________.
83．如果那么的值为____________________.
84．在方程 中，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 .
85．在解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的一元二次方程的一般形式是 .
86．多项式可分解为两个一次因式的积，整数的值可以是 （只写出一个即可）.
87．大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程为_____________________．
88．已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）。
89．已知关于x的方程x2－（a＋2）x＋a－2b＝0的判别式等于0，且x＝是方程的根，则a＋b的值为 ______________
90．方程的所有根的乘积是 。
91．已知是方程的一个解，则的值是 。
92．阅读下面的例题：
解方程：
解：（1）当≥0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
（2）当0时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），
∴原方程的根是，.
请参照例题解方程，则此方程的根是 .
93．关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______．
94．已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则的取值范围是 ．
95．已知是关于的方程的一个根，则_______．
96．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
97．写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．
98．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
99．已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是 ．
100．已知一元二次方程的一个根为，则．
101．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．
102．已知为方程的二实根，则 ．
103．等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是 ．
104．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ．
105．某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________．
106． ；
107．如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_______________.
108．如果一元二方程有一个根为0，则m= ;
109．若方程的两个根是和3，则的值分别为
110．已知方程的两根是；则： ， 。
应用题
1、某厂今年一月份生产甲型机床64台，乙型机床若干台，从二月份起，甲型机床的逐月增长率比乙型机床逐月增加6台，已知二月份生产的甲型机床是乙型机床的4倍，三月份甲、乙两型机床共生产105台，求甲型机床的月增长率及一月份生产乙型机床的台数。
2、为了绿化事业，某中学在2002年植树400棵，谋划到2004底，使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数；
3、某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签定的合同约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8％，该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
4、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16），并在与墙平行的一边开一个宽1的门，现有能围成32的木板。求仓库的长与宽各是多少？
5、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率。
6、要在长，宽的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共,问道路宽应为多宽？
7、某工人计划在一定的时间内完成200个机器零件，实际制造时每天比原计划多制造5个，结果提前2天完成任务，求这个工人实际工作的天数？
8、轮船顺水航行80公里所需的时间和逆水航行60公里所需的时间相同，已知水流的速度是3公里/小时，求轮船在静水中的速度。
9、某少年军校的师生到距学校的部队营地参观学习。一部分人骑自行车走，过了40分钟，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
10、甲、乙两同学时间从学校出发，步行10千米来到张村，甲比乙每小时多走，结果甲比乙早到20分钟，求甲、乙两人每小时各走多少千米？
11.一块矩形铁板，长是宽的2倍，如在四个角上截去长为5cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖子的盒子，盒子的容积为3000cm3，求长、宽。
12．一个三位数，百位上的数字是2，十位上的数字比个位上的数字小3，这个三位数各数位上的数字之积的6倍比这个三位数少20，求此数。
某商场将某商品的售价从原来的每件40元经过两次调价后，调至每件32.4元。
①若该商品两次调价的降价率相同，求降价率。
②经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
13． A、B两地相距10km，甲步行从A地前往B地，1．5 小时后乙骑车也从A地前往B地，结果甲、乙二人同时到达B地，如果乙骑车每小时走的距离比甲每小时所走距离的2倍还多2千米，求甲、乙二人的速度。
14.一项工程，甲队单独做比甲、乙两队合做完工的天数多5天，如甲、乙两队先合做4天，再由乙队单独做3天，才能完成工程的一半，问剩下的一半工程由乙队单做，还需多少天。
15．装配车间，原计划在若干天内装配出44台机床，最初3天按计划进行，以后为了赶进度，每天多装配2台，因此提前2天且超额4台完成任务，问原计划每天装配多少台机床。