16.2矩形、菱形与正方形的性质
一、课内训练：
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=，求对角线AC的长．
2．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=5，求菱形的周长．
3．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM与EB的延长线交于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(1) (2)
4．如图，以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，求∠AFD的度数．
5．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数．
（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB=，AD=，求BE的长度．
6．已知△ABC，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=，D为AB边上的中点，求CD的长．
7．已知菱形的边长为，则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm．
8．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC分∠BAD为∠1，∠2，且∠1：∠2=1：2，AB=，求AC的长．
9．菱形ABCD的两条对角线分别为，，则菱形ABCD的面积为多少？
10．对于左栏的案例4，采用“补短法”还可以怎样作辅助线，证明出BE=BG+FC？
11．如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且∠FBC=∠EBF，
求证：BE=AE+CF．
二、课外演练
1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
2．一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为（ ）
A．2 B．．2 D．2
3．如图，EF为矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第6题） （第8题）
4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
5．菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_______．
6．如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长大，矩形周长是，求矩形ABCD的面积．
7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°，那么（ ）
A．它的对角线长是长边长度的2倍 B．它的对角线长是短边长度的2倍
C．它的长边是短边长度的2倍 D．上述关系无法确定
8．如图，矩形ABCD中，AD=30，AB=20，E、F三等分对角线AC，则S△ABE=（ ）
A．60 B．．150 D．200
9．能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形、菱形; B．矩形、正方形; C．矩形、菱形; D．菱形、正方形
10．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
（第10题） （第14题） （第15题）
11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成或，此矩形周长为_____cm．
12．菱形的面积为2，一条对角线的长为，则另一条对角线的长是_____cm．
13．菱形的周长是，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm．
14．如图，若点P是正方形ABCD内任意一点，且正方形的边长为1，若S△ABP =0.4，则S△DCP =______．
15．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都为1，那么正方形绕点O旋转，两个正方形重叠部分的面积（ ）
A． B． C． D．随着旋转而变化
16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，BF∥DE，若AD=，AB=，AE：EB=5：2，则阴影部分的面积是_______cm2．
17．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若S正方形ABCD=13，S正方形EFGH=1，直角三角形较短直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值．
18．有块如图，形状的钢板，如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？（至少用2种方法）
19．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？
20．阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小．
（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB．在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
答案:
一、课内训练：
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=AC，OB=OD=BD（矩形对角线相等且互相平分）．
∴AO=CO=OB=OD．
又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°．
∴△AOB是等边三角形．
即AO=BO=AB=4（cm）．
∴AC=2×4=8（cm）．
点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分的特征，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，若矩形的两条对角线的夹角中，如果有60°或120°的角，则必有等边三角形．
2．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD．
又∵∠A=60°，∴△ABD为等边三角形．
∴AB=AD=BD=5．
∴菱形的周长为4AB=5×4=20．
点拨：根据菱形的特征，四条边都相等，所以AB=AD，结合∠A=60°，可得△ABD为等边三角形，从而求得菱形的边长，进而求得菱形的周长．
3．解：（1）因为四边形ABCD是正方形．
所以∠BOE=∠AOF=90°，OA=OB．
又因为AM⊥EB，
所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA．
所以∠MAE=∠OBE．
所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合．
所以OE=OF．
（2）OE=OF仍成立，说明如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
因为AM⊥EB，所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM．
所以∠OEB=∠OFA．
所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合．
所以OE=OF．
点拨：要使OE=OF，只需证明△AOF和△BOE重合，根据已知条件和正方形的特征易得到，“问题”的基本思路是先假设结论成立，然后用分析法探求其成立条件，若题设所给条件满足要求，则成立，反之则不成立．
4．解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AB=AD，∠BAF=∠DAF．
∴△ABF与△ADF全等．
∴∠AFD=∠AFB．
∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB．
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=15°．
∵∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．
∴∠AFD=60°．
点拨：易得△ABF与△ADF全等，∠AFD=∠AFB，因此只要求出∠AFB的度数即可．由∠AFB=∠ACB+∠EBC，∠ACB=45°，转化为求∠EBC的度数，在等腰△BCE中可求得．
5．（1）解：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，∠1+∠2=180°．
又∵∠EFG=55°，
由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°．
∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=70°．
∴∠2=180°-∠1=110°．
（2）解：设DE=xcm，则有DE=BE=x．
∵AD=，∴AE=（10-x）cm．
在Rt△ABE中，
BE2=AB2+AE2，
即x2=42+（10-x）2，
解得x=，
∴BE的长为cm．
点拨：（1）由矩形对边平行，知道∠DEF=∠EFG=55°，而∠DEF与∠FEG是对应角，故∠FEG=∠DEF=55°，进而由平角定义，求出∠1=180°-∠DEF-∠FEG，而∠1与∠2互补，从而求出∠2．
（2）可设DE长度为xcm，由折叠可知DE=BE，从而AE=10-x，在Rt△ABE中，应用勾股定理列方程：BE2=AB2+AE2，即x2=42-（10-x）2，从而求出x．
6． 提示：△ABC为Rt△，AB为斜边，CD为斜边上的中线．
7．
8． 提示：在Rt△ABC中，∠C=30°．
9．2 提示：菱形对角线互相垂直，其面积为×5×12．
10．如图，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H，则得矩形BGHC．
∴GH=BC=AB，BG=CH，
∵∠HGF+∠AGE=90°，∠BAE+∠AGE=90°，
∴∠BAE=∠HGF．
∵∠ABE=∠CHG=90°，AB=GH，
∴△ABE≌△GHF．
∴BE=FH=FC+CH=FC+BG．
11．解：延长DC至N，使CN=AE，连接BN，
则△ABE与△CBN全等．
∴∠ABE=∠CBN，BE=BN，
∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB．
∴∠NFB=∠ABF，
∵∠ABF=∠ABE+∠EBF，∠NBF=∠NBC+∠CBF，∠EBF=∠FBC，
∴∠NBF=∠NFB，∴BN=NF=CN+CF，
∴BE=AE+CF．
二、课外演练
1．D 点拨：菱形对角线是互相垂直平分，但不一定相等．
2．B 点拨：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半．
3．B 点拨：由矩形是中心对称图形，对称中心为O，则S△EOB=S△FOD．
4．C 点拨：利用矩形对角线相等且互相平分．
5．60° 点拨：菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形．
6．解：在矩形ABCD中，OA=OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长大8，
则AD-AB=8 ①，
又∵2（AD+AB）=80 ②，
解①②得 AD=24，AB=16．
∴S矩形ABCD=24×16=384（cm2）．
点拨：利用矩形的对角线相等且互相平分．
7．B 点拨：当矩形两条对角线夹角中有一个为60°时，一定有等边三角形．
8．B 点拨：S矩形=20×30=600，S△ABC =×600=300．
9．D 点拨：由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角，而角平分线上的点到角两边的距离相等，因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点．
10．B 点拨：由∠DAE=3∠BAE，得∠BAE=22.5°，
∴∠ABE=67.5°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABE=67.5°，
∴∠EAC=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°．
11．36或42 点拨：矩形的宽可能是或．
12． 点拨：注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．
13． 点拨：由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得．
14．0．1 点拨：S△ABP +S△DCP =S△ADP +S△BCP =S正方形ABCD．
15．A 点拨：由正方形可得△AOF和△BOE是旋转对称图形，
所以S阴=S△AOB =S正方形ABCD．
16．24 点拨：解法一：用矩形面积减去两个直角三角形面积；
解法二：阴影部分为平行四边形，SBEDF =BE·AD=2×12=24（cm）2．
17．解：根据勾股定理，由图易得
a2+b2=13， ①
正方形EFGH的边长为b-a，∴（b-a）2=1．
即b2+a2-2ab=1． ②
把①代入②得 2ab=12
而（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25．
18．如图
19．解：由勾股定理得
SA+SB+SC+SD=S最大正方形=49．
20．解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF，易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．
（2）题 (3)题
（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，
设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3．
ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，
则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c，
∴L1-L2=（+）-（+2b）=2（a-b）·，而ab>S，a>b．
∴L1-L2>0，即L1>L2，同理可得L2>L3．
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．
点拨：根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决．